李國(guó)成， 肖慶憲

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093；2.皖西學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，六安 237012)

一種布谷鳥(niǎo)-交叉熵混合優(yōu)化算法及其性能仿真

李國(guó)成1，2， 肖慶憲1

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093；2.皖西學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，六安 237012)

為了提高布谷鳥(niǎo)搜索算法在求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的收斂速度和搜索精度，基于交叉熵方法，構(gòu)建了一種新的布谷鳥(niǎo)-交叉熵混合優(yōu)化算法.該算法將基于模型的交叉熵隨機(jī)優(yōu)化算法和基于種群的布谷鳥(niǎo)搜索進(jìn)行有機(jī)融合，采用協(xié)同演化策略，既提升了混合算法收斂速度，又改善了其全局優(yōu)化能力.對(duì)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和PID控制器整定問(wèn)題的仿真結(jié)果表明，新算法具有全局搜索能力強(qiáng)、求解精度高和魯棒性好等特性，是一種求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的可行和有效算法.

布谷鳥(niǎo)搜索；交叉熵；混合優(yōu)化；高維函數(shù)；控制器整定

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中面臨著更加復(fù)雜多變的系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)、醫(yī)學(xué)圖像匹配系統(tǒng)以及金融市場(chǎng)等[1].這些復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題常常在高維空間進(jìn)行，而高維數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題都較為復(fù)雜，采用一般的智能算法很難獲得全局最優(yōu)解[2].為此，許多改進(jìn)算法紛紛被提出，如動(dòng)態(tài)多群體粒子群優(yōu)化[3]、自適應(yīng)協(xié)同演化微分進(jìn)化算法[4]、遺傳和細(xì)菌覓食混合算法[5].

最近，Yang等[6]基于布谷鳥(niǎo)孵育寄生的繁殖行為和Lévy飛行特性提出一種新的啟發(fā)式搜索算法——布谷鳥(niǎo)搜索(cuckoo search，CS).該算法因仿生能力強(qiáng)、控制參數(shù)少和極易實(shí)現(xiàn)而廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)參數(shù)選擇和生產(chǎn)調(diào)度等方面[6-11].與此同時(shí)，學(xué)者們也從不同角度對(duì)CS算法進(jìn)行了改進(jìn)，如文獻(xiàn)[12]提出自適應(yīng)Lévy飛行步長(zhǎng)和個(gè)體間信息交換以提高CS的收斂速度，文獻(xiàn)[13]采用動(dòng)態(tài)飛行步長(zhǎng)和發(fā)現(xiàn)概率，文獻(xiàn)[14]提出了二進(jìn)制CS算法.這些改進(jìn)雖然取得了很好的應(yīng)用效果，但還都局限于低維簡(jiǎn)單優(yōu)化問(wèn)題.

布谷鳥(niǎo)搜索是基于種群的元啟發(fā)式搜索算法，盡管具有很好的仿生性能和尋優(yōu)效率，但其求解復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題和高維函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的全局優(yōu)化能力和收斂速度仍待改善.而Rubinstein等[15]提出的交叉熵(cross-entropy，CE)方法是一種基于模型的全局隨機(jī)優(yōu)化算法，具有很強(qiáng)的全局優(yōu)化性能和魯棒性，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可靠性分析、函數(shù)優(yōu)化和工程設(shè)計(jì)優(yōu)化方面都取得了很好的應(yīng)用效果[16].為此，本文探尋用基于種群的CS算法融合基于模型的交叉熵算法，構(gòu)建一種新的收斂速度更快、搜索精度更高和全局優(yōu)化性能更好的布谷鳥(niǎo)-交叉熵混合算法(CSCE)，以求解復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題.

1 布谷鳥(niǎo)-交叉熵混合算法

1.1 布谷鳥(niǎo)搜索算法

布谷鳥(niǎo)搜索算法是Yang等[6]于2009年提出的一種新的啟發(fā)式搜索算法，該算法通過(guò)提煉出3個(gè)理想化規(guī)則形成優(yōu)化工具，并應(yīng)用于工程優(yōu)化和非線性系統(tǒng)優(yōu)化，取得了很好的效果[7-11].其規(guī)則如下:

a.每只布谷鳥(niǎo)隨機(jī)選取一個(gè)宿主鳥(niǎo)巢并產(chǎn)下一枚卵，該卵代表著優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)候選解x；

b.位置較好的宿主鳥(niǎo)巢(最優(yōu)解xbest)將被延續(xù)到下一代；

c.宿主鳥(niǎo)巢的數(shù)目n是固定的，且宿主以一定概率Pa發(fā)現(xiàn)并丟棄“外來(lái)者”或重新筑巢.

