張華民，梅 紅

(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 蚌埠 233030)

柯西不等式的一個(gè)注記

張華民，梅 紅

(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 蚌埠 233030)

利用向量的勾股定理證明了線(xiàn)性代數(shù)中的柯西不等式和三角不等式，探討了這兩個(gè)不等式的聯(lián)系，并用三角不等式證明了柯西不等式，指出了該不等式名稱(chēng)中一個(gè)易被忽視的細(xì)節(jié)。

勾股定理；柯西不等式；三角不等式

線(xiàn)性代數(shù)是理工科大學(xué)生的一門(mén)重要課程，學(xué)好這門(mén)課對(duì)理工科大學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)具有重要意義。如何上好這門(mén)課，人們已做了許多工作[1-3]，筆者也進(jìn)行了有益的嘗試[4-5]。本文主要探討了向量的勾股定理，并用它證明柯西不等式和三角不等式，建立這兩個(gè)不等式間的聯(lián)系，并指出柯西不等式名稱(chēng)中一個(gè)易忽略的細(xì)節(jié)。

1 向量?jī)?nèi)積的幾何意義

內(nèi)積是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，歐氏空間中的許多概念和方法都與內(nèi)積相關(guān)。下面給出內(nèi)積的定義與幾何意義。由于諸多文獻(xiàn)中對(duì)內(nèi)積的記號(hào)表示不盡相同[6-10]，例如文獻(xiàn)[6]是用圓括號(hào)(小括號(hào))，文獻(xiàn)[7]是用方括號(hào)(中括號(hào))，文獻(xiàn)[8-9]是用尖括號(hào)，文獻(xiàn)[10]是用實(shí)心點(diǎn)表示的。本文記號(hào)以文獻(xiàn)[6]為準(zhǔn)。先給出內(nèi)積的定義。

定義1 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線(xiàn)性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱(chēng)為內(nèi)積，記作(α,β)，它具有以下的性質(zhì)：

(1)(α,β)=(β,α);

(2)(kα,β)=k(α,β);

(3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ);

(4)(α,α)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)α=0時(shí), (α,α)=0。

其中α,β,γ∈V,k∈R。規(guī)定當(dāng)且僅當(dāng)兩向量的內(nèi)積為零時(shí)，稱(chēng)兩向量是正交的。

定義內(nèi)積的二元實(shí)函數(shù)有很多種，通常的定義有下面兩種，一是在向量空間Rn中，取α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T, 則向量α和β的內(nèi)積(有的文獻(xiàn)也稱(chēng)為點(diǎn)積、數(shù)量積[10])定義為(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn，若引入求和符號(hào)∑、向量和矩陣來(lái)表示，記n階單位矩陣為I, 則上式又可寫(xiě)為

βTα=αTIβ=βTIα。

‖α‖≥0,‖kα‖=|k|‖α‖ 。

若 ‖α‖=1則稱(chēng)其為單位向量，記為αe。

由內(nèi)積的性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到

(1)

即向量β與α內(nèi)積的幾何意義。更進(jìn)一步，若取α為單位向量，即有‖α‖=1=(α,α)，此時(shí)記

α=αe，則上式可寫(xiě)為

即向量β與單位向量αe的內(nèi)積(β,αe) 為向量β在單位向量αe的方向上正投影的數(shù)量積[10]。

2 兩個(gè)重要不等式的證明

柯西不等式

|(α,β)|≤‖α‖ ‖β‖

(2)

和三角不等式

‖α+β‖≤‖α‖+ ‖β‖

(3)

是兩個(gè)著名的不等式。一般線(xiàn)性代數(shù)或高等代數(shù)教材通常是利用向量α,β的線(xiàn)性組合α+tβ來(lái)構(gòu)造內(nèi)積，由內(nèi)積(α+tβ,α+tβ)的非負(fù)性，證得不等式(2)；利用內(nèi)積的定義將恒等式‖α+β‖2=(α+β,α+β) 展開(kāi)，然后利用不等式(2)證得三角不等式(3)。這樣證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，但容易給人造成誤解，感覺(jué)是柯西不等式強(qiáng)于三角不等式。實(shí)際上這兩個(gè)不等式間雖有上述的聯(lián)系，但彼此互相獨(dú)立，它們都可直接由向量的勾股定理得到。下面直接用向量勾股定理來(lái)證明這兩個(gè)著名的不等式。

(4)

證明 由(1)式有

(5)

