許 雪，程 龔

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北武漢430062)

變系數(shù)EV模型ND樣本加權和的相合性

許 雪，程 龔

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北武漢430062)

利用ND序列的Bernstein型不等式和截尾的方法，研究變系數(shù)EV模型的ND樣本加權和的相合性問題，獲得ND樣本加權和Wni(t0)Yi的強、弱相合性，推廣獨立隨機變量加權和的相合性.①

變系數(shù)EV模型；ND樣本；加權和；相合性

0 引言

定義[1]稱隨機變量X1,X2,…,Xn是ND(Negatively Dependent)的，若對任意的x1,x2,…,xn∈R有

如果對任意的n≥2,X1,X2,…,Xn都是ND的，則稱隨機變量序列{Xn;n≥1}是ND列.

自1993年Bozorgnia等[1]提出ND列的概念以來，ND列引起了越來越多的學者的關注.文獻[2]中舉例說明了NA序列一定是ND序列，但ND序列不一定是NA序列，這說明ND序列是比NA序列更弱、更廣泛的一種隨機變量序列.因此，對ND列的研究在理論和實踐中都是有意義的.目前，對ND列的概率性質的研究已取得了一些成果，在多元統(tǒng)計分析、可靠性理論及滲透模型等方面有廣泛應用［1-3］.

設t0∈(0,1)，要對t0處的ɑ(t0),b(t0)進行參數(shù)估計.然而我們不可能在t0處作n次觀測，只能在t0處附近作n次觀測.設t1,t2,…,tn是[0,1]上n個設計點，滿足0≤t1＜t2＜,…,＜tn≤1.

對每個點ti處(Y,X)作觀測，得到n組觀測值(Yi,ti,Xi)(i=1,2,…,n).當我們利用這n組觀測值來估計t0處的參數(shù)ɑ(t0),b(t0)時，此時應該必須注意到ti處的觀測值(Yi,ti,Xi)(i=1,2,…,n)相對于t0來說他們的重要程度并不一樣，這種重要程度可用實變量ti的權函數(shù)Wni(t0)來度量.下面我們給出權函數(shù)的定義：

設(Yi,ti,Xi)(i=1,2,…,n)是取自母體(Y,X)的樣本，t1,t2,…,tn是[0,1]上的n個設計點，t0是(0,1)內的某一個點，實變量t1,t2,…,tn的函數(shù)Wni(t0)=Wni(t0,t1,t2,…,tn)(i=1,2,…,n)稱為實變量函數(shù)(簡稱為權函數(shù))，如果它滿足:

選定一維概率密度函數(shù)k(·)及寬窗hn∈(0,1/2),hn→0(n→∞)，則有

文獻[5]中提出了這樣一個問題:在何種條件下，當n→∞時有Wni(x0)Yi→E(Y|X=x0),a.s..

歐陽光［6]研究了上式中的權函數(shù)Wni(x0)實變量核權函數(shù)Wni(t0)時，獨立隨機變量序列{Yi;1≤i≤n}加權和Wni(t0)Yi的相合性，文獻[7]中研究了NA同分布序列{Yi;1≤i≤n}加權和的相合性.筆者在其基礎上進行推廣，研究變系數(shù)EV模型的ND樣本{Yi;1≤i≤n}加權和的相合性，獲得與獨立隨機變量樣本加權和相同的結論.

1 引理

為了得出本文中的主要結論，我們先給出一些相關的引理.

引理1[1]設{Xn;n≥1}是ND的，對任意的m≥2,A1,A2,…,Am是集合{1,2,…,n}的兩兩不交的非空子集.

如果fi,i=1,2,…,m是對每個變元都非降(或都非升)的函數(shù)，則f1(Xj,j∈A1),…,fm(Xj,j∈Am)仍是ND的.

特別地，設隨機變量{Xn;n≥1}是ND列，t1,t2,…,tn都是非正或者非負的實數(shù)，則有

引理3[2](Bernstein不等式)設隨機變量{Xn;n≥1}是ND列，EXi=0,|Xi|≤biɑ.s.(i=1,2,…,n),t＞0為實數(shù)，且滿足≤1，則對任意的ε＞0，有

引理4的證明由條件，對任意的ε＞0及充分大的n知

取t=4ε-1logn＞0，則t滿足引理3的要求，因此

引理5[8](推廣的Borel-Cantelli引理)

2 主要結果及證明

定理1設{Yi;i≥1}為同分布的ND樣本序列，且存在M＞0，使得Vɑr(Y)≤M，若對任意實變量核權函數(shù){Wni(t0);1≤i≤n}存在正數(shù)C，使得

而E(Yi-EYi)=0.Vɑr(Yi-EYi)=Vɑr(Yi)≤M,i=1,2,…,n，因此，不失一般性，假設EY=0.

先證(3)式，記Xni=Wni(t0)(-E)，bn=Wni(t0).由Wni(t0)＞0和的定義，結合引理1知{Xni;1≤i≤n}仍是零均值同分布ND序列.由于

由上面兩式可得

由引理4知，對任意的ε＞0及充分大的n，有

由Borel-Cantelli引理可知，對任意的ε＞0及充分大的n時，有

即(3)式成立.

從而(4)式成立，定理1得證.

說明：由于ND序列是比獨立序列和NA序列更弱的、更廣泛的一種隨機變量序列，所以該定理是獨立隨機變量序列和NA序列情形的推廣.

［1］Bozorgnia A，Patterson R F，Taylor R L.Limit theorems for ND r.v.’s［R］.Athens:University of Georgia，1993.

［2］Wu Q Y，Jiang Y Y.The strong consistency of M estimator in a linear model for negatively dependent random samples［J］. Communications in Statistics:Theory and Methods，2011，40(3):467-491.

［3］Wu Q Y.Complete convergence for negatively dependent sequences of random variables［J］.Journal of Inequalities and Applications，2010，Article ID 507293.

［4］Gui H，Chen S X.Empirical likehood confidence region for parameter in the errors-in-variables models［J］.Journal of Multivariate Analysis，2003，84(1):101-115.

［5］陳希儒，王松佳.近代實用回歸分析［M］.南寧:廣西人民出版社，1984：237-247.

［6］歐陽光.獨立隨機變量序列加權和的相合性［J］.數(shù)學理論與應用，2005，25(1):109-113.

［7］付艷莉，吳群英.NA同分布序列加權和的相合性［J］.吉林大學學報：理學版，2010，25(1):57-62.

［8］吳群英.混合序列的概率極限理論［M］.北京:科學出版社，2006.

（責任編輯 趙 燕）

The consistency for weighted sums of ND sample in varying-coefficient EV models

XU Xue，CHENG Yan
(Faculty of Mathematics and Statistics，Hubei University，Wuhan 430062，China)

We study the consistency for weighted sums of ND sample in varying-coefficient EV models by using ND sequence’s Bernstein inequality and truncated method.As a result，we obtain strong and weak consistency for weighted sums of ND sample and extend the consistency for weighted sums of independent random variables.

varying-coefficient EV models；ND sample；weighted sums；consistency

O212.2

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2015.05.008

1000-2375（2015）05-0442-05

2015-04-15

許雪（1992-），女，碩士生，E-mail：1029810565@qq.com