張 迪，王 麗，姜其暢，蘇艷麗

(運(yùn)城學(xué)院 物理與電子工程系，山西 運(yùn)城 044000)

量子力學(xué)中線(xiàn)性諧振子的可視化研究

張 迪，王 麗，姜其暢，蘇艷麗

(運(yùn)城學(xué)院 物理與電子工程系，山西 運(yùn)城 044000)

線(xiàn)性諧振子是量子力學(xué)中可以精確求解的一個(gè)典型問(wèn)題。為了直觀地理解這一物理模型，借助MATLAB語(yǔ)言分別給出了一維和二維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)和概率密度分布圖。通過(guò)比對(duì)理論計(jì)算結(jié)果和可視化模擬圖形，既加深了對(duì)線(xiàn)性諧振子問(wèn)題的理解，又激發(fā)了對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

線(xiàn)性諧振子；MATLAB語(yǔ)言；可視化

1. 引言

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)廣泛存在于自然界中。任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)(例如，分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等)一般都可以看成是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)即諧振動(dòng)。對(duì)眾多實(shí)際的諧振動(dòng)的求解一般是從簡(jiǎn)化的物理模型即線(xiàn)性諧振子出發(fā)，然后再考慮具體的物理情景[1,2]。目前，對(duì)一維、二維和三維線(xiàn)性諧振子的理論分析有很多詳細(xì)的報(bào)道[3-5]，但是借助計(jì)算機(jī)語(yǔ)言對(duì)相關(guān)理論進(jìn)行可視化模擬的報(bào)道比較少[6]。本文主要借助MATLAB語(yǔ)言，給出了一維和二維線(xiàn)性諧振子的可視化圖形，從理論公式和可視化圖形兩個(gè)角度理解諧振子的波函數(shù)和概率密度分布的特性。

2. 一維線(xiàn)性諧振子的可視化研究

2.1 在H的本征態(tài)下的基本理論

對(duì)于一維諧振子，其勢(shì)能表示為

(1)

則體系的定態(tài)薛定諤方程為

(2)

為了便于后面的分析，選擇自然單位?=μ=ω=1，并令λ=2E則方程(2)簡(jiǎn)化為

(3)

采用通用的求解方法，將方程(3)的解表示為

(4)

將(4)式代入方程(3)并整理，可得

(5)

方程(5)的解為Hermitian函數(shù)即

(6)

其中λ應(yīng)滿(mǎn)足λ-1=2n，所以諧振子的能級(jí)為

(7)

將(6)帶入(4)式可以得到諧振子的波函數(shù)為

(8)

2.2 可視化模擬

在得到一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)表達(dá)式(8)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用MATLAB語(yǔ)言編寫(xiě)程序繪制不同能級(jí)下諧振子的波函數(shù)和概率密度分布圖像，如圖1所示?？梢钥吹剑翰ê瘮?shù)與ψ=0的直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n；概率密度分布滿(mǎn)足歸一化條件即所包含的面積之和為1。下面以n=2為例，從理論公式和圖形特點(diǎn)兩個(gè)角度來(lái)說(shuō)明上述特點(diǎn)。

(9)

(10)

圖1 不同能級(jí)下一維諧振子的波函數(shù)和概率密度分布

3．二維線(xiàn)性諧振子的可視化研究

3.1 在(Hx，Hy)的共同本征態(tài)下的情況

關(guān)于二維線(xiàn)性諧振子的理論可以分別在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中討論，下面，首先在直角坐標(biāo)系的情況下，給出諧振子的波函數(shù)和能量表達(dá)式[2，3]。

體系的定態(tài)薛定諤方程為

(11)

同樣選擇自然單位?=μ=ω=1，并令ψ(x，y)=φ(x)φ(y)，借鑒一維諧振子的方法，并注意到二維諧振子在x和y方向上的獨(dú)立性，最終得到諧振子的波函數(shù)

(12)