布谷鳥(niǎo)搜索的尋優(yōu)路徑和位置更新是通過(guò)實(shí)施Lévy飛行來(lái)實(shí)現(xiàn)的，具體為

式中，t為L(zhǎng)évy飛行更新代數(shù)；a＞0，為L(zhǎng)évy飛行步長(zhǎng)縮放控制參數(shù)；算子⊕為點(diǎn)對(duì)點(diǎn)乘法；Lévy(λ)為隨機(jī)搜索路徑；λ為L(zhǎng)évy分布參數(shù)，其隨機(jī)步長(zhǎng)u服從分布由此產(chǎn)生的隨機(jī)游走路徑是一條馬爾可夫鏈，它的下一個(gè)狀態(tài)或位置只取決于當(dāng)前位置和轉(zhuǎn)換概率.該路徑長(zhǎng)短和方向都是不確定的，其中產(chǎn)生的短步長(zhǎng)加速局部搜索，而長(zhǎng)步長(zhǎng)則產(chǎn)生在距離局部最優(yōu)值較遠(yuǎn)的地方，這就確保算法不容易陷入局部最小值，從而使得它在探索解空間時(shí)會(huì)更加有效.

1.2 交叉熵方法

交叉熵方法[15]是Rubinstein在研究復(fù)雜隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的小概率事件估計(jì)問(wèn)題時(shí)提出的一種全局隨機(jī)優(yōu)化方法.該方法采用重要度抽樣，引入Kullback-Leibler距離來(lái)度量?jī)蓚€(gè)概率分布的交叉熵并使之最小，用以求解組合優(yōu)化、稀有事件估計(jì)以及機(jī)器學(xué)習(xí)等問(wèn)題，具有很好的隨機(jī)性、自適應(yīng)性和魯棒性[16]，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可靠性分析、組合優(yōu)化，以及工程設(shè)計(jì)和控制等方面取得了很好的應(yīng)用效果[17-18].對(duì)于如下最優(yōu)化問(wèn)題

交叉熵算法將其關(guān)聯(lián)到相關(guān)的概率估計(jì)問(wèn)題，根據(jù)一族定義在X上的概率密度函數(shù){f(x；v)，v∈ν}隨機(jī)化問(wèn)題(3)(v為概率分布參數(shù)，ν為概率分布參數(shù)集或空間)，得到其輔助隨機(jī)問(wèn)題為

式中，E是期望算子；I為示性函數(shù)；γ為自適應(yīng)更新參數(shù).

為了減小樣本數(shù)量，CE采用重要度抽樣法，將式(4)轉(zhuǎn)化為

式中，N為樣本容量；xi為重要度抽樣密度g(x)生成的樣本.

為求得最優(yōu)的重要度抽樣密度，引入Kullback-Leibler距離來(lái)度量?jī)蓚€(gè)概率分布f(x；v)與g(x)間距離即交叉熵，并最小化交叉熵為

從而得到最優(yōu)的g*(x)，即為式(3)所描述的問(wèn)題的最優(yōu)解x*的概率密度函數(shù).

CE全局隨機(jī)優(yōu)化算法的實(shí)施過(guò)程為:

1.3 布谷鳥(niǎo)-交叉熵混合算法

a.算法原理

本文將交叉熵方法嵌入到布谷鳥(niǎo)搜索中，通過(guò)協(xié)同演化共同更新種群，以有效增強(qiáng)算法搜索過(guò)程中種群的多樣性，提高算法的全局優(yōu)化能力.CSCE通過(guò)CS和CE兩個(gè)優(yōu)化迭代算子實(shí)現(xiàn)，其中CE算子利用共同更新后的種群來(lái)刷新自己的抽樣概率分布的參數(shù)，加快均值和方差的演化速度.這樣利用協(xié)同演化的種群來(lái)加速CSCE算法的演化進(jìn)程，大幅減少抽樣樣本數(shù)，進(jìn)而降低計(jì)算成本，充分發(fā)揮自己的全局優(yōu)化能力，為協(xié)同演化提供全局更優(yōu)的種群.同時(shí)，CS算子通過(guò)協(xié)同演化獲得更好的個(gè)體，極大地豐富了種群的多樣性，從而提高CSCE算法的收斂速度，并增強(qiáng)全局優(yōu)化能力.具體算法流程見(jiàn)圖1.

