基于SV模型的VaR Monte Carlo模擬

馬 躍， 李金玉

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

0 引 言

VaR（Value at Risk）即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，目前作為很多金融機(jī)構(gòu)從事風(fēng)險(xiǎn)管理的重要指標(biāo)。金融資產(chǎn)往往具有波動(dòng)聚集性，SV模型能很好地描述金融資產(chǎn)這一特征。近年來，很多學(xué)者對(duì)SV模型進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［1］將SV模型用于VaR的計(jì)算并與GARCH 模型相比較；文獻(xiàn)［2］采用GARCH模型和SV模型對(duì)深圳股市進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，SV模型更能刻畫金融市場(chǎng)的實(shí)際特征，且基于SV模型計(jì)算的VaR精確度更高。另外，從計(jì)算VaR的方法來看，主要有歷史模擬法、分析法、Monte Carlo模擬法等。對(duì)于用Monte Carlo模擬法計(jì)算VaR已有很多文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)［3］的基于GARCH模型的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值蒙特卡羅模擬等，實(shí)踐表明，用Monte Carlo模擬法計(jì)算VaR有許多優(yōu)點(diǎn)。

然而，就目前的文獻(xiàn)來看，將SV模型和計(jì)算VaR的Monte Carlo模擬法相結(jié)合的研究并不多；同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，在利用SV模型計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值時(shí)，人們往往側(cè)重于使用分析法［1－2］，而利用分析法計(jì)算VaR時(shí)，需要假定市場(chǎng)因子服從某種分布，這種假定會(huì)給VaR的計(jì)算帶來一定的誤差。而當(dāng)使用Monte Carlo模擬法計(jì)算VaR時(shí)，則不需要假定市場(chǎng)因子的分布，這就在一定程度上減少了VaR的計(jì)算誤差。

因此，基于以上原因，本文試圖將SV模型與計(jì)算VaR的Monte Carlo模擬法相結(jié)合，并結(jié)合上證綜合指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值進(jìn)行實(shí)證分析。

1 VaR定義及Monte Carlo模擬法

VaR（Value at Risk）風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值也稱在險(xiǎn)價(jià)值［4－5］，它描述了在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或投資組合在未來的一段時(shí)間內(nèi)可能遭受的最大損失，可表示為：

其中，Pr為概率測(cè)度；ΔP為資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來持有期Δt內(nèi)的損失；α為顯著性水平。VaR主要計(jì)算方法中的 Monte Carlo模擬法［5－6］也叫隨機(jī)模擬法，是計(jì)算VaR的各種方法中較為有效的方法，其基本思路是通過反復(fù)大量地模擬金融變量的隨機(jī)過程，使模擬值包括大部分可能情況，這樣通過模擬就可以得到組合價(jià)值的近似分布，在此基礎(chǔ)上就可求出VaR?；贛onte Carlo方法計(jì)算VaR的具體步驟如下：

（1）選擇隨機(jī)模型。本文選擇幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM），它是股票價(jià)格變化中最為常用的模型之一，假定資產(chǎn)價(jià)值的變化在時(shí)間上是不相關(guān)的，其離散形式可表示為：

其中，ΔSt＋1＝St＋1－St；St為t時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格；μ為資產(chǎn)收益率的均值；σ為資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率；ε為隨機(jī)變量。

（2）隨機(jī)模擬價(jià)格走勢(shì)。定義t為當(dāng)前時(shí)刻，T為目標(biāo)時(shí)刻，利用t時(shí)刻對(duì)T時(shí)刻的價(jià)格進(jìn)行模擬。為了模擬隨機(jī)變量S的價(jià)格走勢(shì)，記τ＝T－t是模擬的時(shí)間間隔，令Δt＝τ／n，從當(dāng)前的價(jià)格St出發(fā)，按i＝1，2，…，n的順序，根據(jù)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)εi再結(jié)合（2）式，利用遞推法就能模擬出隨機(jī)變量S 的未來價(jià)格走勢(shì)（St＋1，St＋2，…，St＋n）以及計(jì)算目標(biāo)時(shí)刻T時(shí)的價(jià)格ST。

（3）估計(jì)VaR。多次重復(fù)步驟（2），重復(fù)次數(shù)k越多越接近真實(shí)分布，這樣就可以得到目標(biāo)時(shí)刻T時(shí)的一系列資產(chǎn)的價(jià)格，在給定的置信水平c下，VaR即為在k次模擬結(jié)果中，將模擬價(jià)格按升序排列后第k（1－c）個(gè)模擬價(jià)格的損失。

