□ 李 昕

第十屆亞太天文奧林匹克競(jìng)賽理論試題詳解

□ 李 昕

國(guó)際天文奧林匹克競(jìng)賽一向非常重視對(duì)學(xué)生天文基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯思維能力的考察。在去年的第十屆亞太天文奧林匹克競(jìng)賽的理論環(huán)節(jié)中，不乏一些傳統(tǒng)而又富有新意的好題。在這里，筆者與大家分享這些題目的重要解題思路，希望能對(duì)關(guān)注和即將參加天文奧賽的同學(xué)們有所幫助。

1.Babr的足跡

解析：理論環(huán)節(jié)的前4題，都與比賽地西伯利亞的一種大型貓科動(dòng)物Babr有關(guān)。其實(shí)這種動(dòng)物在100多年前就已經(jīng)滅絕了，但直到今日，它依然是伊爾庫茨克地區(qū)的標(biāo)志。

第1題無論是高年組還是低年組的問題，其核心都是要考查學(xué)生對(duì)天文基本情景的理解。題目中要比較太陽黑子“Babr的足跡”和地球表面積的大小。我們都知道在太陽系中金星和地球大小非常接近，題中又給出了金星凌日的圖，且與太陽黑子照片是等比例的，讓我們想到可以直接比較這兩者的大小。如果你的思路是這樣，那就掉進(jìn)陷阱了。從等比例的照片上看，凌日的金星和太陽黑子的大小相差無幾，但兩者到我們觀測(cè)者的距離差距很大。我們要做的是通過金星照片計(jì)算太陽黑子的面積。

先用尺子測(cè)量照片中黑子的直徑和金星的直徑，黑子大約是金星的1.5倍，注意黑子的半影也要計(jì)算在內(nèi)。黑子距離我們1au，金星距離我們0.28au，金星直徑12100km，這些數(shù)據(jù)都可以從常數(shù)表上查到。計(jì)算得黑子直徑LB=1.5×12100km×1au/0.28au≈65000km，則黑子面積SB=π/4×L≈3300000000km2。再計(jì)算地球的表面積SE=π×D≈π×（12800km）2≈510000000km2。SB/SE=6.5，因此太陽黑子面積是地球面積的6.5倍。

計(jì)算留下這樣大小腳印的貓科動(dòng)物質(zhì)量時(shí)，大家可以憑自己的感覺做一些假設(shè)，并通過正確計(jì)算就能拿到滿分。例如假設(shè)現(xiàn)實(shí)中的貓科動(dòng)物足跡LC為4cm，質(zhì)量mC大約是4kg，用這個(gè)數(shù)據(jù)和空間貓科動(dòng)物的進(jìn)行比較，但要注意，足跡的3次方與質(zhì)量成正比。也就是(LB/LC)3=mB/mC，代入可算得mB≈1.7×1028kg，比木星1.9×1027kg的質(zhì)量還大。

在解答本題時(shí)還要做一個(gè)假設(shè)，就是太陽黑子是在日面中心附近的位置，如果在日面邊緣，那它的實(shí)際大小就沒那么容易計(jì)算了。

高年組第2問是要計(jì)算黑子的視星等。我們已知太陽的視星等為-26.8m，表面溫度TS為5800K。太陽黑子的溫度TB大約為4500K，這個(gè)數(shù)值要盡量記住。視星等除了與溫度有關(guān)還和表面積有關(guān)，黑子的面積在上一問中已經(jīng)算得，在計(jì)算太陽的面積時(shí)要注意算的是一個(gè)圓面而不是半個(gè)球面。

2.LSVT和Babr

解析：本題的主體還是太陽黑子和Babr，但考查的知識(shí)點(diǎn)是望遠(yuǎn)鏡的底片比例尺。第1問很簡(jiǎn)單，先計(jì)算太陽黑子的角直徑：65000km/150000000km≈4.3×10-4rad（或1.5角分）。望遠(yuǎn)鏡的焦距是4000cm，所以屏幕上的黑子大小為4000cm×4.3×10-4rad≈1.7cm。需要在答題本上畫一個(gè)直徑為1.7cm的太陽黑子Babr的足跡。

第2問是要計(jì)算從看清太陽黑子到看清距離5km的一只貓科動(dòng)物，成像屏幕要移動(dòng)多少距離。根據(jù)成像公式1/ L+1/x=1/F。對(duì)于黑子來說，物距L為無窮遠(yuǎn)，像距x=F，對(duì)于動(dòng)物來說，物距La=5000m，像距xa=F?La/(La-F)。算得xax≈32cm，也就是說屏幕要向后移動(dòng)32cm，請(qǐng)注意這個(gè)方向。

