李 江，楊朋利，李文婷，王 芝，安 靜，馮 婕，馬愛秋，付曉慶

引言

在傳統(tǒng)非球面面形檢測中，通常需要搭建輔助光路進(jìn)行測試，雖然檢測精度較高，但由于輔助光學(xué)元件受尺寸限制，所以檢測也具有一定局限性［1－3］。環(huán)形子孔徑拼接檢測技術(shù)作為非球面面形的一種檢測方法，最早是由Arizona大學(xué)光學(xué)中心的Y.M.Liu教授在1988年提出，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了該方法的可行性。隨著計(jì)算機(jī)控制技術(shù)和數(shù)據(jù)處理技術(shù)的不斷發(fā)展，美國QED公司于2003年研制出自動拼接干涉儀SSI，它能夠檢測具有一定非球面度且口徑小于200mm的非球面［4］。本文利用Zygo干涉儀來實(shí)現(xiàn)非球面環(huán)形子孔徑檢測，實(shí)現(xiàn)對口徑為8mm的非球面反射鏡的拼接檢測，并將使用無像差點(diǎn)法測得的全口徑面形數(shù)據(jù)與拼接檢測所得的面形數(shù)據(jù)進(jìn)行了比對。

1 環(huán)形子孔徑拼接檢測原理與拼接算法

1.1 環(huán)形子孔徑拼接檢測原理

采用Zygo干涉儀進(jìn)行測試，測試原理如圖1所示，由Zygo干涉儀發(fā)出的平面波通過標(biāo)準(zhǔn)鏡之后，匯聚成點(diǎn)后發(fā)散成為標(biāo)準(zhǔn)球面波，沿圖中箭頭所標(biāo)方向移動待測非球面，可以使具有不同半徑的參考球面波與待測非球面不同的環(huán)帶部分進(jìn)行匹配，從而獲得各環(huán)帶的面形圖，通過拼接算法將各環(huán)帶拼接在一起，即可獲得全口徑的面形信息。具體實(shí)現(xiàn)過程如圖2所示。

圖1 環(huán)形子孔徑拼接檢測原理示意圖Fig.1 Sketch of annular sub－aperture stitching testing

圖2 環(huán)形子孔徑拼接檢測的過程示意圖Fig.2 Process of annular sub－aperture stitching testing

1.2 環(huán)形子孔徑的劃分依據(jù)

在整個(gè)非球面子孔徑拼接檢測中，子孔徑的劃分直接決定著拼接算法的數(shù)據(jù)運(yùn)算量以及拼接檢測精度［5－6］，所以第一步要做的是合理劃分環(huán)帶子孔徑，劃分的依據(jù)是奈奎斯特采樣定理［7－8］，即要尋找能夠保證成像CCD上至少有2個(gè)像素點(diǎn)的寬度用來顯示一條條紋的位置［9］，這個(gè)位置即對應(yīng)子孔徑的邊界。根據(jù)這種劃分依據(jù)，便可以得到下式：

式中：n（x）為非球面子午線方程；s（x）為子孔徑的對應(yīng)球面波方程；p為干涉儀上成像CCD的可用像素?cái)?shù)（CCD像素為p×q，p≤q）；D為待測非球面口徑；λ為干涉儀中激光器發(fā)出激光的波長。

1.3 環(huán)形子孔徑的拼接算法

通常逐次拼接算法隨著拼接次數(shù)的增多，累積誤差不斷增大，對拼接精度影響很大［10］，所以本文提出基于最小二乘法的全局優(yōu)化拼接算法。當(dāng)拼接區(qū)域大于2個(gè)時(shí)，假設(shè)共有N個(gè)子孔徑拼接，可以先將其中任一個(gè)子孔徑作為基準(zhǔn)，為了便于定位和測量，一般選擇非球面中心區(qū)域的子孔徑組作為參考標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)其他子孔徑相對基準(zhǔn)子孔徑的調(diào)整系數(shù)分別為（a1，b1，c1，d1），（a2，b2，c2，d2），…，（aN－1，bN－1，cN－1，dN－1），則其他子孔徑尾箱分布與參考孔徑的位相分布關(guān)系為

