張志昌，賈 斌，李若冰

(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安710048)

六圓弧蛋形斷面正常水深直接計(jì)算方法

張志昌，賈 斌，李若冰

(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安710048)

【目的】 研究六圓弧蛋形斷面正常水深的簡(jiǎn)單計(jì)算方法，為該斷面的工程設(shè)計(jì)提供技術(shù)支持?！痉椒ā?根據(jù)面積分割法計(jì)算六圓弧蛋形斷面的面積、濕周和水力半徑，根據(jù)明渠均勻流理論計(jì)算不同流量時(shí)渠道的正常水深，通過(guò)優(yōu)化擬合研究蛋形斷面正常水深的簡(jiǎn)單計(jì)算方法。【結(jié)果】 優(yōu)化擬合得到了蛋形斷面水深處于不同位置時(shí)相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑的計(jì)算公式，確定了正常水深與流量的關(guān)系及水深的迭代計(jì)算公式，通過(guò)優(yōu)化擬合研究，最后給出了正常水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。【結(jié)論】 所建立的六圓弧蛋形斷面正常水深的理論計(jì)算公式和近似計(jì)算公式計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、精度高，平均誤差為0.204%，最大誤差為1.129%。

六圓弧蛋形斷面；正常水深；計(jì)算方法；參數(shù)修改

正常水深的計(jì)算在明渠設(shè)計(jì)、運(yùn)行、維護(hù)中具有重要作用。明渠斷面有矩形、梯形、U形、馬蹄型、蛋形等多種形式，對(duì)于矩形和梯形斷面正常水深的研究已有很多成果[1-3]，對(duì)于U形斷面文獻(xiàn)[4]給出了直接計(jì)算公式，馬蹄型斷面分為標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄型斷面文獻(xiàn)[5]給出了正常水深的迭代公式，文獻(xiàn)[6]給出了標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄型斷面正常水深的直接計(jì)算公式。

蛋形斷面由于受力條件好，水流條件優(yōu)越，常用于城市的排水工程和水工建筑物的隧洞工程。例如美國(guó)曼哈頓的排水工程、印度卡納塔克邦Varahi水電站的輸水工程[7]，以及我國(guó)湖南省臨澧縣青山水輪泵站灌區(qū)的冉鋪灣隧洞[8]和衡東縣白蓮灌區(qū)武家坳隧洞[9]均采用蛋形斷面。

蛋形斷面形狀比較復(fù)雜，形式多樣。斷面形式主要有下部為半圓形、上部為半橢圓形的蛋形斷面[10]；底部為半圓形、上部為拋物線形的蛋形斷面[9]和四圓弧蛋形斷面[11]及六圓弧蛋形斷面[7-8]等。目前有關(guān)蛋形斷面水力特性的研究主要集中在正常水深和臨界水深方面。就正常水深而言，文獻(xiàn)[10]研究了下部為半圓、上部為半橢圓的蛋形斷面正常水深的近似計(jì)算方法；文獻(xiàn)[12]運(yùn)用CAD技術(shù), 編制了倒立式四圓弧蛋形斷面諾謨圖；文獻(xiàn)[13]也對(duì)倒立式四圓弧蛋形斷面的水力要素進(jìn)行了分析，給出了正常水深的計(jì)算方法；文獻(xiàn)[14]將倒立式四圓弧蛋形斷面分成3個(gè)區(qū)域，分別給出了正常水深的迭代公式，與理論公式相比該迭代公式的誤差小于1%；文獻(xiàn)[15]研究了四圓弧蛋形斷面隧洞正常水深的簡(jiǎn)易算法，但從公式結(jié)構(gòu)來(lái)看其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜；文獻(xiàn)[11]研究了四圓弧蛋形斷面的正常水深，但在計(jì)算時(shí)需借助表格查算，計(jì)算過(guò)程比較麻煩；文獻(xiàn)[16]依據(jù)優(yōu)化擬合理論，給出了我國(guó)目前應(yīng)用的六圓弧蛋形斷面正常水深的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，但在計(jì)算濕周時(shí)誤將底部弓形斷面的半角當(dāng)作全角，公式存在著明顯的錯(cuò)誤；文獻(xiàn)[7]研究了另一種形式的六圓弧蛋形斷面正常水深和臨界水深的計(jì)算方法，與我國(guó)目前應(yīng)用的六圓弧蛋形斷面相比，其圓弧的圓心位置不同。