2 Monte Carlo－SV－VaR 模型

SV模型即隨機(jī)波動(dòng)率模型［7］，是由Taylor在1986年提出的，其模型表達(dá)式可以表示為：

其中，yt為消去均值后第t期的收益；θt為對(duì)數(shù)波動(dòng)；｛εt｝、｛vt｝為相互獨(dú)立的；φ1為持續(xù)性參數(shù)。當(dāng)｜φ1｜＜1時(shí)，上述SV模型是協(xié)方差平穩(wěn)的。因金融資產(chǎn)或投資組合的收益率往往存在波動(dòng)率“聚集效應(yīng)”，大量的研究結(jié)果表明SV模型對(duì)收益率波動(dòng)性的刻畫能力較強(qiáng)，故本文選擇SV模型對(duì)所選數(shù)據(jù)進(jìn)行分析擬合。

假設(shè)當(dāng)收益率分布服從正態(tài)分布時(shí)，可以推出VaR的計(jì)算公式［3］為：

其中，P0為資產(chǎn)初始時(shí)的價(jià)格；Zα為正態(tài)分布分位數(shù)；σt為條件方差。

結(jié)合SV模型和（5）式即可求出 VaR，將（3）～（5）式記為SV－VaR模型。

假設(shè)收益率分布服從正態(tài)分布往往具有局限性，會(huì)給VaR計(jì)算結(jié)果帶來一定的誤差，為了克服這種影響，引出 Monte Carlo－SV－VaR模型，其計(jì)算VaR步驟同一般的Monte Carlo計(jì)算VaR類似，改變之處在于利用SV模型將（2）式中的資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率σ轉(zhuǎn)化為條件標(biāo)準(zhǔn)差，具體形式如下：

然后利用Monte Carlo模擬法的步驟即可計(jì)算出VaR。

為了使計(jì)算出的VaR結(jié)果具有比較性，分別利用SV－VaR模型和 Monte Carlo－SV－VaR模型進(jìn)行實(shí)證分析，并比較它們的精確度。

3 實(shí)證分析

3.1 模型建立

本文選取上證綜合指數(shù)為研究對(duì)象，選取數(shù)據(jù)分析的時(shí)間段為：2008年11月25日到2013年6月28日，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為1112。本文主要利用的軟件有Eviews6.0、Matlab7.0 和 WINGBUGS14。

在對(duì)SV模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的過程中，采用基于貝葉斯的馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法，在用MCMC方法估計(jì)參數(shù)時(shí)，使用文獻(xiàn)［7－8］所假設(shè)的先驗(yàn)分布進(jìn)行Gibbs抽樣，先對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行20000次迭代，進(jìn)行退火，以保證參數(shù)的收斂性，然后舍棄原來的迭代再進(jìn)行20000次的迭代，對(duì)模型進(jìn)行模擬仿真。本文采用對(duì)數(shù)收益率作為股票的日收益率，其計(jì)算公式如下：

其中，St為當(dāng)日指數(shù)收盤價(jià)；St－1為前一日指數(shù)收盤價(jià)。

模型建立前先對(duì)上證綜合指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 對(duì)數(shù)收益率的柱形統(tǒng)計(jì)圖

圖2 正態(tài)QQ圖

計(jì)算可知，對(duì)數(shù)收益率序列的JB統(tǒng)計(jì)量為222.6709，P值為0，偏度為－0.391753小于0，峰度為5.048485，結(jié)合圖1、圖2可判斷出上證綜合指數(shù)具有“左偏尖峰厚尾”特征，若用（5）式計(jì)算VaR則可能會(huì)帶來一定的誤差。

進(jìn)一步繪出了上證綜合指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的線性圖，如圖3所示。

圖3 上證綜合指數(shù)對(duì)數(shù)收益率

由圖3可以看出，上證綜合指數(shù)對(duì)數(shù)收益率存在明顯的波動(dòng)率“聚集現(xiàn)象”，因此用SV模型可以刻畫上證綜合指數(shù)的收益率。使用WINBUGS14估計(jì)SV模型的結(jié)果如下：

由模型的估計(jì)結(jié)果可以看出，持續(xù)性參數(shù)φ1值接近于1，表明上證指數(shù)具有很強(qiáng)的波動(dòng)持續(xù)性，且φ1值大于0.96，由此進(jìn)一步說明上證綜合指數(shù)波動(dòng)的聚集性，綜合分析可知上述模型對(duì)上證綜合指數(shù)具有很好的擬合效果。

3.2 SV－VaR模型計(jì)算結(jié)果及分析

本文選取的置信水平為95%，預(yù)測(cè)天數(shù)為510d。利用上述模型估計(jì)2011年5月20日的條件方差并結(jié)合（5）式求出在95%置信水平下的VaR值為28.98，同理可以求出直到2013年6月28日共510個(gè)交易日的VaR值，將VaR預(yù)測(cè)值（用SV－VaR代表）與真實(shí)損失（用SUNSHI代表）進(jìn)行比較，結(jié)果如圖4所示。