b.算法步驟

基于布谷鳥(niǎo)搜索方法和交叉熵隨機(jī)優(yōu)化算法所融合而成的新型啟發(fā)式算法(CSCE)的具體算法步驟如下:

步驟1 確定搜索空間，設(shè)置CS基本參數(shù):鳥(niǎo)巢數(shù)目N，發(fā)現(xiàn)概率Pa，步長(zhǎng)因子α，搜索精度εCS或最大搜索次數(shù)MCS；設(shè)置CE基本參數(shù):樣本容量Nc和有效樣本數(shù)Ne，搜索精度εCE或最大迭代次數(shù)MCE，初始化概率分布參數(shù)均值μ和標(biāo)準(zhǔn)方差σ.隨機(jī)生成初始種群XCS，評(píng)估每個(gè)個(gè)體，得到最優(yōu)位置xbest和最優(yōu)適應(yīng)度值fmin.

步驟2 檢測(cè)迭代終止條件1，若不滿足，則啟動(dòng)CS優(yōu)化迭代算子，否則迭代結(jié)束.

(a)利用Lévy飛行機(jī)制，按式(1)得到一組新的鳥(niǎo)巢位置，并與上一代進(jìn)行比較替換，得到一組更優(yōu)的鳥(niǎo)巢位置；

(b)利用發(fā)現(xiàn)遺棄機(jī)制，更新鳥(niǎo)巢位置，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r∈[0，1]，若r＞Pa，則放棄舊巢另建新巢，否則維持原狀；

(c)評(píng)估鳥(niǎo)巢，更新最優(yōu)位置和最優(yōu)適應(yīng)度值.

步驟3 檢測(cè)迭代終止條件2，若不滿足，則啟動(dòng)CE優(yōu)化迭代算子，否則轉(zhuǎn)到步驟2.

(b)啟動(dòng)協(xié)同演化，混合XCS和XCE并進(jìn)行排序，更新XCS和XCE，更新最優(yōu)位置和最優(yōu)適應(yīng)度值；

(c)選取位置最好的Ne個(gè)鳥(niǎo)巢來(lái)計(jì)算參數(shù)μ和σ，并用式(7)和式(8)平滑更新μ和σ，返回到步驟3.

步驟4 迭代結(jié)束，輸出最優(yōu)鳥(niǎo)巢位置(最優(yōu)解)和最優(yōu)適應(yīng)度值(最優(yōu)值).

圖1 CSCE算法流程圖Fig.1 Flow chart for CSCE algorithm

2 CSCE性能仿真測(cè)試

2.1 測(cè)試問(wèn)題與比較對(duì)象

為了驗(yàn)證CSCE算法求解復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的性能，選取6個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)來(lái)進(jìn)行測(cè)試，解空間維數(shù)分別取50和100兩種情形，并與CS算法、文獻(xiàn)[12]提出的布谷鳥(niǎo)改進(jìn)算法(modified cuckoo search，MCS)和文獻(xiàn)[13]提出的改進(jìn)算法(improved cuckoo search，ICS)進(jìn)行對(duì)比，各測(cè)試函數(shù)的具體表達(dá)式、定義域及最優(yōu)值如表1所示.實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為Intel(R)Core(TM)i3 CPU M 2.27 GHz，2 GB RAM；軟件環(huán)境為Windows 7和Matlab 2012b.