綜上可以看出，蛋形斷面正常水深的計(jì)算主要是針對(duì)四圓弧蛋形斷面或者圓弧和橢圓組合形式。六圓弧蛋形斷面由6個(gè)圓心和3個(gè)不同半徑的圓弧組成，幾何形狀復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程繁瑣。因此，本研究在詳細(xì)推導(dǎo)六圓弧蛋形斷面正常水深計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，分析了蛋形斷面相對(duì)面積、相對(duì)水力半徑、相對(duì)濕周、相對(duì)流量與相對(duì)水深的關(guān)系，以期確定該斷面正常水深的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，從而為六圓弧蛋形斷面的工程設(shè)計(jì)提供技術(shù)支撐。

1 蛋形斷面的形狀及參數(shù)

六圓弧蛋形斷面是在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上改進(jìn)的。文獻(xiàn)[17]在設(shè)計(jì)中取r1=280 cm，r2=120 cm，r3=85 cm，α1=25.375°(0.442 88 rad)，α2=122.2°(2.132 79 rad)，α3=27.066 7°(0.472 4 rad)，α4沒(méi)有給出角度，渠道最大寬度為r1，最寬處距渠底的距離為82 cm，但使用計(jì)算機(jī)繪圖時(shí)發(fā)現(xiàn)，在每個(gè)圓弧與圓弧相切點(diǎn)都找不到切點(diǎn)。因此作者對(duì)原設(shè)計(jì)進(jìn)行了修改，在修改中仍保持r1、r3、α1，由圖1的幾何關(guān)系計(jì)算得：hab=27.013 74 cm，h2=54.782 39 cm，h3=78.912 02 cm，r2=119.291 86 cm，α2=121.183 8°(2.115 06 rad)，α3=29.408 1°(0.513 27 rad)，α4=40.128 11°(0.700 37 rad)。為了使蛋形斷面具有通用性，文獻(xiàn)[18]將hab、h2、h3、r2、r3均換成r1的函數(shù)，得hab=0.096 478r1，h2=0.195 651 4r1，h3=0.281 829r1，r2=0.426 042r1，r3=(17/56)r1。

現(xiàn)以圖1中ab、cd、ef作為分界線，對(duì)應(yīng)水深分別為hab、hc d、hef，則可以將斷面水深h分為4種情況，即h≤hab、hab≤h≤hc d、hc d≤h≤hef和h≥hef。

圖1 蛋形斷面設(shè)計(jì)示意圖Fig.1 Diagrammatic design of egg-shaped cross section

2 不同水深時(shí)蛋形斷面面積、濕周、水力半徑和水深的計(jì)算

2.1 水深處于底部弓形斷面(h≤hab)

如圖2所示，當(dāng)斷面實(shí)際水深h處于底部弓形，即h≤hab時(shí)，斷面相對(duì)面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑及相對(duì)水深按照下列公式計(jì)算。

斷面相對(duì)面積為：

(1)

式中：A0為水深h對(duì)應(yīng)的斷面面積；φ為水深h處于底部弓形斷面時(shí)對(duì)應(yīng)的半角。

相對(duì)濕周為：

χ/r1=2φ。

(2)

式中：χ為濕周。

相對(duì)水力半徑為：

R/r1=A0/(χr1)=(2φ-sin 2φ)/(4φ)。

(3)

式中：R為水力半徑。

相對(duì)水深為：

h/r1=1-cosφ。

(4)

