巴爭剛，姜佐政，雒志學(xué)，尹雪文

(蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070)

基于尺度結(jié)構(gòu)三競爭種群系統(tǒng)的適定性

巴爭剛，姜佐政，雒志學(xué)，尹雪文

(蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070)

建立了尺度結(jié)構(gòu)的種群模型，根據(jù)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理及Gronwall不等式證明了系統(tǒng)解的存在唯一性、有界性、非負(fù)性及解對控制變量的連續(xù)依懶性，從而推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)論．

尺度結(jié)構(gòu)；有界解；適定性；唯一性

諸多生態(tài)學(xué)者的研究成果顯示，種群的發(fā)展演化依賴于個(gè)體的尺度結(jié)構(gòu)，尺度結(jié)構(gòu)比年齡結(jié)構(gòu)更能準(zhǔn)確地反映生物種群系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[1-2]．所謂個(gè)體尺度結(jié)構(gòu)，是指刻畫種群個(gè)體特征的某個(gè)連續(xù)變量，如體積、長度、直徑、成熟度或其它生理結(jié)構(gòu)等[3]．對大多數(shù)種群而言（例如海洋中的魚類、森林等），個(gè)體的尺度指標(biāo)參數(shù)對其生存、繁殖能力有至關(guān)重要的影響作用，也能夠有力地體現(xiàn)種群個(gè)體對人類的商業(yè)價(jià)值[4-5]．此外，討論尺度結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)問題，還可以在生產(chǎn)生活（如養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)）方面取得較好的經(jīng)濟(jì)效益[6-9]．目前，對尺度結(jié)構(gòu)單種群系統(tǒng)模型的研究比較常見[10]，而關(guān)于尺度結(jié)構(gòu)的多種群系統(tǒng)模型則很少見，為此，本文將對帶有尺度結(jié)構(gòu)三種群系統(tǒng)的適定性進(jìn)行研究，于是建立了如下刻畫具尺度結(jié)構(gòu)和收獲努力度的三種群食物鏈模型：

其中，有限固定常數(shù)m表示個(gè)體的最大尺度值，狀態(tài)變量pi(s,t)表示t時(shí)刻第i個(gè)種群個(gè)體尺度為s的密度分布函數(shù)，gi(s),μi(s,t),βi(s),mi(s,t)分別表示第i個(gè)種群個(gè)體的增長率、死亡率、出生率及雌性比率，λi(s,t)表示種群間的相互作用系數(shù)，υi(s,t)表示第i個(gè)種群的外界向種群生存環(huán)境的輸入率，T為控制周期．允許控制集：

1 解的存在唯一性

2 解對控制變量的連續(xù)依懶性

[1] Webb G F. Population models structured by age, size and spatial position [J]. Lecture Notes in Mathematics, 2008, 36(1): 1-50.

[2] 黃海洋. 結(jié)構(gòu)種群動(dòng)力系統(tǒng)[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 1999, 28(5): 393-403.

[3] 王明珠, 馬遼江, 王輝. 森林面積分布系統(tǒng)的最優(yōu)控制存在性問題[J]. 哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1995, 11(2): 393-403.

[4] 王定江. 非線性種群發(fā)展方程解的性質(zhì)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1998, (17): 23-30.

[5] 陳曉莉.L2( Ω)空間中森林面積分布系統(tǒng)的最小范數(shù)控制問題[J]. 哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2005, 21(2): 91-98.

[6] Luo Z X. Optimal harvesting control problem for an age-dependent competing system of n species [J]. Appl Math Mech, 2006, 183: 119-127.

[7] Fu J, Chen R Z. Optimal distributed Control for Age-dependent population diffusion system [J]. mathematics in Practice and Theory, 2003, 33(3): 93-98.

[8] Li J Q, Chen R Z. Existence of Optimal distributed Control for a Class of Age-dependent non-linear population diffusion systems [J]. mathematics Applicata, 2006, 19(4): 673-683.

[9] Ye S X, Zhao C. Optimal Control for a Class of Age-dependent population system based on weight [J]. mathematics Appl, 2007, 20(3): 526-567.

[10] 王秀麗, 王輝. 時(shí)變森林發(fā)展系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題[J]. 哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2002, 18(1): 1-5.

On Well-posedness of a Competing Population System Based on Size-dependent Structure

BA Zhenggang, JIANG Zuozheng, LUO Zhixue, YIN Xuewen
(Department of Mathematics, Lan Zhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

In this paper the size-dependent population model is set up on the basis of the Banach fixed point theorem and Gronwall inequality. The system proves that the uniqueness of solution is existed, the boundedness and non-negative solution of the control variable, continuous dependence, are generalized so as to popularize the conclusion of existed documents.

Size-dependent Structure; Bounded Solution; Well-posedness; Uniqueness

O175.1

A

1674-3563(2015)04-0027-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-09-25

巴爭剛(1983- )，男，甘肅蘭州人，講師，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)與最優(yōu)控制