徐興彬

（1.廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 測繪系，廣東 廣州 510510）

廣州某住宅區(qū)開發(fā)建設(shè)持續(xù)10余a，其中有一片別墅區(qū)規(guī)劃建設(shè)成數(shù)條環(huán)玦狀地帶（圖1），測量時發(fā)現(xiàn)同一條環(huán)玦帶的同一條弧線上各地塊的圓弧長相等，但面積卻不一定相等。規(guī)劃時設(shè)計人員只將各段圓弧平均分配再依次相連成各個單位地塊，而且認(rèn)定各單位地塊的面積均等。在管理廣州市寸土寸金的別墅用地時，要體現(xiàn)不動產(chǎn)測量登記工作的科學(xué)性與嚴(yán)肅性，就必須計算出每一塊地的面積準(zhǔn)確值[1,2]。

圖1所示為別墅住宅區(qū)某一部分的實地情況，規(guī)劃設(shè)計人員先在地形圖上確定數(shù)條沿直徑方向的放射狀縱向主干道（例如，其中2條主干道中線為ABEO與CDFO）。將中線分別往兩邊平移獲得道路寬度（中線退縮后分別為2am和2bm），與縱向主干道垂直的各條道路的中線或邊線均為同心圓弧，各圓弧均有確定的半徑。將各段路邊線圓弧等弧長劃分并依次相連，便得到各個環(huán)玦狀小地塊（宗地范圍），各小地塊的測量放線同樣先計算出各平均小段圓弧的弦長，然后用鋼尺按距離放線?，F(xiàn)在要求計算環(huán)玦中各小地塊的面積準(zhǔn)確值。先利用初等幾何計算出圖中玦形A0B0C0D0所包含的面積（即圖2中的A0B0BnAn），整理得到：

此時，如果假定圖2中各小地塊具有相同的面積，則可以將上述面積S玦形A0B0C0D0除以A0B0C0D0中地塊的個數(shù)n，即得各小地塊的面積。根據(jù)下面的推導(dǎo)分析，可證明此假設(shè)是錯誤的。

圖1 小區(qū)別墅平面圖

圖2 面積推算示意圖

1 公式推導(dǎo)

圖2中，2條縱向道路的路中線AB、CD之間的夾角為Ω，路寬分別為2a和2b，該地段總地塊數(shù)為n，各地塊前后圓弧半徑分別為r、R。建立如圖中的獨立直角坐標(biāo)系oxy，針對圖中第i個地塊，則有：

因此，直線Ai Bi和Ai-1Bi-1的方程式為：

其 中，Ki =（xAi-xBi）/（yAi-yBi）；Ki-1=（xAi-1-xBi-1）/（yAi-1-yBi-1）。

根據(jù)二重積分的幾何原理，則該塊面積為[3]：

積分后將式（1）、（2）代入，整理得：

它們均為常量，其幾何意義為：M1為大圓弧Ai-1Ai所圍成扇形OAi-1Ai的面積；M2為小圓弧Bi-1Bi所圍成扇形OBi-1Bi的面積；N1、N2則均為一夾角（見圖2）。根據(jù)式（3），當(dāng)i發(fā)生變化時，各小塊的面積Si依據(jù)它的位置變化而有所不同。

2 分析討論

2.1 關(guān)于函數(shù)Si=f（i）的極值

對于式（3），因為Si=f（i）為連續(xù)函數(shù)，對i求微分并令其等于0：

則式（5）中k≡0，即Si=f（i），當(dāng)1≤i≤n時只有

根據(jù)式（6），有 d2Si /di2>0，即函數(shù)Si=f（i）在i屬于[1，n]時具有向上凹的連續(xù)曲線，且在處有極小值：

2.2 函數(shù)Si = f(i)的圖形

令1≤i≤j≤n，根據(jù)式（3）有：

令i=1，j=n，則

令j=n代入式（8），再令

圖3 a>b時Si=f（i）的圖形 圖4 a

最后再考慮圖2中最大塊與最小塊的面積差值。

參照圖3，將i=1、j=i極代入式（8）得：

同樣，參照圖4，將i=i極，j=n代入式（8），得：

2.3 分析a=b的情況

a=b，即N1=N2=N，代入式（3）得：

將N1=N2=N代入式（5）得：

將N1=N2=N代入式（8），得：

式（14）的幾何意義見圖5、圖6，它們可以比較形象直觀地反映出各個小地塊面積的大小及其相互關(guān)系：當(dāng)a=b時，靠路邊的2塊地面積最大且相等，然后逐漸向中部縮?。ㄇ襍i=Sn-i+1=Sj），最后收斂于最中部的地塊。如果n為奇數(shù)，則收斂于第（n+1）/2塊（圖5）；如果n為偶數(shù)，則收斂于第n/2塊和n/2+1塊（Sn/2=Sn/2+1），如圖6。

圖5 n為奇數(shù)時地塊面積的變化趨勢

圖6 n為偶數(shù)時地塊面積的變化趨勢

將N1=N2=N代入式（9）或式（10），則可得到當(dāng)a=b時，最大塊與最小塊的面積差值：

當(dāng)a=b時， 設(shè)i=n=1并 代入式（3）， 則 圖2中A0B0BnAn的面積為：

此式與本文開頭推導(dǎo)結(jié)果完全相同。

當(dāng)a=b=0，i=n=1， 代入式（3）， 則（圖2），此即為標(biāo)準(zhǔn)圓玦面積。

3 結(jié) 語

綜上所述，可以得出如下結(jié)論：

1）將一段環(huán)玦按等弧長均勻劃分后（見圖2，要求a、b不能同時為0），各個小環(huán)玦狀地塊面積并不一定相等，它們具有面積最大值和最小值（同時也是極小值）。最大值總是靠近縱向路較寬的一邊（路邊第一塊為最大），最小值地塊則靠近中央部位附近偏向路較窄的一邊（a、b相差越小時越接近中央）。

2）當(dāng)a=b時，靠近2條縱向路邊的2小塊面積最大且相等，最小者為最中央的一塊（n為奇數(shù)塊時）或2塊（n為偶數(shù)塊時），其余小塊由縱向路邊向中央位置方向推算時，對應(yīng)相等并逐漸縮小。

3）式（3）適用于各種圓曲線（小區(qū)道路一般無需設(shè)緩和曲線）道路的路邊建筑物地塊的面積計算。如將圓曲線設(shè)計為緩和曲線，則只需將圓曲線方程替換為緩和曲線方程，之后按同樣方法計算推導(dǎo)即可。

[1]GB/T17986-2000.房產(chǎn)測量規(guī)范[S].

[2]CJJ/T 8-2011.城市測量規(guī)范[S].

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007

[4]藍悅明，康雄華.不動產(chǎn)測量與管理[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2008

[5]徐興彬，邱錫寅，黃維章，等.基礎(chǔ)測繪學(xué)[M].廣州:中山大學(xué)出版社，2014

[6]王勝兵，戴明強，黃登斌.基于雙線性插值擬合的山形曲面面積計算[J].兵工自動化，2012,31(3):42-43

[7]王小昆，馮仲科，聶玉藻.應(yīng)用三次樣條法進行林地面積量算的研究[J].測繪科學(xué)，2004,29(4):57-60