化簡(jiǎn)得

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得|(α,β)|≤‖α‖‖β‖

這樣就證明了著名的柯西不等式。

注1 不等式(2)是歷史上有名的不等式，該不等式的離散形式為[11]

注2 在不同的文獻(xiàn)上不等式(2)的名稱(chēng)也不盡相同。例如在文獻(xiàn)[6]中稱(chēng)為柯西-布涅柯夫斯基不等式，在文獻(xiàn)[7]中稱(chēng)為施瓦茲不等式，在文獻(xiàn)[2,13]中稱(chēng)為施瓦茨不等式。這里需要對(duì)施瓦茲或施瓦茨說(shuō)明一下， Laurent Moise Schwartz (1915.03.05-2002.07.04) 是法國(guó)人, 因在分布理論、泛函分析、概率論方面的卓越貢獻(xiàn)獲得1950年的菲爾茲獎(jiǎng)[13]，另一位是Hermann Amandus Schwarz (1843.01.25-1921.11.30)，他是德國(guó)數(shù)學(xué)家，魏爾斯特拉斯的學(xué)生，研究并發(fā)現(xiàn)了施瓦茲極小曲面，柯西-施瓦茲不等式就是以他的名字命名的[14](除引用別的文獻(xiàn)中名稱(chēng)外，本文均將Schwarz譯為施瓦茲)。把這兩個(gè)人弄混淆并非只發(fā)生在漢語(yǔ)文獻(xiàn)里，在Gene H. Golub和 Charles F. Van Loan[15]經(jīng)典著作的正文和索引里都把這個(gè)不等式稱(chēng)為Cauchy-Schwartz-inequality[15]，而在對(duì)應(yīng)的中國(guó)科學(xué)院袁亞湘翻譯的漢譯本矩陣計(jì)算[16]的正文中仍稱(chēng)為Cauchy-Schwartz不等式，而在索引中則稱(chēng)為Cauchy-Schwarz不等式。

下面用(1)式來(lái)證明三角不等式。

證明 記γ=α+β, 則有

‖α‖+‖β‖。

若(α,γ)與(β,γ)同號(hào)，則第一個(gè)不等號(hào)中等號(hào)成立，若(α,γ)與(β,γ)異號(hào)則小于號(hào)成立，第二個(gè)不等號(hào)用到了(5)式中的結(jié)論。

一般文獻(xiàn)中多用柯西不等式來(lái)證明三角不等式，下面反過(guò)來(lái)用三角不等式來(lái)證明柯西不等式。

證明 由三角不等式‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖兩邊平方，并進(jìn)一步化簡(jiǎn)有

(‖α+β‖)2≤(‖α‖+‖β‖)2，(α+β,α+β)≤(α,α)+2‖α‖‖β‖+(β,β)，

(α,β)≤‖α‖‖β‖

(6)

在上面的證明過(guò)程中β用-β代替，化簡(jiǎn)得到

-(α,β)≤‖α‖‖β‖

(7)

將(6)、(7)兩式結(jié)合，即證得(2)式成立。

由上面的證明可看出柯西不等式與三角不等式是源于勾股定理的兩個(gè)相互獨(dú)立的不等式。

3 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)向量的勾股定量，證明了著名的柯西不等式和三角不等式，討論了這兩個(gè)著名不等式間的聯(lián)系，用三角不等式證明了柯西不等式，理清了柯西不等式命名中一個(gè)易被忽視的細(xì)節(jié)。

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Note of the Cauchy Inequality

ZHANG Hua-min，MEI Hong

( Department of Mathematics and Physics, Bengbu University, Bengbu 233030, China)

By using the Pythagorean theorem of vectors, the Cauchy inequality and the triangle inequality are proved and the relationship of these two inequalities are discussed. The Cauchy inequality is proved by using the triangle inequality. Moreover, an ignored detail in the name of the Cauchy inequality is pointed out.

pythagorean theorem, Cauchy inequality, triangle inequality

2015-04-27

2013省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目(2012GXK106)，2013教學(xué)團(tuán)隊(duì)(jxtd02)，省級(jí)質(zhì)量工程(2014zy141)和院級(jí)項(xiàng)目 (2015ZR10)。

張華民，男，安徽蚌埠人，博士，蚌埠學(xué)院數(shù)理系副教授，主要從事線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)和研究。

時(shí)間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.031.html

O151.2

A

1007-4260(2015)04-0123-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.031