☉北京市豐臺區(qū)第二中學(xué) 孫泰 鄭新春
法出自然,思揭本源
——2014年北京市高考第19題賞析
☉北京市豐臺區(qū)第二中學(xué) 孫泰 鄭新春
2014年高考北京試卷理科第19題,保持了北京卷簡捷、優(yōu)美的一貫風(fēng)格,讀罷研磨,發(fā)現(xiàn)該題入口平實、思路寬泛、底蘊深厚,緊扣解析幾何的思想精髓,堪稱精品之作.賞析第(Ⅱ)問的解法,探尋一般結(jié)論,進而類比推廣,無疑對激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提升解題能力、豐厚解析幾何教學(xué)資源大有裨益.
題目已知橢圓C:x2+2y2=4.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)設(shè)O為原點,若點A在橢圓C上,點B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
解析幾何較歐氏幾何,最大的優(yōu)勢是把“運動變化引進了數(shù)學(xué)”,使我們實現(xiàn)了“用點的坐標刻畫運動”這一基本代數(shù)手段研究幾何問題的設(shè)想.而本題的解決過程淋漓盡致地展示了這一優(yōu)勢.
觀察第(Ⅱ)問,如圖1,直線AB是一條動直線,研究該動直線與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,實則判斷原點到直線AB的距離與√2的大小,而原點到直線的距離可由“點到直線的距離公式”或“等面積法”獲得,這是解決問題的基本思路.在我們追溯直線AB因何而動的過程中,自然產(chǎn)生了三類解題策略,展現(xiàn)出多種平實之入口(僅以入口1為例,闡述完整的解題過程).
圖1
1.視點A為主動點
從題設(shè)看,點A在橢圓C上的運動是主動的,而點B是受條件“OA⊥OB”的制約,在直線y=2上被動地運動.所以,我們設(shè)參數(shù)刻畫點A的運動,并用該參數(shù)表示點B的坐標,進而得到直線AB的方程或OA、OB及AB之長,即成為自然的選擇.
入口1:設(shè)點A(x0,y0),由題意知x0≠0,由OA⊥OB,
解法1:利用點到直線的距離公式解題.
解法2:利用等面積法解題.
入口4:設(shè)直線OA的斜率為k,則直線OA的方程為y= kx,代入橢圓C的方程,解得
當k=0時,點A,B的坐標分別為(2,0),(0,2),圓心O到直線AB的距離
2.視點B為主動點
就本題而言,我們不受題設(shè)干擾,轉(zhuǎn)換角度,可以發(fā)現(xiàn),視點B在直線y=2上主動運動,完全不悖題意,異曲同工,還有運算更簡的收獲.
入口5:設(shè)點B(m,2),當m=0時,由OA⊥OB得點A的坐標為(-2,0)或(2,0),易得圓心O到直線AB的距離為,此時直線AB與圓x2+y2=2相切;當m≠0時,由OA⊥ OB得OA的方程為
入口7:當直線OB的斜率k不存在時,點B坐標為(0,2),點A坐標為(2,0)或(-2,0),圓心到直線AB的距離d=,結(jié)論成立.
當直線OB的斜率k存在時,直線OB、OA的方程分別為y=kx(顯然k≠0)(下面求點A、B的坐標,建立直線AB的方程,與解法1類似,或求OA、OB的長與解法2類似)
3.淡化點A、B的主從地位
研究題設(shè),發(fā)現(xiàn)點A、B被條件“OA⊥OB”一肩挑起,這又為我們淡化它們的主從地位,產(chǎn)生如下解法提供了方便.
入口8:設(shè)點A、B的坐標分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因為OA⊥OB,所以,即tx0+2y0=0,解得.余下同解法1.
入口9:令OA=r1,OB=r2,圓心O到直線AB的距離為d,則點A的坐標為(r1cosθ,r1sinθ),點B的坐標為,根據(jù)點A、B分別在橢圓C和直線y=2上,故有此同解法2,不過要得需要對解題過程有一定的前瞻意識.