圖4 用SV－VaR代表的VaR預(yù)測(cè)值與用SUNSHI代表的真實(shí)損失比較結(jié)果

進(jìn)一步，可以確定VaR的失敗次數(shù)為N＝40，失敗率為7.8%，再利用文獻(xiàn)［5，9］提出的失敗頻率檢驗(yàn)法的接受域，即概率水平p＝0.05時(shí)，失敗次數(shù)N的接受域（T＝510）為：

3.3 Monte Carlo－SV－VaR 模型計(jì)算結(jié)果及分析

將一天的持有期平均分為24個(gè)相等的時(shí)間段，Δt＝1／24，St代表初始時(shí)刻t的收盤價(jià)（這里從2011年5月19日開始），然后模擬下一時(shí)刻的收盤價(jià)，從而計(jì)算出VaR值，具體步驟如下：

（1）估計(jì)均值和條件標(biāo)準(zhǔn)差。使用2008年11月25日到2011年5月19日這602d的上證綜合指數(shù)估計(jì)其均值μ，利用估計(jì)出來的SV模型估計(jì)2011年5月20日的條件標(biāo)準(zhǔn)差

（2）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。利用Matlab7.0產(chǎn)生24個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)ε1，ε2，…，ε24。

（3）模擬價(jià)格變化的可能路徑。將步驟（1）、步驟（2）得到的均值μ、條件標(biāo)準(zhǔn)差和Δt代入（6）式，遞推可以得到St＋1，St＋2，…，St＋24為收盤價(jià)格變化的一條可能路徑，ST＝St＋24為2011年5月20日的一個(gè)可能的收盤價(jià)格。

（4）計(jì)算 VaR 值。重復(fù)步驟（2）、步驟（3）10000次，得到上證綜合指數(shù)10000個(gè)可能的收盤價(jià)格。對(duì)按升序排列，找到下方5%的分位數(shù)，則可以計(jì)算出95%的置信水平下的可得出2011年5月20日上證綜合指數(shù)置信水平為95%下的VaR為46.3。

同理利用Monte Carlo模擬法可以模擬出2011年5月20日到2013年6月28日上證綜合指數(shù)連續(xù)510個(gè)交易日的VaR值。將VaR預(yù)測(cè)值（用MC－SV－VaR代表）與真實(shí)損失（用SUNSHI代表）進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 用MC－SV－VaR代表的VaR預(yù)測(cè)值與用SUNSHI代表的真實(shí)損失比較

同樣，可以確定VaR的失敗次數(shù)N＝26，當(dāng)T＝510，在95%置信水平下，失敗次數(shù)N在區(qū)間（16，36）內(nèi)，且失敗率為0.05098，約為0.05，從而表明Monte Carlo－SV－VaR模型對(duì)上證綜合指數(shù)VaR的預(yù)測(cè)效果非常理想。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用SV模型對(duì)上證綜合指數(shù)進(jìn)行擬合，分別采用SV－VaR 模型和 Monte Carlo－SVVaR模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明SVVaR模型計(jì)算的VaR值過于保守，低估了損失發(fā)生的概率，這可能是因?yàn)榻Y(jié)合（5）式計(jì)算VaR值時(shí)需要假設(shè)收益率服從正態(tài)分布，而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)上證綜合指數(shù)收益率具有“尖峰厚尾”特征，若用（5）式計(jì)算VaR值勢(shì)必對(duì)VaR計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差；而利用Monte Carlo－SV－VaR模型計(jì)算VaR值時(shí)無需假設(shè)收益率服從何種分布，而是通過Monte Carlo模擬法模擬資產(chǎn)的近似真實(shí)分布，這種方法適用于任何分布的VaR值計(jì)算，且計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。本文利用Monte Carlo－SV－VaR模型計(jì)算VaR值的失敗率為0.05098，接近于0.05，且失敗次數(shù) N＝26在Kupiec失敗頻率檢驗(yàn)法的置信水平為95%、T＝510d的非拒絕域（16，36）之內(nèi)，這表明利用Monte Carlo－SV－VaR模型計(jì)算上證綜合指數(shù)VaR值的準(zhǔn)確性較高，且與文獻(xiàn)［1］的基于GARCH模型和SV模型的VaR比較，文中利用分析法得到的VaR值的失敗率更加接近0.05，因此在收益率分布不確定的情況下，利用Monte Carlo－SV－VaR模型計(jì)算VaR值的精確度較高。當(dāng)然也可以利用Monte Carlo－SV－VaR模型對(duì)匯率、原油價(jià)格等的VaR值進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步確定其適用范圍。

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