表1 6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab.1 Six benchmar k functions

2.2 參數(shù)設(shè)置與測(cè)試結(jié)果

4種算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:鳥(niǎo)巢數(shù)目設(shè)定為解空間維數(shù)d，CS，MCS和ICS這3種算法的最大迭代次數(shù)均為2 050，迭代停止標(biāo)準(zhǔn)為達(dá)到最大迭代次數(shù)，其它參數(shù)分別同文獻(xiàn)[6，12-13]；CSCE算法中CS的最大迭代次數(shù)為50，其它參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[6]；CE樣本容量Nc和有效樣本數(shù)Ne分別為d和30，最大迭代次數(shù)為40.如此設(shè)置參數(shù)使得4種算法具有相同的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)，以便于對(duì)比.4種算法對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次，測(cè)試和對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2和表3(見(jiàn)下頁(yè)).表中第一列為6個(gè)測(cè)試函數(shù)，平均值反映了算法的尋優(yōu)能力，標(biāo)準(zhǔn)差反映了算法尋優(yōu)能力的穩(wěn)定性，其最好值均以藍(lán)色字體標(biāo)識(shí).

從表2和表3可以看出:a.6個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)兩種維數(shù)取值的測(cè)試結(jié)果中CSCE算法在f1，f2，f 4和f5這4個(gè)函數(shù)上完全勝出，優(yōu)勢(shì)顯著，在f3上略遜于其它3個(gè)函數(shù)，但求解精度仍在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，求解仍然是有效的，只是函數(shù)f6的求解效果要差于其它3種算法，同時(shí)可以看出，另外兩種改進(jìn)算法的效果并不明顯；b.CSCE算法的搜索精度非常高，對(duì)f5的求解已到達(dá)理論最優(yōu)值，同時(shí)所有求解的標(biāo)準(zhǔn)差都很小，表明該算法穩(wěn)定性好、魯棒性強(qiáng)；c.隨著維數(shù)的增加，CSCE算法的尋優(yōu)效能并沒(méi)有發(fā)生明顯的減弱，表明該算法更適合于求解高維函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題.

4種算法收斂特征曲線如下頁(yè)圖2和圖3所示，鑒于篇幅所限僅給出d=50時(shí)f1和f5的迭代過(guò)程.其中，橫軸為迭代次數(shù)，縱軸為最優(yōu)函數(shù)值，且縱軸采用對(duì)數(shù)刻度.

表2 變量維數(shù)d=50時(shí)4種算法測(cè)試結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of test results of four algorithms with dimension d=50

表3 變量維數(shù)d=100時(shí)4種算法測(cè)試結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of test results of four algorithms with dimension d=100

圖2 f1的4種算法收斂特征曲線對(duì)比Fig.2 Comparison curves of convergence performance of four algorithms for f1

從圖2和圖3可以看出CSCE算法的收斂速度明顯快于CE，MCS和ICS 3種算法，同時(shí)其求解精度也是最高的.進(jìn)一步表明CSCE算法不僅提高了搜索精度，增強(qiáng)了算法穩(wěn)定性，同時(shí)也改善了算法收斂速度.

圖3 f5的4種算法收斂特征曲線對(duì)比Fig.3 Comparison curves of convergence performance of four algorithms for f5

3 CSCE算法在PID控制器參數(shù)整定中的應(yīng)用

3.1 PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題

PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題是工業(yè)工程中一個(gè)難解的優(yōu)化問(wèn)題.常用的整定方法有經(jīng)典的Ziegler-Nichols法和智能算法(如GA，PSO等)，但優(yōu)化效果都不理想.為此，很多學(xué)者提出了一些改進(jìn)方法，如文獻(xiàn)[19]的基于強(qiáng)化緩沖算子的灰色預(yù)測(cè)PID控制以及文獻(xiàn)[20]的分?jǐn)?shù)階PID控制，這些方法較傳統(tǒng)的PID控制都有所改進(jìn).本文采用CSCE算法來(lái)進(jìn)行PID參數(shù)整定，并與CS，MCS和ICS 3種算法進(jìn)行比較.

假設(shè)某二階延遲系統(tǒng)被控對(duì)象傳遞函數(shù)為[21]

式中，s為傳遞函數(shù)的自變量；0.01≤kp≤20，ki≥0.01，kd≤2為3個(gè)待整定參數(shù)，通過(guò)調(diào)整這3個(gè)參數(shù)使得系統(tǒng)滿足優(yōu)化指標(biāo)要求.