解罷本題,筆者被它簡捷優(yōu)美的結(jié)構(gòu)和豐富多彩的入口深深震撼,不禁捫心發(fā)問,如此精妙的問題是天成偶得還是內(nèi)含玄機?高考命題的源與流是什么?我們在將題中涉及的曲線一般化,一探究竟的過程中,竟得如下一系列令人興奮的命題.
1.從特殊到一般
從命題1出發(fā),變化不同的思維角度,可得如下推論.
(1)從度量角度得推論1.
注:2014年北京市高考理科第19題顯然是此命題的特殊情況.
(2)逆向思考,得推論2和推論3.
2.類比推廣
研究至此,筆者對能否把上述結(jié)論中的直線、或者圓、甚至橢圓分別換成其他曲線,相應(yīng)結(jié)論是否成立,發(fā)生了鍥而不舍的興趣,反復(fù)嘗試、研磨,終得正果.
(1)若點B的軌跡由直線變換為其他曲線
選特殊的位置觀察,對于圓x2+y2=m2,當OA是橢圓的長半軸時,AB與圓相切交y軸于點;同理,當OA是橢圓的短半軸時,推測點B所在曲線方程為,遂得命題2.
證明:令OA=r1,OB=r2,圓心O到直線AB的距離為d,則點A的坐標為(r1cosθ,r1sinθ),點B的坐標為由點A在橢圓C1上,點B在曲線C2上得因此圓心O到直線AB的距離=m.所以直線AB與圓x2+y2=m2相切.
注:當m=b得到2014年北京高考理科第19題的推廣命題1;當?shù)玫?009年山東高考理科第22題的推廣,至此發(fā)現(xiàn)兩道高考試題“同根同源”.當m<b時,曲線C2為橢圓,橢圓、橢圓和圓三圓相伴;當b<m<a時,曲線C2為雙曲線,雙曲線、橢圓和圓珠聯(lián)璧合.
(2)點A的軌跡由橢圓變換為其他曲線.
命題4已知點A在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點B在直線上,設(shè)O為原點,且OA⊥OB,則直線AB與圓相切.
(3)與直線AB相切的曲線由圓變換為其他曲線.
=1(0<m<a)上,點B在曲線上,設(shè)O為原點,直線OA、OB的斜率分別為則直線AB的包絡(luò)曲線C2的方程
面對當今高考幾近統(tǒng)一的標準,用“棋譜定式”般的演繹推理來解決“成型”的試題,已成為我們的“強項”,“高效數(shù)學(xué)課堂”也常被誤讀為“速解問題”的代名詞,學(xué)生很少嘗試數(shù)學(xué)研究的過程,很難體會到數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)、類比、歸納、證明過程中的思維之美,更體驗不到創(chuàng)造的激情,這樣的教學(xué),很難培養(yǎng)出善于提出問題和解決問題的創(chuàng)新人才.數(shù)學(xué)先哲畢達哥拉斯說:“在數(shù)學(xué)的天地里,重要的不是我們知道什么,而是我們怎么知道什么”,張飴慈教授、章建躍先生分別著文1、文2告誡我們一線的教師要發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量,大數(shù)學(xué)家高斯說出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真境界:“給我最大快樂的,不是已懂得知識,而是不斷的學(xué)習(xí);不是已有的東西,而是不斷的獲??;不是已達到的高度,而是繼續(xù)不斷的攀登.”所以,挖掘教學(xué)“礦點”,探索過程與結(jié)論并重的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,是我們工作的重要目標.站在長遠的角度,我們甚至可以說:結(jié)論可以無用,過程斷然無價.
最后,誠摯感謝北京市數(shù)學(xué)特級教師連春興老師的幫助.
1.張飴慈.解數(shù)學(xué)題不應(yīng)是公式、規(guī)則的演繹游戲[J].數(shù)學(xué)通報,2010(6).
2.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量為學(xué)生謀求長期利益[J].數(shù)學(xué)通報,2013(2).FH