曾召利，杜雙格，張曉軍，劉淵聲，尚永兵，李維娜，張 敏

引言

激光回饋是指激光器的輸出光被外部物體反射后，其中一部分光返回到激光器諧振腔，回饋光攜帶了外部物體的運(yùn)動(dòng)信息，與腔內(nèi)光場發(fā)生自混合干涉后，調(diào)制激光器強(qiáng)度輸出的現(xiàn)象［1－3］。根據(jù)回饋光在回饋外腔中往返次數(shù)的不同，激光回饋可分為單重回饋、雙重回饋和多重回饋等［4－6］。激光單重回饋是指激光在回饋外腔中往返一次后就返回到激光諧振腔，調(diào)制激光器產(chǎn)生類似于雙光束干涉的光學(xué)條紋，每個(gè)條紋對(duì)應(yīng)二分之一波長的位移，即激光單重回饋系統(tǒng)的分辨率為半個(gè)波長（對(duì)于632.8nm的氦氖激光波長，其分辨率為316.4nm）。

激光多重回饋是指激光在回饋腔內(nèi)經(jīng)歷幾十次甚至上百次往返，再返回到激光諧振腔，形成多重回饋，其優(yōu)點(diǎn)是能夠?qū)Π氩ㄩL條紋進(jìn)一步光學(xué)細(xì)分，可達(dá)納米級(jí)分辨率。為此，國內(nèi)外研究者對(duì)激光多重回饋現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究［7－10］，實(shí)現(xiàn)了對(duì)半個(gè)波長條紋的8細(xì)分［11］、甚至40細(xì)分［12］（對(duì)于632.8nm的氦氖激光波長，其分辨率達(dá)到8nm）。但是，在多重回饋系統(tǒng)中，由于采用了特殊的非準(zhǔn)直平凹回饋腔結(jié)構(gòu)，回饋光在平凹回饋腔內(nèi)的傳輸規(guī)律比較復(fù)雜，對(duì)獲得的調(diào)制幅度不均勻、存在大包絡(luò)的回饋條紋的產(chǎn)生機(jī)理還不十分清楚。

本文建立了一種基于非準(zhǔn)直平凹回饋腔的光線追跡模型，采用該模型對(duì)單頻激光多重回饋效應(yīng)進(jìn)行了研究，解釋了多重回饋中的各種條紋現(xiàn)象及產(chǎn)生機(jī)理。根據(jù)光線追跡的分析計(jì)算，獲得了不同回饋鏡傾角時(shí)多重回饋的回饋階次和耦合系數(shù)等參數(shù)，明確了影響回饋條紋形狀的主要因素，包括回饋鏡傾角、曲率半徑、反射率以及回饋外腔長等。

1 實(shí)驗(yàn)裝置

基于非準(zhǔn)直平凹回饋腔的單頻激光多重回饋系統(tǒng)如圖1所示。其中腔鏡M1、M2組成半外腔氦氖單縱模激光器，凹面鏡 M1的反射系數(shù)r1＝0.996，曲率半徑為1 000mm，平面鏡M2的反射系數(shù)r2＝0.994，T為激光增益管，激光諧振腔長為120mm。腔鏡M2與回饋鏡M3組成非準(zhǔn)直回饋外腔，M3與激光軸線之間有微小傾角θ，M3的反射系數(shù)為r3＝0.998，曲率半徑為R＝500mm，回饋外腔長為100mm（實(shí)驗(yàn)中可調(diào)節(jié)）。在非準(zhǔn)直回饋腔中，M2固定不動(dòng)，M3固定在壓電陶瓷（PZT）上，PZT加載有20Hz三角波電壓，驅(qū)動(dòng)回饋鏡M3往返運(yùn)動(dòng)，以改變外腔長；由于回饋鏡鍍有高反膜，激光輸出會(huì)在回饋外腔中多次往返后，再返回到激光諧振腔中，從而形成多重回饋。ATT為衰減片，用于適當(dāng)調(diào)節(jié)回饋光強(qiáng)。探測(cè)端的輸出光經(jīng)分光鏡BS分成兩部分，一部分入射到掃描干涉儀SI觀察激光器的模式；另一部分由光電探測(cè)器D1接收后，輸入到示波器OS顯示和存儲(chǔ)。

圖1 基于平凹回饋腔的單頻激光多重回饋系統(tǒng)Fig.1 Single frequency laser multiple feedback system based on plane－concave cavity

2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

采用基于非準(zhǔn)直平凹回饋腔的單頻激光多重回饋系統(tǒng)，對(duì)回饋鏡在不同傾角時(shí)的多重回饋現(xiàn)象進(jìn)行了研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。為便于多重回饋與單重回饋的現(xiàn)象對(duì)比，實(shí)驗(yàn)中首先采用反射率為0.04的回饋鏡，獲得了單重回饋的光強(qiáng)調(diào)制曲線，如圖2（a）所示；然后，換用反射率為0.998的回饋鏡，緩慢調(diào)節(jié)回饋鏡傾角θ，使θ從0°開始逐漸增大，同時(shí)在PZT上施加三角波電壓，此時(shí)獲得的多重回饋光強(qiáng)調(diào)制曲線如圖2（b）～（g）所示。