以上各式中，0<φ≤25.375°(0.442 88 rad)。

2.2 水深處于最大寬度以下(含最大寬度)斷面(hab≤h≤hcd)

如圖3所示，當(dāng)斷面實(shí)際水深h處于最大寬度以下時(shí)，可將計(jì)算區(qū)域分為底部、兩側(cè)弓形和中央梯形4個(gè)部分，其面積分別為A1、A2、A3、A4，文獻(xiàn)[18]給出的相對(duì)斷面面積計(jì)算公式為：

(5)

式中：α4=40.128 11°(0.700 37 rad)，sin (α4-β)=sinα4cosβ-cosα4sinβ，代入公式(5)有：

(6)

同理，相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑和相對(duì)水深的計(jì)算公式為：

χ/r1=2α1+(34/56)(α4-β)=1.310 978-(34/56)β，

(7)

R/r1=[0.242 5-(17/56)2(β+sinβcosβ)-0.119 26sinβ]/[1.310 978-(34/56)β]，

(8)

h/r1=(hab+h2-r3sinβ)/r1=0.292 129-(17/56)sinβ。

(9)

式中：0≤β≤40.128 11°(0.700 37 rad)。

圖2 水深處于底部弓形斷面Fig.2 Water depth at the bottom bow of cross section

2.3 水深處于ef線(含ef線)以下斷面(hcd≤h≤hef)

(10)

χ/r1=2α1+(34/56)α4+2β1=1.310 978+2β1，

(11)

R/r1=(0.242 5+β1-sinβ1+sinβ1cosβ1)/(1.310 978+2β1)，

(12)

h/r1=0.292 129+sinβ1。

(13)

式中：0≤β1≤29.408 1°(0.513 27 rad)。

2.4 水深處于頂部弓形(ef線以上)斷面(h≥hef)

當(dāng)斷面水深h處于圖5的ef線以下時(shí)，在ef線以下(含ef線)的相對(duì)斷面面積可以由公式(10)計(jì)算，此時(shí)的β1=α3=29.408 1°(0.513 27rad)。當(dāng)斷面水深h處于圖5的ef線以上時(shí)，在ef線以上面積可以分為兩側(cè)弓形面積A8、A9及中間梯形面積A10。

相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑和相對(duì)水深的計(jì)算公式為：

(14)

χ/r1=2.337 514+0.852 084β2，

(15)

R/r1={0.614 854+0.181 512[β2+0.5sin (α-2β2)]}/(2.337 514+0.852 084β2)，

(16)

h/r1=0.573 958+0.426 042cos (α2/2-β2)。

(17)

式中：0≤β2<α2/2=60.591 9°(1.057 53 rad)。

圖4 水深處于ef線(含ef線)以下斷面 Fig.4 Water depth under the ef line of cross section

3 蛋形斷面正常水深的計(jì)算

3.1 不同斷面水深條件下正常水深的理論計(jì)算

蛋形斷面正常水深的計(jì)算公式為明渠均勻流公式[19]，即：

(18)

式中：Q為流量，A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，C為謝才系數(shù)，R為水力半徑，i為明渠的比降，n為糙率，χ為濕周。

由前面研究可以看出，六圓弧蛋形斷面可以分為h≤hab、hab≤h≤hcd、hcd≤h≤hef和h≥hef4種斷面水深條件，表1給出了4種水力條件下已知水深求流量和已知流量求水深的計(jì)算公式及迭代初值。

迭代公式經(jīng)驗(yàn)算均收斂，由于證明過(guò)程較繁，此處從略。

表1 六圓弧蛋形斷面正常水深的計(jì)算公式Table 1 Formula for normal water depth of Six arc egg-shaped section

3.2 蛋形斷面正常水深的近似計(jì)算

圖6 當(dāng)0

當(dāng)0

(19)

