王選擇，吳雅君，何 濤

引言

光柵投影測(cè)量法根據(jù)變形光柵圖像中像素的灰度值變化，解算出代表物體高度的相位信息，經(jīng)由相位展開(kāi)和系統(tǒng)標(biāo)定獲得物體的三維信息［1－2］。因此，對(duì)光柵條紋的相位處理是獲取高精度測(cè)量結(jié)果的重要環(huán)節(jié)。

相位處理方法主要有傅里葉變換法［3］和相移法［4］。前者對(duì)表面存在臺(tái)階和邊緣位置測(cè)量會(huì)產(chǎn)生頻譜拓延，且計(jì)算量大。后者通過(guò)對(duì)投影光柵進(jìn)行移相，由相移公式計(jì)算相位，對(duì)于臺(tái)階的測(cè)量存在高度限制［5－6］。同時(shí)，相移法得到的僅是包裹相位，還需進(jìn)行解包裹運(yùn)算。解包裹算法一般根據(jù)包裹相位圖特性解包，如基于統(tǒng)計(jì)濾波法［7］、基于可靠性法［8－10］等，要求空間相位具有連續(xù)性，對(duì)于表面高度存在突變物體的測(cè)量，容易出現(xiàn)“拉線”問(wèn)題［11］。

為了不受臺(tái)階高度限制，同時(shí)保證解相位高分辨率，提出一種逐步細(xì)化的變尺度光柵投影測(cè)量方法，通過(guò)銜接算法，直接獲取高分辨率的相位信息。

1 光柵條紋的設(shè)計(jì)

1.1 設(shè)計(jì)原理

光柵投影測(cè)量法一般采用正弦光柵進(jìn)行投影，投影光柵表達(dá)為

式中：（u，v）為投影面像素點(diǎn)坐標(biāo)；I（u，v）為（u，v）點(diǎn)灰度值；I0為背景光強(qiáng)；IA為調(diào)制強(qiáng)度；θ（u，v）為光柵相位；u0為投影面中心點(diǎn)橫坐標(biāo)。投影儀分辨率為8位，即28＝256，變化范圍為0～255，故取其中間值疊加一定偏差量作為光強(qiáng)值，取I0＝128，IA＝127。

上式中T為周期長(zhǎng)度，T越小，條紋越細(xì)密，分辨率越高。故傳統(tǒng)相移法多采用單組尺寸較細(xì)的光柵測(cè)量包裹相位，求解絕對(duì)相位還需進(jìn)行解包裹，而常規(guī)解包裹容易受遮擋、臺(tái)階等因素影響，導(dǎo)致成像相位非連續(xù)化，針對(duì)該問(wèn)題，提出多組尺寸呈倍數(shù)的條紋掃描思想，以獲取連續(xù)的相位場(chǎng)。

1.2 光柵條紋的設(shè)計(jì)特點(diǎn)

已知投影儀規(guī)格為960pixel×1 280pixel，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)5組平行于Y方向的條紋，T依次為1 280 pixel、160pixel、80pixel、40pixel與20pixel，即像素周期數(shù)T′分別為1、8、16、32、64。每組光柵條紋之間滿足：中心行像素點(diǎn)灰度值是以中心列為原點(diǎn)的余弦形式，不同像素周期的每組條紋中心相位均為0相位。

對(duì)于粗條紋T1＝1 280，θ1具有唯一性，且相位值在（－π，π）之間。對(duì)于細(xì)條紋，以T2＝160為例，θ2值不唯一，相位值分布在（－8π，8π）之間。由于每組條紋相位的中心相位一致，相移步長(zhǎng)一致，細(xì)條紋的相位是對(duì)粗條紋相位的細(xì)化放大，θ1、θ2滿足一定的線性關(guān)系：

根據(jù)（3）式，得到不同尺寸條紋中每一像素點(diǎn)的映射關(guān)系，將多組離散相位場(chǎng)銜接得到連續(xù)相位場(chǎng)，攻克了傳統(tǒng)條紋處理方法中相位場(chǎng)非連續(xù)的問(wèn)題。