利用最小二乘法，使得所有重疊區(qū)域位相差的平方和值為最小，可得：

式中m為每個(gè)重疊區(qū)域多的采樣點(diǎn)數(shù)，所有重疊區(qū)域的數(shù)目為N－1，利用最小二乘法，對（3）式中各個(gè)系數(shù)分別求偏導(dǎo)并令其值為零，可得：

式中1≤j≤N－1，利用上式就可以得到每個(gè)子孔徑相對基準(zhǔn)子孔徑的拼接因子，從而把所有子孔徑的位相數(shù)據(jù)統(tǒng)一到相同的參考面上。最后將拼接好的面形進(jìn)行Zernike擬合，剔除平移、傾斜、離焦對面型數(shù)據(jù)的影響，即整個(gè)環(huán)形子孔徑的拼接過程。

2 環(huán)形子孔徑拼接實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

為了驗(yàn)證上述拼接算法對非球面的檢測精度，現(xiàn)對口徑為8mm，頂點(diǎn)球半徑為43.95mm的旋轉(zhuǎn)雙曲面反射鏡進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該被測面既可采用無像差點(diǎn)法檢測，也可采用子孔徑拼接檢測，從而有利于驗(yàn)證拼接算法的正確性和可行性。該被測面全口徑滿足奈奎斯特采樣定理，采用子孔徑拼接法將全口徑面形劃分為2個(gè)子孔徑，子孔徑的劃分如圖3所示，將整個(gè)口徑分為2個(gè)環(huán)帶，圖中陰影部分為區(qū)域重合部分。具體實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

圖3 環(huán)帶劃分圖Fig.3 Two sub－apertures

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.4 Experimental setup

首先通過移動待測非球面，分別獲得子孔徑1和子孔徑2的面形圖，如圖5所示。

圖5 各子孔徑的面形圖Fig.5 Measured sub－apertures

將各子孔徑的面型數(shù)據(jù)作最小二乘法處理，進(jìn)而獲得拼接因子，然后再將拼接在一起的面形進(jìn)行Zernike多項(xiàng)式擬合，用以消掉調(diào)整誤差，最終得到全口徑的拼接檢測結(jié)果，如圖6所示，面形數(shù)據(jù)以λ作為計(jì)量基準(zhǔn)，其中λ＝632.8nm。

圖6 拼接檢測結(jié)果Fig.6 Stitching result

為驗(yàn)證拼接算法的正確性和穩(wěn)定性，現(xiàn)將全口徑被測面形按不同尺寸對子孔徑進(jìn)行重新劃分，改變子徑的邊界位置，并進(jìn)行多組重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 各組重復(fù)性實(shí)驗(yàn)最終拼接結(jié)果 λTable 1 Final stitching results for repeated experiments

從表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，重復(fù)性實(shí)驗(yàn)具有較高的穩(wěn)定性，基本可以滿足干涉測量的要求。

為驗(yàn)證拼接檢測的正確性，搭建圖7所示光路，實(shí)現(xiàn)無像差點(diǎn)法檢測全口徑。為進(jìn)一步排除裝調(diào)誤差對輔助驗(yàn)證結(jié)果的影響，在得到無像差點(diǎn)法的檢測面形之后，繼續(xù)進(jìn)行Zernike多項(xiàng)式擬合，剔除Zernike多項(xiàng)式前4項(xiàng)之后的結(jié)果，如圖8所示，檢測結(jié)果見表2。

圖7 搭建的無像差點(diǎn)法測試光路Fig.7 Setup of testing light path with aberration－free point method

圖8 無像差點(diǎn)法檢測結(jié)果Fig.8 Testing result of aberration－free point method

表2 拼接測試及其比對 λTable 2 Result of testing and comparison

從表2可以看出，環(huán)形子孔徑拼接檢測結(jié)果與無像差點(diǎn)法最終檢測結(jié)果PV值相差0.024λ，RMS值相差0.005λ。驗(yàn)證了拼接算法的正確性和可行性。

3 結(jié)論

本文利用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有Zygo干涉儀對一口徑為8mm的非球面實(shí)現(xiàn)了環(huán)形子孔徑拼接檢測，另搭建無像差點(diǎn)法測試光路對檢測結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明：環(huán)形子孔徑拼接檢測測量誤差小于1／20λ，這一結(jié)果充分說明了利用Zygo干涉儀對非球面進(jìn)行環(huán)形子孔徑拼接檢測的可行性，為今后非球面的檢測工作提供了一種可行的方法。

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