本文參照文獻(xiàn)[22]采用如下優(yōu)化指標(biāo)來(lái)衡量參數(shù)整定效果的優(yōu)劣，即

其PID控制器數(shù)學(xué)模型為

3.2 PID控制器參數(shù)整定仿真

如上文所描述的PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題是一種優(yōu)化問(wèn)題，其解空間維數(shù)為3，適應(yīng)度函數(shù)如式(11)所定義.4種算法的參數(shù)設(shè)置:鳥(niǎo)巢數(shù)目為40；CS，MCS和ICS的最大迭代次數(shù)為100，CSCE中CS和CE最大迭代次數(shù)均為10，迭代終止條件為達(dá)到最大迭代次數(shù)；CE中的樣本數(shù)和有效樣本數(shù)分別為36和15；4種算法的其它參數(shù)如前所設(shè).如此設(shè)定以使得它們具有相同的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)4 000次，仿真結(jié)果如表4所示.

表4 4種算法的PID控制參數(shù)整定結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of tuning results of four algorithms for PID control parameters

4種算法對(duì)性能指標(biāo)J的優(yōu)化過(guò)程及控制對(duì)象的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4和圖5所示(y為輸出信號(hào)，t為時(shí)間).

圖4 性能指標(biāo)J的4種算法優(yōu)化過(guò)程對(duì)比Fig.4 Comparison of optimization process of four algorithms for performance index J

圖5 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Unit-step response curve of system

由圖4可見(jiàn)，采用本文所提出的整定方法性能指標(biāo)優(yōu)化速度最快，且精度高于其它3種算法.圖5表明采用本文方法整定參數(shù)時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量很微小且響應(yīng)衰減迅速，穩(wěn)定時(shí)間短，體現(xiàn)了控制器具有較好的抗干擾能力，同時(shí)也表明本文所建算法求解PID參數(shù)整定問(wèn)題是可行和有效的.

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)布谷鳥(niǎo)搜索求解復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化性能不強(qiáng)的缺陷，基于交叉熵全局隨機(jī)優(yōu)化算法和協(xié)同演化的思想，構(gòu)建了一種新的布谷鳥(niǎo)-交叉熵混合算法.該算法將交叉熵隨機(jī)優(yōu)化技術(shù)嵌入到布谷鳥(niǎo)搜索過(guò)程中，利用交叉熵方法的隨機(jī)性、自適應(yīng)性和魯棒性來(lái)改善布谷鳥(niǎo)搜索的全局尋優(yōu)能力.同時(shí)，通過(guò)協(xié)同演化利用布谷鳥(niǎo)搜索來(lái)加快交叉熵算法概率分布參數(shù)的收斂速度，從而有力地保證新算法能快速獲得全局最優(yōu)解.標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和PID控制參數(shù)整定問(wèn)題的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，CSCE具有比CS算法本身及其一些改進(jìn)算法更好的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性，搜尋精度高，收斂速度快，用其來(lái)求解復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題是可行和有效的.

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(編輯:丁紅藝)

Hybrid Optimization Algorithm Based on Cuckoo Search and Cross Entropy and Its Performance

LIGuocheng1，2， XIAOQingxian1
(1.Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China；2.School of Finance&Mathematics，West Anhui University，Lu’an 237012，China)

In order to improve the rate of convergence and obtain high optimization precision of cuckoo search，a hybrid optimization algorithm for solving complicated optimization problems was proposed.The proposed algorithm combines model-based cross-entropy method with populationbased cuckoo search.The hybrid algorithm not only improves the rate of convergence but also enhances the global search ability by adopting the co-evolution strategy.Simulated experiments were conducted on classical benchmarks and PID controller tuning problem.The results show that the proposed algorithm possesses more powerful global search capacity，higher optimization precision and robustness，and is feasible and effective for solving complicated optimization problems.

cuckoo search；cross entropy；hybrid optimization；high-dimensional fu nction；controller tuning

O 229

A

2013-10-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171221)；上海市一流學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012)

李國(guó)成(1976-)，男，博士研究生.研究方向:計(jì)算智能與金融優(yōu)化.E-mail:ligc313@163.com

肖慶憲(1956-)，男，教授.研究方向:金融工程.E-mail:qxxiao@163.com

1007-6735(2015)02-0180-07

10.13255/j.cnki.ju sst.2015.02.016