☉江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 王 耀

淺析“向量坐標(biāo)系”在解題中的應(yīng)用

☉江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 王 耀

文1中，筆者通過建立“向量坐標(biāo)系”解決了一類高考題.事實(shí)上，對(duì)“”這種形式的許多問題，［2］還可利用平面向量基本定理去進(jìn)一步研究“向量坐標(biāo)系”，并通過與平面直角坐標(biāo)系的類比，得到向量坐標(biāo)系中的一些重要推論，從而可直接基于向量視角順利解決問題.

一、“向量坐標(biāo)系”的三要素

1.認(rèn)識(shí)“向量坐標(biāo)系”中的“點(diǎn)”的屬性

圖1

2.分析“向量坐標(biāo)系”中的距離、夾角和數(shù)量積

這里，以剛結(jié)束的一道2014年卓越聯(lián)考自主招生試題為例來研究“向量坐標(biāo)系”中的兩點(diǎn)距離問題.

試題 n1、n2是兩個(gè)夾角為θ的單位向量，以n1、n2為基的坐標(biāo)系中，A（x1，y1），B（x2，y2），求|AB|.

首先，以n1方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)n1=（1，0），n2=（cosθ，sinθ），那么由A（x1，y1）知得到A（x1+y1cosθ，y1sinθ）；同理，可知B（x2+y2cosθ，y2sinθ），則可得到|AB|=

事實(shí)上，若建立向量坐標(biāo)系的話，只要通過向量基本運(yùn)算即可得到同樣的結(jié)果，這也說明選擇不同的坐標(biāo)系，距離是不變的.具體解法如下：

設(shè)n1、n2的交點(diǎn)為O，則那么=（x2-x1）n1+（y2-y1）n2，那么（y2-y1）2+2（x2-x1）（y2-y1）n1n2，利用n1n2=cosθ即可解得

此時(shí)，即可探究向量坐標(biāo)系中的兩個(gè)向量的數(shù)量積定義與計(jì)算公式，不妨設(shè)a=一方面：a·b=（x1n1+y1n2）·（x2n1+y2n2）=x1x2+y1y2+（x1y2+ x2y1）n1·n2=x1x2+y1y2+（x1y2+x2y1）cosθ； 又由定義a·b=，及余弦定理：=|a|·|b|·cos〈a，b〉，則可知在向量坐標(biāo)系中，向量數(shù)量積a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉仍然成立，這與平面直角坐標(biāo)系中的結(jié)論一致.并且，向量極化恒等式a·b=和平行四邊形公式|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）依然成立.

3.探究“向量坐標(biāo)系”中的“線”的本質(zhì)

圖2

文1中，基于平面向量基本定理的推論進(jìn)一步討論了一類可化為“”的向量值線性規(guī)劃區(qū)域問題，即將問題轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)的基底向量，從而研究k= λ+μ的取值范圍，其中k=，如圖2所示.那么，對(duì)于向量坐標(biāo)系中任意的一條線aλ+bμ=c（a，b，c∈R）又表示何種意義呢？首先，分別考慮如下情形.

評(píng)注：事實(shí)上，此處也可用平面幾何知識(shí)，過點(diǎn)C分別作OA、OB的平行線，由平行線分線段成比例定理更容易得到，同理也能夠得到向量在直線μ=λ上.

二、例題賞析

例1 （1）（2013年北京（文）14）已知點(diǎn)A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面區(qū)域D由所有滿足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點(diǎn)P組成，則區(qū)域D的面積為_________.

（2）（2014年福建預(yù)賽8）已知點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2）.平面區(qū)域D由所有滿足（1＜λ≤a， 1＜μ≤b）的點(diǎn)P（x，y）組成.若區(qū)域D的面積為8，則a+b的最小值為_________.

（3）已知-1≤x≤3，1≤y≤4，|a|=1，|b|=2，〈a，b〉=60°，則|xa+yb|的取值范圍為_________.

圖3

那么區(qū)域D的形狀為平行四邊形，夾在兩對(duì)平行線λ=1，λ=2與μ=0，μ=1之間，其面積與以為鄰邊的平行四邊形面積相等，即

圖4

由題意可知SP=（a-1）8（a-1）（b-1）=8，即（a-1）（b-1）=1.

（3）建立向量坐標(biāo)系（如圖5），分別作直線x=-1，x=3，y=1，y=4，易知|xa+yb|min=|m|，|xa+yb|max=|n|.

圖5

圖6

例2（1）（2013年浙江省杭州市高三一模17）如圖6，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若則x+3y的取值范圍是_________.

圖7

（3）（2014年浙江省寧波市高三模擬）已知點(diǎn)O是△ABC的外心（外接圓的圓心），且AB= 3，AC=4，若存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得且x+ 2y=1，則cos∠BAC=_________.

圖8

（4）（2014年蘇錫常鎮(zhèn)高三第一次調(diào)研12）如圖8，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，則λ的值為_________.

