附加δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱

唐義甲，韓修林

阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,安徽阜陽,236037

附加δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱

唐義甲，韓修林

阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,安徽阜陽,236037

通過對(duì)添加δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱的薛定諤方程進(jìn)行求解，得到了粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)和能級(jí)的相關(guān)公式。分析發(fā)現(xiàn)，δ勢(shì)壘的添加以及它的強(qiáng)度與位置的變化對(duì)能級(jí)都有影響，附加δ勢(shì)后,一維粒子的能量變大,能級(jí)變得復(fù)雜，束縛態(tài)增加，基態(tài)粒子受δ勢(shì)影響較大；且能級(jí)越高的粒子受δ勢(shì)影響越小，最后Mathematica作圖顯示了這一現(xiàn)象。

δ勢(shì)壘;一維無限深勢(shì)阱;定態(tài)薛定諤方程；波函數(shù)；能級(jí)

文獻(xiàn)[1-2]討論了一維半無限深勢(shì)阱的能級(jí)問題，文獻(xiàn)[3-4]討論了中央含有δ勢(shì)壘的無限深勢(shì)阱的束縛態(tài)能級(jí)。本文討論在一維半無限深勢(shì)阱內(nèi)添加一個(gè)δ勢(shì)壘的情況下，它的能級(jí)將會(huì)發(fā)生怎樣的變化。具體討論δ勢(shì)壘的位置或強(qiáng)度發(fā)生變化時(shí)，會(huì)對(duì)能級(jí)產(chǎn)生怎樣的影響。以下采用理論分析、數(shù)值計(jì)算與作圖顯示相結(jié)合的方法，對(duì)這些問題進(jìn)行深入探究。

1 問題及其分析

1.1 問題

質(zhì)量為m的粒子在一個(gè)內(nèi)部有一個(gè)δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，設(shè)勢(shì)能為(圖1)：

(1)

其中，μ是描述勢(shì)壘位置的無量綱參數(shù)，取值區(qū)間為(0，1)。粒子的波函數(shù)與能量滿足定態(tài)薛定諤方程：

(2)

圖1 附加δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱

利用該方程可以計(jì)算出粒子的波函數(shù)及能級(jí)的相關(guān)表達(dá)式。

1.2 分析

考慮到勢(shì)能的不連續(xù)性，粒子的波函數(shù)可以分為四段：

(3)

由于粒子束縛態(tài)粒子能量的有限性，在勢(shì)能為無窮大的區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)為零，即第零段波函數(shù)ψ0(x)=0。

在勢(shì)阱內(nèi)部區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程的形式為：

(4)

上式可以簡(jiǎn)化為：

ψ″+[k2-aλ2δ(x-μa)]ψ=0

(5)

其中k2=2mE/h2,λ2=2mV0/h2

(6)

在勢(shì)阱外x>a區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程的形式為：

(7)

由束縛態(tài)條件知E

ψ″-κ2ψ=0

(8)

(9)

1.3 綜合

由在x=0處波函數(shù)的連續(xù)性得到邊界條件：

ψ1(0)=ψ0(0)=0

(10)

在x=μa處，由于有一個(gè)δ勢(shì)壘，因此連接條件成為：

ψ2(μa+0)=ψ1(μa-0)=ψ(μa)

(11)

在x=a處，連接條件為[6]：

(lnψ3)′(a+0)=(lnψ2)′(a-0)

(12)

當(dāng)x趨向無窮遠(yuǎn)時(shí)，由束縛態(tài)波函數(shù)的歸一化要求，得到邊界條件：

ψ3(∞)=0

(13)

2 定態(tài)薛定諤方程的解

2.1 分段解

由方程(5)得到第一段的波函數(shù)為：

ψ1(x)=Asinkx+A1coskx

(14)

考慮到邊界條件(10)后，上式簡(jiǎn)化為：

ψ1(x)=Asinkx

(15)

由方程(8)得到第三段的波函數(shù)為：

ψ3(x)=Ce-κx+C1e+κx

(16)

考慮到邊界條件(13)后，上式簡(jiǎn)化為：

ψ3(x)=Ce-κx

(17)

由方程(5)還得到第二段的波函數(shù)為：

ψ2(x)=Bsin(kx+φ)

(18)

于是連接條件(12)成為：

kcot(ka+φ)=-κ

(19)

連接條件(11)成為：

kcot(kμa+φ)-kcot(kμa)=aλ2

(20)

2.2 整體解

綜合上面的結(jié)果，得到波函數(shù)的整體表達(dá)式：

(21)

其中，系數(shù)A、B和C由連續(xù)性條件和歸一化條件確定；在能量為已知的條件下，立刻可以計(jì)算出參數(shù)k,κ，而φ可由(19)或(20)式確定。