(19)式的平均誤差為0.336%，最大誤差為1.074%。

當(dāng)0.15≤h/r1<0.90時(shí)，有：

(20)

(20)式的平均誤差為0.204%，最大誤差為1.129%。

(21)

(22)

在迭代時(shí)，h/r1初值可取0.15～0.90。

公式(22)需要迭代求解，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，給出的顯函數(shù)關(guān)系式為：

(23)

公式(23)的平均誤差為0.229%，最大誤差為1.057%。

4 算 例

已知某輸水隧洞為六圓弧蛋形斷面，最大半徑r1=1.5 m，洞底設(shè)計(jì)坡降i=1/2 500，洞內(nèi)壁糙率n=0.014，試求當(dāng)設(shè)計(jì)流量Q=0.1～1.2 m3/s時(shí)隧洞內(nèi)相應(yīng)的正常水深h值。

根據(jù)設(shè)計(jì)流量及已知條件，由表1迭代法及公式(22)、(23)得到的正常水深h的計(jì)算結(jié)果及誤差分析見(jiàn)表2。

表2 某六圓弧蛋形斷面輸水隧洞不同流量下正常水深的計(jì)算結(jié)果及誤差分析Table 2 Calculation results and error analysis of normal water depth of egg-shaped cross section with six arcs in water-conveyance channel

由表2可以看出，h理論計(jì)算值與用簡(jiǎn)化公式計(jì)算的h值非常接近，最大誤差為0.723%。而文獻(xiàn)[16]由于濕周公式有誤，在流量Q=0.1和1.2 m3/s時(shí)，計(jì)算得到的h=0.19和0.934 3 m，與h理論計(jì)算結(jié)果分別相差18.78%和13.77%。由此可見(jiàn)，水深越小，濕周對(duì)流量計(jì)算的影響越大。

5 結(jié) 語(yǔ)

本研究根據(jù)面積分割法和明渠均勻流理論，推導(dǎo)了六圓弧蛋形相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周和相對(duì)水力半徑的計(jì)算公式，給出了水深處于不同位置時(shí)正常水深與流量的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，擬合了相對(duì)水深與相對(duì)流量的簡(jiǎn)單計(jì)算公式，經(jīng)驗(yàn)證，該公式不僅計(jì)算方便而且精度較高，完全可以滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)要求。

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Direction calculation of normal water depth of egg-shaped cross section with six arcs in open channel

ZHANG Zhi-chang，JIA Bin，LI Ruo-bing

(InstituteofWaterResourcesandHydro-electricEngineering,Xi’anUniversityofTechnology，Xi’an，Shaanxi710048，China)

【Objective】 This study proposed a simple method to calculate the normal water depth of egg-shaped cross section with six arcs to provide basis for engineering design of such section.【Method】 Based on area segmentation method,the area,wetted perimeter and hydraulic radius were computed.Using open channel uniform flow theory,the normal depths were studied under different flows and the approximate fitting was used to obtain simple calculation method of normal water depth.【Result】 Approximate fitting was used to obtain the simple calculation methods of section area, wetted perimeter and hydraulic radius at different positions.The relationship between normal depth and rate of flow,the iterative calculation formula of the water depth and the relationship between relative water depth and relative flow were also determined.At last,the simplified calculation method of normal water depth was proposed by optimizing fitting.【Conclusion】 The proposed theoretical calculation formula and approximate calculation formula of normal water depth of egg-shaped cross section were simple and precise with average error of 0.204% and maximum error of 1.129%.

egg-shaped cross section with six arcs;normal depth;computing method;parametric modification

2014-01-20

張志昌(1954-)，男，陜西西安人，教授級(jí)高級(jí)工程師，主要從事水工水力學(xué)研究。 E-mail：zhangzhichang1954@163.com

時(shí)間:2015-06-30 13:47

10.13207/j.cnki.jnwafu.2015.08.022

TV133

A

1671-9387(2015)08-0229-06

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