河北省唐山市開灤第二中學(xué) 劉紅蘭

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是選自于普通高中課程標準實驗教科書，人教版數(shù)學(xué)必修1第三章函數(shù)的應(yīng)用的一節(jié)專題課，是作為初高中二次函數(shù)知識的銜接與整合，是對函數(shù)的零點與方程的實根的知識的綜合考查與靈活應(yīng)用。這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及 ，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理的運用。

二、教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：利用二次函數(shù)的圖象，把一元二次方程根的分布

教學(xué)難點：一是將圖形問題等價轉(zhuǎn)化成不等式組；二是快速準確求解(1)中的不等式組。

三、教學(xué)目標

第一，知識與方法：掌握一元二次方程實根的分布問題的處理方法；增強學(xué)生解決不等式及不等式組的計算能力；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，進一步理解函數(shù)與方程的關(guān)系。

第二，過程與方法：體會在解決一元二次方程實根的分布問題的過程中數(shù)形的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生經(jīng)歷分類討論、類比-化歸、觀察總結(jié)的能力。

第三，情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生體會函數(shù)與方程的“形與數(shù)”“動與靜”“整體與局部”的相互轉(zhuǎn)化內(nèi)在規(guī)律、內(nèi)在美；體會發(fā)現(xiàn)規(guī)律的快樂。

四、學(xué)情分析

高一學(xué)生在初中時對二次函數(shù)及一元二次方程有較深的理解，現(xiàn)又剛剛學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點內(nèi)容，已做好了知識的鋪墊。但是對高一學(xué)生來說，對數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化還很陌生，常常把函數(shù)的數(shù)和形割裂開來，學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時學(xué)生最先想到的是韋達定理、求根公式，即應(yīng)用函數(shù)的意識很差，所以在本節(jié)教學(xué)中，從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)，一步一步、由淺入深慢慢的引導(dǎo)學(xué)生逐步解決問題。

五、教學(xué)資源設(shè)計

教學(xué)理念：本課教學(xué)始終堅持“一個理念”——自主學(xué)習(xí)自主發(fā)展，采用問題教學(xué)法，即提出問題——探索問題——解決問題——發(fā)現(xiàn)新問題——解決新問題……本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計正是以此為指導(dǎo)，以促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)自主發(fā)展為目標，加強了對學(xué)生多元智力的培養(yǎng)。

學(xué)習(xí)方式的指導(dǎo)：本節(jié)課注重了以下三種學(xué)習(xí)方式的指導(dǎo)：自主性學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、合作性學(xué)習(xí)。

設(shè)計問題遵循從具體到一般的原則，由特殊問題提出引申到一般問題，提高學(xué)生綜合總結(jié)歸納的能力。

教學(xué)手段：下發(fā)導(dǎo)學(xué)案，且利用powerpoint做成幻燈片，利用電子白板在課堂上展示給學(xué)生，一目了然。

六、教學(xué)過程及設(shè)計意圖

第一，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標學(xué)習(xí)、重點、難點：請同學(xué)們看屏幕PPT。設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確本節(jié)課的目的。

第二，復(fù)習(xí)回顧：1、什么叫函數(shù)y=f(x)的零點？2、方程f(x)=0的實根、函數(shù)y=f(x)的零點、圖像之間有什么關(guān)系？設(shè)計意圖：溫故知新。

第三，循序漸進。

引例：關(guān)于x的方程x2-x+a=0分別滿足下列條件，求參數(shù)a的取值范圍：（1）有兩個不等的實根？（2）有兩個相等的實根？（3）沒有實根？

解：（1）由△＞0得

歸納：當x為全體實數(shù)時的根

（1）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

（2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根

（3）當時，方程沒有實數(shù)根

設(shè)計意圖：因為這個問題初中已學(xué)過，較熟悉，學(xué)生很快解決，目的是讓學(xué)生回憶總結(jié)初中所學(xué)。

例1.已知方程x2+(a+1)x+a=0有一個正根一個負根，求實數(shù)a的取值范圍？

法1：先求方程的根為x=-1或x=-a，若要滿足題意只要讓-a＞0，所以a＜0.

法2：利用 x1x2＜0，即a＜0.

法3：設(shè)畫出圖像并觀察，

得即a＜0.

小結(jié)：這三位同學(xué)的做法都很好！法1是代數(shù)法，先將方程的根求出來，后若滿足題意，直接由條件列出不等式得結(jié)論；法2是韋達定理法，利用韋達定理列出不等式得結(jié)論；法3是幾何法，利用二次函數(shù)的圖像與X軸交點的橫坐標滿足的條件列出不等式求得。

變式1-1.若方程有兩個正實根，求實數(shù)a的取值范圍？

法1：設(shè)畫出圖像并觀察，得所以得 a≥4

法2：設(shè)此方程的兩個根為x1、x2，由得a≥4.

師：法1是幾何法，法2是韋達定理法，法1法2較好。

下面請做變式1-2.若方程有兩個負實根，

求實數(shù)a的取值范圍？

法1：用幾何法，設(shè)畫出圖像并觀察，得所以得a≤0.

法2：設(shè)此方程的兩個根為 x1、x2，由得a≤0 .

小結(jié)：針對這種題，我們可以用兩種方法——代數(shù)法、幾何法來解決。

設(shè)計意圖：學(xué)生在初中學(xué)過韋達定理，但中考不考，故在初中有的老師講，而有的老師不講，學(xué)生不熟悉，但高中必須要掌握。例1的方法1學(xué)生易得；但方法2要求學(xué)生必須掌握；方法3學(xué)生由熟悉到不熟悉，由不知到知，讓學(xué)生初步應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題，并讓學(xué)生明確哪一種方法較好。

例題2：若關(guān)于x的方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍。

各小組可討論探究，教師巡視。

解：設(shè)因為x的方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，如圖，則有后求解即得結(jié)論。

設(shè)計意圖： 本題是方程的兩根在開區(qū)間內(nèi)分布，逐步引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合法，由易到難，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、解決問題的能力。

例題3：若關(guān)于x的方程兩根中一個小于0，另一個大于1，求實數(shù)m的取值范圍。

解：設(shè)因 為x的 方 程兩根中一個小于0，另一個大于1，如圖，則有后求解即得結(jié)論。

變式.若關(guān)于x的方程兩根一個在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一個在區(qū)間（1,2）內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍。

解：設(shè)因為x的方程兩根一個在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一個在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則有后求解即得結(jié)論。

思考題：若關(guān)于x的方程兩根均在閉區(qū)間[0,1]上，求實數(shù)m的取值范圍。

課堂小結(jié)：本節(jié)課所用的數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合法；等價轉(zhuǎn)化法；分類討論法

最后，布置作業(yè)：完成導(dǎo)學(xué)案。

七、反思

本節(jié)課是一節(jié)示范課，在課上學(xué)生積極回答問題，思維敏捷。在課上，引例、例1學(xué)生都很順利的利用判別式、韋達定理解決了，例1順利說出前兩種方法后，但第三種方法數(shù)形結(jié)合法，學(xué)生感到還是有困難。存在的問題是上完本節(jié)課之后，感覺沒有完全相信學(xué)生，未放開手腳，還是課上幫學(xué)生設(shè)置的較多。如果課上增加出題環(huán)節(jié)，變式題由學(xué)生自己編寫，就更好了。