2 相移掃描方法

已知投影光柵分布形式，那么變形光柵光強(qiáng)表達(dá)式為：I（x，y）＝I′0＋I(xiàn)′Acos［φ（x，y）］，忽略隨機(jī)噪聲，該方程就已包含了I′0、I′A、φ（x，y）3個(gè)未知數(shù)。因此，需要對(duì)投影光柵進(jìn)行移相來(lái)增加常相位，獲取多幅變形光柵圖，聯(lián)立方程求解相位場(chǎng)。

因此移相次數(shù)必須至少為3次，同時(shí)：1）相移光柵圖越多，測(cè)量精度越高；2）采集圖像數(shù)量越多，測(cè)量速度越慢。綜合考慮采用16步相移，每組光柵條紋進(jìn)行16次相移投影掃描，掃描方法如（4）式，掃描流程如圖1所示。對(duì)于n組條紋，共需投影16×n次，得到16×n幅變形光柵圖，為準(zhǔn)確得到每點(diǎn)相位提供了條件。

圖1 相移掃描流程圖Fig.1 Flow chart of phase shift scanning

3 相位提取算法

3.1 包裹相位的簡(jiǎn)化求解

若用傳統(tǒng)相移公式求16步相移包裹相位，計(jì)算繁瑣且速度慢。針對(duì)以上問(wèn)題，提出簡(jiǎn)化傅里葉變換法求解。若采樣長(zhǎng)度為T(mén)，采樣數(shù)量為n，對(duì)信號(hào)Acos（ωt＋φ）作傅里葉變換，即是分別用周期的正余弦離散信號(hào)與之相乘。又因?yàn)楦道锶~變換具有正交性，因此在信號(hào)頻率已知的情況下，求該信號(hào)的相位，僅需構(gòu)造同頻率的正余弦函數(shù)，分別與該信號(hào)相乘，求反正切函數(shù)值，即可得到包裹相位值。

已知具有16步相移的光柵投影是在一個(gè)周期中變化，即信號(hào)頻率已知。對(duì)于某一像素點(diǎn)，由16幅相移圖可以求出該點(diǎn)發(fā)生移相的16個(gè)灰度值z(mì)i。包裹相位可由下式求出：

該算法利用了傅里葉變換的思想，僅需16步乘法加法運(yùn)算，簡(jiǎn)化計(jì)算；預(yù)先求出構(gòu)造的正余弦函數(shù)值，提高了計(jì)算速度。

3.2 基于誤差最小原則的絕對(duì)相位逐級(jí)估算方法

進(jìn)行平板掃描實(shí)驗(yàn)，每組條紋得到16幅變形光柵圖。取變形光柵圖中某一行的像素點(diǎn)，求解出各像素點(diǎn)的包裹相位如圖2，為不同像素周期T′下同一行像素點(diǎn)的包裹相位，對(duì)于T′＝1的光柵條紋，如圖2中①位置，在整個(gè)測(cè)量范圍內(nèi)具有唯一性，故其包裹相位即為絕對(duì)相位φ1（x，y）＝φ1（x，y）；對(duì)于T′＝8的光柵條紋，從圖中鋸齒線的多相交點(diǎn)可以看出，此位置不唯一，包裹相位不等于絕對(duì)相位，聯(lián)系位置①，選取位置②作為T(mén)′＝8的絕對(duì)相位。

圖2 各周期包裹相位圖Fig.2 Wrapped phase image of different periods

由以上分析，可得絕對(duì)相位φ（x，y）＝φ（x，y）＋2kπ，式中（x，y）為變形光柵圖中投影點(diǎn)（u，v）對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)；φ（x，y）表示包裹相位值；k為（x，y）點(diǎn)所處的周期次數(shù)。提出用長(zhǎng)周期條紋包裹相位φ（x，y）來(lái)估算短周期條紋絕對(duì)相位φ（x，y）。

以T1＝1 280，T2＝160兩種周期寬度不同條紋為例。T1＝8T2，理論上（3）式的包裹相位關(guān)系滿足8φ1（x，y）＝φ2（x，y）＋2kπ，實(shí)際過(guò)程中考慮誤差的影響，根據(jù)誤差最小的原則：