從圖2（a）可以看出，當(dāng)回饋鏡M3的反射率較小（弱回饋）時(shí)，激光器輸出光強(qiáng)隨外腔變化的曲線為類正弦形狀，而且回饋鏡每移動(dòng)半個(gè)波長位移就產(chǎn)生一個(gè)回饋條紋，該現(xiàn)象即為傳統(tǒng)單重回饋效應(yīng)。從圖2（b）、（d）、（f）可以看出，在回饋鏡傾斜時(shí)，激光輸出仍受到外腔長調(diào)制，但與傳統(tǒng)單重回饋相比，多重回饋使回饋條紋密度明顯增大，條紋周期明顯減小。通過對(duì)比相同時(shí)間周期內(nèi)的回饋條紋數(shù)，發(fā)現(xiàn)多重回饋條紋的密度可以達(dá)到傳統(tǒng)弱回饋條紋密度的25倍以上。從圖2（b）和（c）可以看出，在傾角為0.6′時(shí)，回饋條紋的調(diào)制幅度并不相同，整個(gè)回饋條紋曲線存在有大包絡(luò)現(xiàn)象。圖2（d）和2（e）顯示，當(dāng)傾斜角增大到1.2′時(shí)，回饋條紋的調(diào)制幅度逐漸變得均勻，但回饋條紋的密度并沒有改變。當(dāng)回饋鏡傾斜角繼續(xù)增大到1.7′時(shí)，從圖2（f）和2（g）可以看出，回饋條紋的調(diào)制幅度已變得十分均勻，大包絡(luò)基本消失，此時(shí)得到了穩(wěn)定的、條紋密度數(shù)十倍于傳統(tǒng)弱回饋的多重回饋條紋，每個(gè)回饋條紋對(duì)應(yīng)的分辨率約為λ／50。圖2（a）是傳統(tǒng)回饋調(diào)諧曲線；圖2（b）和（c）是回饋鏡傾斜角θ為0.6′；圖2（d）和（e）是回饋鏡傾斜角θ為1.2′；圖2（f）和（g）是回饋鏡傾斜角θ為1.7′；其中圖2（c）、（e）、（g）分別是圖2（b）、（d）、（f）的放大圖。

圖2 不同傾斜角時(shí)的多重回饋實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Experimental results of multiple optical feedback when tilted angle is different

3 光線追跡分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在基于非準(zhǔn)直平凹腔的多重回饋系統(tǒng)中，我們獲得了高分辨率的回饋條紋，該條紋在沒有任何電子細(xì)分條件下可以達(dá)到納米量級(jí)，而且還具有進(jìn)一步提高的潛力，這對(duì)研究高精度回測(cè)量系統(tǒng)具有重要意義。然而，由于多重回饋系統(tǒng)比較復(fù)雜，目前對(duì)高分辨率回饋條紋的產(chǎn)生機(jī)制還有待深入研究，同時(shí)對(duì)影響回饋條紋形狀的因素以及不同傾角下回饋條紋調(diào)制幅度不均勻等現(xiàn)象也未能很好解釋。

在腔鏡M2和回饋鏡M3組成的非準(zhǔn)直平凹回饋腔中，M2與 M3都鍍有高反射膜，而且M3與激光軸線之間有微小傾角，使得激光輸出會(huì)在平凹回饋腔內(nèi)經(jīng)歷幾十次甚至上百次往返后才返回到激光諧振腔，并且一般有多條經(jīng)歷了多次往返的回饋光都能返回到激光諧振腔，從而形成多重回饋。然而，由于回饋鏡M3的直徑較?。?0mm），幾十個(gè)反射光斑集中分布在回饋鏡中央10mm范圍內(nèi)，反射光斑之間互相重疊，人眼無法觀察到激光束究竟在平凹腔內(nèi)往返了多少次后才返回到激光諧振腔，所以無法知道回饋光的階次，也無法獲得準(zhǔn)確的條紋分辨率；同時(shí)，由于回饋光在激光腔鏡上相互重疊，將無法知道到底有幾條經(jīng)歷了多次往返的回饋光束能夠通過毛細(xì)管返回到激光諧振腔，也就無法解釋多次回饋條紋形狀的變化特點(diǎn)。從以上分析可知，多重回饋的各種現(xiàn)象本質(zhì)上是由平凹回饋系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)所決定，而光線追跡法對(duì)于分析激光束在回饋腔內(nèi)的幾何傳輸規(guī)律十分方便。

基于非準(zhǔn)直平凹回饋腔的光線追跡模型如圖3所示。在平凹回饋腔中，反射光斑在回饋腔鏡面上是沿直線分布的，反射光束在凹面回饋鏡上的投影可以看做一個(gè)圓弧，其方程為