2.3 能量本征值

定態(tài)薛定諤方程是一個(gè)本征值問題，確定能量本征值在物理上有重要意義，下面來討論如何確定能量本征值的問題。

顯然(19)與(20)式為兩個(gè)獨(dú)立的等式，在一般情況下兩者并不等價(jià)，僅僅對(duì)一些特定的能量值兩者才可能一致。因此，(19)與(20)式的相容性條件就確定了能量的本征值，即能量本征值可以通過把這兩個(gè)方程聯(lián)立求解而得到。

下面把與能量本征值相關(guān)的所有關(guān)系式都列出來。

k2=2mE/h2,λ2=2mV0/h2

(6)

(9)

kcot(ka+φ)=-κ

(19)

kcot(kμa+φ)-kcot(kμa)=aλ2

(20)

顯然，在上述關(guān)系式中λ,k1為參數(shù)；E可以由k確定，將k作為一個(gè)變量；因此，獨(dú)立的變量只有3個(gè)，即k,κ,φ。這3個(gè)獨(dú)立變量可以由3個(gè)獨(dú)立的方程確定：

cot(ka+φ)=-κ/k

cot(kμa+φ)-cot(kμa)=η/k,η=aλ2

(22)

3 能量本征值的計(jì)算

3.1 方程的化簡(jiǎn)

為了便于計(jì)算能量本征值，先對(duì)方程組(22)進(jìn)行化簡(jiǎn)。在(22)式中消去κ，得到:

cot(kμa+φ)-cot(kμa)=η/k

(23)

由此可以進(jìn)一步得到：

kμa+φ=arccot[cot(kμa)+η/k]

(24)

兩式相減消去變量φ得到：

-arccot[cot(kμa)+η/k]

(25)

上式兩邊求余切得到：

cot[(1-μ)ka]

(26)

上式中只有一個(gè)未知數(shù)k。

3.2 參數(shù)的約化

容易看出上式中有4個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，即k1,a,η,μ。為了便于數(shù)值計(jì)算，還要設(shè)法減少參數(shù)。

首先，進(jìn)行量綱分析，發(fā)現(xiàn)這些變量和參數(shù)的量綱分別為：

[k]=[k1]=[η]=L-1,

[a]=L, [μ]=1

(27)

將變量和參數(shù)組合為無量綱的量，即定義新的變量和參數(shù)：

K=ka,K1=k1a,H=ηa

(28)

則方程(26)成為：

(29)

現(xiàn)在只有一個(gè)無量綱變量K，它的物理意義與能量有關(guān)；三個(gè)無量綱參數(shù)K1、H和μ，它們分別代表外部勢(shì)壘高度、δ勢(shì)壘的強(qiáng)度和相對(duì)位置。

4 兩種情況的比較

4.1 不含δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱的情況

對(duì)于質(zhì)量為m，勢(shì)能為：

(30)

在0

(31)

在x>a的區(qū)域，一般解為[2,6-8]：

(32)

(33)

在x=a處，位勢(shì)只有有限躍變，故波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分別連續(xù)，或波函數(shù)對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)[5,10]：

(34)

將式(33)代入(34)得：

kacotka=-κa

(35)

式(35)無量綱化后的表達(dá)式是：

(36)

這與文獻(xiàn)[1,6]中的結(jié)果一致。

但是(35)式中的k,κ不獨(dú)立，由(31)(32)兩式可得：

(37)

令ξ=ka,η=k′a，則式(35)(37)化為：

此方程至少有一個(gè)解的條件[4-5]：

(38)

若在阱口剛好出現(xiàn)束縛態(tài)能級(jí)，則E≈V1，所以κ≈0。由(35)式得：

kacotka=0，即coska=0，得：

由此也可驗(yàn)證(38)式。

4.2 添加δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱的情況

對(duì)于含有δ勢(shì)壘的情況，當(dāng)阱邊恰好出現(xiàn)能級(jí)時(shí)，有E≈V1，由式(6)(9)知：κ≈0。

又由式(19)(20)知：

又在同一個(gè)周期內(nèi)：kμa+φ

5 運(yùn)用Mathematica作圖顯示δ勢(shì)壘的影響

添加δ勢(shì)壘后，能級(jí)的相關(guān)公式為：

(29)

令τ=log2H,取K1=10不變[10],運(yùn)用Mathematicaδ勢(shì)壘位置和強(qiáng)度求[11]。

5.1δ勢(shì)壘位置的影響

當(dāng)τ為0，1，2，3，…，10，μ分別取0.1到0.9之間的數(shù)值時(shí)，K的數(shù)值解(只取基態(tài)值)如表1所示。

表1 δ勢(shì)壘位置的影響下μ、τ、K的基態(tài)解之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

利用表1數(shù)據(jù)作圖如下：

當(dāng)τ分別取0，1，2，…，10時(shí)，K隨μ的變化圖形如圖3。

由圖3可以看出，當(dāng)τ=0時(shí)，H=1,即δ勢(shì)壘很低時(shí)，μ值的變化對(duì)基態(tài)能級(jí)的影響并不大，隨著τ的增大，μ值的影響也越明顯。當(dāng)μ處于0.55左右時(shí)，對(duì)基態(tài)能級(jí)的影響最大，兩側(cè)逐漸減小。