式中，［］為取整運(yùn)算。

利用φ1（x，y）估算φ2（x，y），對(duì)短周期T2條紋絕對(duì)相位的估算為對(duì)于T3＝80的光柵條紋，利用φ2（x，y）估算

φ3（x，y）。由于T2＝2T3，其絕對(duì)相位的估算為

同理可以估算出其他幾種周期更短的條紋絕對(duì)相位。由此得到了被測(cè)表面每一點(diǎn)高度細(xì)化的絕對(duì)相位，減少了空間噪聲與量化誤差的影響。

4 實(shí)驗(yàn)及誤差分析

實(shí)驗(yàn)在暗室中進(jìn)行，將量程為0～100的投影儀亮度調(diào)整為60。利用光柵投影測(cè)量系統(tǒng)，對(duì)平板進(jìn)行投影掃描，掃描速度為30Hz，其中3組條紋如圖3所示。

圖3 平板掃描實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Flat scanning experiment results

取平板上某一行的像素點(diǎn)，在5組光柵條紋投影條件下，求該行每一像素點(diǎn)的絕對(duì)相位值φi（x，y），并分別由T′＝1、8、16、32的光柵絕對(duì)相位直接推測(cè)T′＝64的光柵相位值。求出每一像素點(diǎn)推測(cè)值與絕對(duì)相位的差值，作為推測(cè)誤差。推測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)離散程度，故可認(rèn)為是估算精度（如表1）。

表1 推測(cè)誤差 radTable 1 Estimation error

將T′＝64條紋的絕對(duì)相位值作為標(biāo)準(zhǔn)相位，對(duì)該相位場(chǎng)進(jìn)行二次曲線擬合（如圖4），在絕對(duì)相位（－64π，64π）的變化范圍內(nèi)，擬合標(biāo)準(zhǔn)差為0.096 63rad，達(dá)到了較高精度的解相位結(jié)果。

圖4 T′＝64條紋解相位及擬合誤差結(jié)果Fig.4 Unwrapping phase and fitting error of T′＝64

實(shí)驗(yàn)得出：投影光柵尺寸越細(xì)化，分辨率越高，測(cè)得的絕對(duì)相位越準(zhǔn)確。32周期的估算精度比直接由T′＝1推測(cè)T′＝64估算精度提高了97.11%。同時(shí)，由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，從T′＝1直接躍遷到T′＝64是可行的，這是由于本實(shí)驗(yàn)處于較理想的光照條件。因此在實(shí)際光照條件好的情況下，僅需要2組條紋進(jìn)行掃描即可。對(duì)于照明條件不理想的情況，可以取多組（3組及3組以上）尺寸不同的光柵來(lái)獲取較高的測(cè)量精度。

如圖4所示，擬合存在一個(gè)正弦誤差。這是由于實(shí)驗(yàn)中噪聲和投影過(guò)程中非線性等因素的影響，投影光柵并不滿足標(biāo)準(zhǔn)正弦分布，導(dǎo)致了相位求取的誤差。針對(duì)該問(wèn)題，需要對(duì)投影出的光柵條紋非正弦性進(jìn)行校正。具體可采用二次擬合法：第一次擬合，將所有投影點(diǎn)參與正弦擬合，尋找合理的斜率加權(quán)誤差閾值，剔除誤差大的點(diǎn)；第二次擬合，將剔除粗大誤差后的有效點(diǎn)進(jìn)行正弦擬合，由該正弦曲線求取初相位，從而提高了相位的擬合精度。

5 結(jié)論

基于經(jīng)典相移法，提出變尺度光柵投影測(cè)量方法，解決了傳統(tǒng)條紋處理方法中相位場(chǎng)非連續(xù)的問(wèn)題，基于誤差最小原則實(shí)現(xiàn)了對(duì)絕對(duì)相位的逐級(jí)估算。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法可以直接求取較高精度的絕對(duì)相位值，并且針對(duì)不同光照條件給出了設(shè)計(jì)條紋組數(shù)的建議。

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