（2）如圖7所示，分別過點(diǎn)Q、R、P作BC的平行線，分別交AB于G、H、I三點(diǎn)，則可設(shè)AG=GI=x，IB=y，HI=z；BH= GH=y+z，那么AB=AG+GH+IB=x+x+y；AB=BH+HG+AG= 2（y+z）+x.由此可知x=y+2z.又由P為CR的中點(diǎn)，可知HI= IB，即y=z，那么x=3z.因此，由可知m+n==

評(píng)注：此題中若沒有“若存在非零實(shí)數(shù)x、y”這個(gè)條件，結(jié)果將會(huì)發(fā)生變化.通過上述解析過程發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=0， y=時(shí)，△ABC的外心點(diǎn)O和點(diǎn)D重合，此時(shí)△ABC為直角三角形，且AB⊥BC，則cos∠BAC=，故結(jié)果將會(huì)有兩解.

圖9

（4）在圖9中，過點(diǎn)G作AB的平行線交AO于點(diǎn)E，作AC的平行線交AO于點(diǎn)F，由可知即有=；同理那么

例3 （1）（2014屆成都二診數(shù)學(xué)（文科）試題15）已知單位向量i、j的夾角為θ（0＜ θ＜π，且θ≠），若平面向量a滿足a=xi+yj（x，y∈R），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）稱為向量a在“仿射”坐標(biāo)系Oxy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作a=（x，y）θ.有下列命題：

①已知a=（2，-1）θ，b=（1，2）θ，則a·b=0；

③已知a=（x1，y1）θ，b=（x2，y2）θ，則a-b=（x1-x2，y1-y2）θ；

④已知=（1，0）θ，=（0，1）θ，則線段AB的長度為2sin

其中為真命題的是________（寫出所有真命題的序號(hào)）.

圖10

①x≥0，y≥0；②x-y≥0；③x-y≤0；④x-2y≥0；⑤2x-y≥0.

解析：（1）①由前文分析知a·b=（2i-j）·（i+2j）=3i·j= 3cosθ，當(dāng)且僅當(dāng)θ=90°時(shí)，a·b=0.故①錯(cuò).

②在向量坐標(biāo)系下考慮，若向量a、b的夾角取到最小值0時(shí)，則向量a、b共線且同向，那么x=y＞0；反之，若x= y＜0時(shí)，向量a、b共線但是反向，故它們夾角取到最大值π.因此，②錯(cuò).

③a-b=（x1-x2）i+（y1-y2）j=（x1-x2，y1-y2）θ.

綜上可知，③④為真命題.

（2）建立如圖10所示的“向量坐標(biāo)系”，仿照平面直角坐標(biāo)系，首先同樣得到：x≥0，y≥0.

此外，線段MN上滿足x+y=1；右上方的平行線段上滿足x+y=k（k＞1）.故圖10中所示區(qū)域內(nèi)的系數(shù)滿足：

三、題后總結(jié)

文中，筆者從純向量的角度分析了“向量坐標(biāo)系”的特性，并成功應(yīng)用到一系列可化為此背景的高考或?？荚囶}中.常規(guī)做法主要是建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算或者直接利用向量基本運(yùn)算，這種傳統(tǒng)的處理方式在解決問題時(shí)，耗時(shí)耗力；而本文提供的這種“幾何通法”的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在：利用平面向量的基本定理，將一類涉及基底的線性表示系數(shù)之和的問題，化歸為建立基底“向量坐標(biāo)系”進(jìn)行問題分析.這種做法既能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算，又能夠充分體現(xiàn)向量的“形”的幾何優(yōu)勢，將“形”的魅力展現(xiàn)到極致.

在教學(xué)中，要對(duì)重要知識(shí)點(diǎn)有選擇地“把書讀厚”，即指要讓學(xué)生明白知識(shí)的核心和本質(zhì)是什么，它的上位知識(shí)是什么，以及構(gòu)成知識(shí)的基本要素又有哪些，它的用處在哪兒.結(jié)合對(duì)文中相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐來看，筆者并沒有涉及“仿射坐標(biāo)系”等高深的概念，而是直接用“向量坐標(biāo)系”來描述，并且通過與平面直角坐標(biāo)系的類比而研究得到向量坐標(biāo)系中的許多性質(zhì)，這樣的處理方式適合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，避免讓學(xué)生覺得很難很高深，反而容易被學(xué)生理解和掌握.［3］

綜上所述，作為教師，要了解知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，深諳個(gè)中的關(guān)系，并自覺地指導(dǎo)和幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問題，參悟本質(zhì)，形成思維.只有這樣，作為求知者的學(xué)生，才能從被動(dòng)的解題中解放出來，知曉知識(shí)的來龍去脈，深究核心知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而做到了然于心，方能運(yùn)用自如.

1.王耀.一類可化為向量值線性規(guī)劃問題的研究及其應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（3）.

2.蔣明建.破解向量難題 挖掘潛在信息［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（9）.

3.齊民友.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（4）.F