從波函數(shù)和能級(jí)公式可以清楚的看出二維諧振子的簡(jiǎn)并度為N+1。當(dāng)N=0時(shí)，相應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)并，其波函數(shù)和概率密度分布圖像為圖2所示。

圖2 N=0對(duì)應(yīng)的波函數(shù)和概率密度圖像

同樣，當(dāng)N=1和N=2時(shí)，波函數(shù)簡(jiǎn)并度分別為2和3，其波函數(shù)和概率密度分布圖像分別如圖3、4所示。由圖2、圖3和圖4可以看到：波函數(shù)與ψ=0平面的交線(xiàn)個(gè)數(shù)為N；概率密度分布的極大值個(gè)數(shù)一般為N+1，但是當(dāng)直角坐標(biāo)的兩個(gè)維度的分量都不為零時(shí)如nx=ny=1的特殊情況，共有四個(gè)極大值。

圖3 時(shí)波函數(shù)和概率密度分布圖

圖4 時(shí)的波函數(shù)和概率密度分布圖

3.2 在(H，lz)的共同本征態(tài)下的情況

下面再?gòu)臉O坐標(biāo)系的角度分析二維各向同性諧振子的情況。此時(shí)，體系的定態(tài)薛定諤方程為[5]

(13)

(14)

為了求解方程(14)，首先分析r→0和r→∞兩種特殊情況。根據(jù)分析結(jié)果給出

(15)

將(15)式代入(14)式，得

(16)

再令ξ=r2，由(16)式可得

(17)

通過(guò)觀察可以看出(17)式為合流超幾何方程，可以得到其解為

u(r)=F(-nr,|m|+1,r2)

(18)

結(jié)合方程(18)和(15)可以得到波函數(shù)的表達(dá)式

(19)

二維各向同性諧振子的能量本征值為

E=2nr+|m|+1=N+1

(20)

從波函數(shù)和能級(jí)公式同樣可以清楚的看出二維諧振子的簡(jiǎn)并度為N+1。不同的本征態(tài)下的波函數(shù)即不同表象下的波函數(shù)，應(yīng)該具有同樣的性質(zhì)。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們給出(H,lz)共同本征態(tài)下當(dāng)N=1時(shí)的波函數(shù)和概率密度分布圖。比較圖3和圖5，可以看到，與直角坐標(biāo)的情況一樣，函數(shù)與ψ=0平面的交線(xiàn)個(gè)數(shù)為1；概率密度分布的極大值個(gè)數(shù)為2。

4. 總結(jié)

本文系統(tǒng)地分析了一維諧振子和不同本征態(tài)下二維諧振子的波函數(shù)和概率密度分布，并借助MATLAB語(yǔ)言畫(huà)出了每種情況下的一些能級(jí)的波函數(shù)和幾率密度圖像。從這些圖像中，我們可以更加形象地理解比較抽象的諧振子問(wèn)題，而且這些圖像的繪制也鍛煉了學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

[1] 邢淑芝，谷開(kāi)慧，解玉鵬.在恒定弱電場(chǎng)中一維線(xiàn)性諧振子能級(jí)的計(jì)算[J].吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(3).

[2] 茍立丹，張志穎，朱瑞晗.二維耦合非線(xiàn)性諧振子的近似求解[J].大學(xué)物理，2012(8).

[3] 李嘉亮，張海英.一維及二維線(xiàn)性諧振子的算符解法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(4).

[4] 吳英，劉國(guó)躍.三維各向同性諧振子基態(tài)能量及波函數(shù)的兩種計(jì)算方法[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007(8).

[5] 梁麥林，王軍.在極坐標(biāo)中求解二維各向同性諧振子[J].大學(xué)物理，1999(12).

[6] 陳美華.一維線(xiàn)性諧振子的波函數(shù)和幾率密度作圖方法探討[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2009(2).

【責(zé)任編輯 馬太來(lái)】

2015-03-11

張迪(1990-)，男，山西運(yùn)城人，運(yùn)城學(xué)院物理與電子工程系2011級(jí)本科生。

O413.1

A

1008-8008(2015)03-0034-03