圖3 非準(zhǔn)直平凹回饋腔光線追跡示意圖Fig.3 Schematic of ray tracing based on asymmetric plane－concave feedback cavity

式中R為凹面回饋鏡的曲率半徑，坐標(biāo)原點(diǎn)為圓弧的中心頂點(diǎn)。

腔鏡M2為平面鏡，它與凹面回饋鏡 M2之間的距離為D，反射光束在平面鏡上的投影可以看作一條直線，其方程可表示為

式中：θ為凹面鏡的傾斜角；α＝tanθ。

凹面鏡圓弧上經(jīng)過（x0，y0）點(diǎn)的法線方程為

凹面鏡圓弧上經(jīng)過（x0，y0）點(diǎn)的切線方程為

激光束入射到平凹回饋腔時(shí)，入射光線的方程為

平面鏡直線經(jīng)過（x0，y0）的法線方程為

由方程（1）～（6）可依次求出入射光與凹面鏡的交點(diǎn)位置以及反射光與平面鏡的交點(diǎn)位置，同時(shí)對(duì)每次反射設(shè)置一定的反射損耗，當(dāng)最后的光強(qiáng)小于初始光強(qiáng)的5%時(shí)，認(rèn)為回饋光在平凹腔內(nèi)的反射結(jié)束。由于He－Ne激光器的毛細(xì)管非常?。ㄖ睆郊s1mm），能夠返回到激光諧振腔內(nèi)的光束只能是毛細(xì)管的旁軸光束。所以，除了滿足回饋光強(qiáng)條件外，能夠返回到激光諧振腔的反射光斑的位置應(yīng)該在凹面鏡第一個(gè)反射光斑附近（兩光斑距離小于0.5mm），才能形成有效回饋?；仞伖馐祷氐郊す馇慌c內(nèi)部光場進(jìn)行耦合的強(qiáng)弱稱為耦合系數(shù)η，其大小主要由回饋光斑與毛細(xì)管截面的重疊面積決定。

當(dāng)回饋腔長D＝100mm，回饋鏡的曲率半徑R＝500mm，回饋鏡的傾斜角θ＝0.6′時(shí)，采用光線追跡得到回饋光束的有效階次分別為第25階（即在平凹回饋腔中往返了25次的回饋光束，η＝0.21）、第17階（η＝0.14）和第5階（η＝0.31），由于返回激光器的3條回饋光束的耦合系數(shù)η比較接近，根據(jù)疊加原理，得到的回饋曲線將具有大包絡(luò)的特點(diǎn)，這與圖2（b）和2（c）的實(shí)驗(yàn)曲線吻合得較好；當(dāng)回饋鏡的傾斜角為θ＝1.2′時(shí)，得到的有效階次分別為第25階（η＝0.30）、第17階（η＝0.08）和第5階（η＝0.18），此時(shí)能夠返回到激光器的回饋光束主要是第25階和第5階，得到的回饋曲線的大包絡(luò)會(huì)稍微平滑一些，這與圖2（d）和2（e）的實(shí)驗(yàn)曲線吻合得較好；當(dāng)傾斜角θ＝1.7′時(shí)，能夠返回到激光諧振腔的有效階次為第25階（η＝0.38）和第5階（η＝0.05），由于第5階的耦合系數(shù)比第25階小很多，因此疊加效應(yīng)不再明顯，回饋條紋的大包絡(luò)現(xiàn)象將消失，這與圖2（f）和2（g）的實(shí)驗(yàn)曲線吻合得很好。

追跡結(jié)果表明，由于非準(zhǔn)直平凹腔的特殊結(jié)構(gòu)，反射光束在平凹腔內(nèi)的反射比較復(fù)雜，一般會(huì)有多條經(jīng)歷了多次往返的回饋光束滿足有效回饋條件，形成多重回饋，而且有效回饋光的條數(shù)還會(huì)隨著外腔參數(shù)的變化而改變。采用光線追跡法不但驗(yàn)證了多重回饋的確是由多條回饋光束共同作用的結(jié)果，而且還確切知道了能夠返回到諧振腔的回饋光的階次及其耦合系數(shù)。

4 結(jié)論

提出了一種基于非準(zhǔn)直平凹腔的激光多重回饋光線追跡模型。采用光線追跡對(duì)激光多重回饋的有效回饋階次、耦合系數(shù)進(jìn)行了計(jì)算；對(duì)激光多重回饋條紋的產(chǎn)生機(jī)理與條紋特性進(jìn)行了研究；對(duì)影響多重回饋條紋形狀的主要因素進(jìn)行了分析；對(duì)回饋鏡傾斜角與回饋條紋之間的關(guān)系進(jìn)行了模擬，理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好?；诠饩€追跡的分析模型為研究多重激光回饋效應(yīng)提供了一種新的方法和思路。

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