5.2δ勢(shì)壘強(qiáng)度的影響

當(dāng)μ分別取0.1，0.2，…，0.9之間的數(shù)值，τ為-7，-6，…，-2，-1，0，1，2，3，…，10時(shí)，K的數(shù)值解(只取基態(tài)值)如表2所示。

表2 δ勢(shì)壘強(qiáng)度的影響下μ、τ、K的基態(tài)解之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

利用表2數(shù)據(jù)作圖如圖4。

當(dāng)μ分別取0.1,0.2,0.3，…，0.9時(shí)，K隨τ的變化圖形如圖4。

圖4可以看出，在一定范圍內(nèi)K值隨著τ值的增大而增大；而當(dāng)τ增大到某個(gè)值或減小到某個(gè)值時(shí)，K值達(dá)到穩(wěn)定不再變化。K的最小值與μ無關(guān)，約為2.85；而K的最大值隨著μ的不同而有所不同。

6 特殊情形

6.1 情形一

當(dāng)τ→-∞時(shí)，H→0，此時(shí)模型變?yōu)橐痪S半無限深勢(shì)阱。

由上文討論的不含δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱的情況可知與能級(jí)有關(guān)的表達(dá)式為：

(36)

同樣地，取K1=10，運(yùn)用Mathematica求得基態(tài)時(shí)K≈2.8523，這與圖4中τ→-∞時(shí)所得結(jié)果一致。

6.2 情形二

由一維無限深勢(shì)阱的能級(jí)公式得：

表3 δ勢(shì)壘的影響下一維無限深勢(shì)阱的基態(tài)能級(jí)下μ、K之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

同樣地，取K1=10，運(yùn)用Mathematica求得μ取不同的值時(shí)對(duì)應(yīng)的基態(tài)K值如表4所示。

表4 δ勢(shì)壘位置的影響下一維半無限深勢(shì)阱的基態(tài)能級(jí)下μ、K之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

綜上可知，當(dāng)μ取不同的值時(shí)，整個(gè)一維半無限深勢(shì)阱中，當(dāng)τ→∞時(shí)對(duì)應(yīng)的基態(tài)K值如表5所示。

表5 δ勢(shì)壘強(qiáng)度的影響下一維半無限深勢(shì)阱的基態(tài)能級(jí)下μ、K之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

這與圖4中τ→∞時(shí)所得結(jié)果一致。

6.3 情形三

當(dāng)μ=1/2，V1=∞，即K1=∞時(shí)，該模型成為中央有δ勢(shì)壘的無限深勢(shì)阱，將條件代入(29)式得到：

(33)

(34)

(35)

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[3]所得結(jié)果完全一致。

7 結(jié)束語

通過上面的理論推導(dǎo)與數(shù)值分析，討論了在添加δ勢(shì)壘的一維半無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的能級(jí)的影響因素，得到了如下結(jié)論：

(1)對(duì)于給定勢(shì)壘高度K1的一維半無限深勢(shì)阱，δ勢(shì)壘的添加會(huì)使束縛態(tài)能級(jí)的量值增加，能級(jí)個(gè)數(shù)減少。

(2)通過數(shù)值計(jì)算及作圖分析，發(fā)現(xiàn)δ勢(shì)壘的強(qiáng)度與位置對(duì)能級(jí)都會(huì)產(chǎn)生影響。當(dāng)δ勢(shì)壘處于勢(shì)阱中心偏右位置時(shí)能級(jí)最大，在K1=10的情況下，μ≈0.55，δ勢(shì)壘的強(qiáng)度H越大,位置的影響越明顯。

(3)當(dāng)δ勢(shì)壘的位置一定時(shí)，δ勢(shì)壘的強(qiáng)度H越大，能級(jí)越大。當(dāng)H→∞時(shí)，勢(shì)阱分裂為一維無限深勢(shì)阱和一維半無限深勢(shì)阱兩部分，并且由這兩部分求的基態(tài)能級(jí)與本文公式(29)中當(dāng)H→∞時(shí)求得的結(jié)果一致。

(4)適當(dāng)選取參數(shù)發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1][2]和[3]中的結(jié)果都是本文結(jié)果的特例，這表明了本文結(jié)論的普遍性和正確性。

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(責(zé)任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.07.026

2015-01-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“耀變體多波段光變特征研究”(11273008) ；阜陽師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目“大學(xué)物理課程三維教學(xué)手段的改革與實(shí)踐”(2012JYXM61)；阜陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目“中學(xué)物理課堂演示實(shí)驗(yàn)的研究與實(shí)踐”(2012JCJY21)。

唐義甲(1984-) ，安徽樅陽人，碩士，助理實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向:非線性光學(xué)材料高能粒子束輻照改性及防護(hù)。

O469

A

1673-2006(2015)07-0093-06