第3問是計(jì)算貓科動(dòng)物在屏幕上像的大小，需要假設(shè)它的長(zhǎng)度和高度，計(jì)算方法類似第1問。

第4問只要求高年組完成，其實(shí)也非常簡(jiǎn)單，就是計(jì)算LSVT的分辨本領(lǐng)。對(duì)于可見光波段來說，分辨率有近似公式δ=140/D（″），代入得到分辨率大約為0.2″。在5km遠(yuǎn)的地方大約對(duì)應(yīng)5mm，因此分辨出一只長(zhǎng)1m多的大型貓科動(dòng)物沒有問題。答案是“Yes”。

3.獵戶的腰帶

解析：本題看似非常簡(jiǎn)單，但對(duì)學(xué)生解題的規(guī)范和邏輯思維能力提出了很高的要求，因此滿分的學(xué)生很少。

題目中問的是在比賽當(dāng)天拍攝地平線附近的獵戶座腰帶什么時(shí)段最合適，是在升起、落下還是上中天時(shí)段。常數(shù)表中給出了獵戶座天區(qū)的赤經(jīng)和赤緯，獵戶座腰帶赤緯大約為0°，赤經(jīng)大約為5h36m。利斯特沃揚(yáng)卡的地理緯度也可查得。

題目中給了三個(gè)選擇，同學(xué)們做題時(shí)就要逐個(gè)排除。首先看上中天時(shí)段。由于赤緯為0°，上中天的地平高度h=90°-φ=38°，明顯已經(jīng)距離地平線很遠(yuǎn)了，因此不合適。這一步分值為1分。

接下來計(jì)算腰帶升起和下落的時(shí)間。天赤道上的天體升起時(shí)間為上中天時(shí)間前6小時(shí)，下落時(shí)間為上中天后6小時(shí)。腰帶上中天的時(shí)刻為地方恒星時(shí)（S）5h36m，比賽當(dāng)天（11月26日）與秋分相差65天。秋分日的地方平時(shí)與地方恒星時(shí)相等，因此11月26日地方恒星時(shí)與地方平時(shí)相差24h×65/365.2422=4h16m。可得腰帶上中天的時(shí)刻為地方平時(shí)5h36m-4h16m=1h20m。獵戶腰帶升起時(shí)間為地方平時(shí)19h20m，落下時(shí)間為7h20m。相比之下，19h20m距離日落更久，而7h20m距離日出較近，因此腰帶升起時(shí)拍照最合適。

最后我們?cè)侔褧r(shí)間換算成伊爾庫茨克區(qū)時(shí)。已知利斯特沃揚(yáng)卡所在時(shí)區(qū)為東八區(qū)，也就是東經(jīng)120°標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，而地理經(jīng)度接近105°，區(qū)時(shí)和地方平時(shí)差1小時(shí)，因此獵戶腰帶升起時(shí)間為20h20m，在此之后的10分鐘至半小時(shí)為拍攝它的最佳時(shí)段。別忘了在答案中寫上證明可以拍攝的“Yes”，這也有1分的分值。

4.獵戶腰帶上的第四顆星

解析：企鵝觀測(cè)者在Babr的相機(jī)前閃光，就好像在獵戶腰帶上增加了一顆星。獵戶腰帶3顆星的星等大約是1.8m左右。閃光的具體時(shí)長(zhǎng)其實(shí)不重要，重點(diǎn)是它的亮度相當(dāng)于相機(jī)曝光10s累積的亮度。題目中給出的已知條件是如果曝光距離是1m，相當(dāng)于白天其他參數(shù)相同時(shí)曝光1/1000s的亮度。白天實(shí)際上就是視星等為-26.8m太陽的亮度。曝光時(shí)間1/1000s和10s相差10000倍，因此閃光亮度比太陽暗10000倍，1米的距離處視星等大約為-16.8m。

由于亮度和距離的平方成反比L∝1/r2，距離遠(yuǎn)10倍，亮度就暗100倍，也就是暗5個(gè)星等?？捎?jì)算得若想視星等在1.8m左右，閃光距離大約是5km。

5.日食

解析：月球不斷在遠(yuǎn)離地球，題中給出了平均速度為每年3.8cm。那么早晚有一天我們將無法欣賞到日全食這個(gè)壯觀的天象。要想看到日全食，月球的視直徑要大于等于太陽的視直徑。因此最后一次日全食情況是月球位于近地點(diǎn)，地球位于遠(yuǎn)日點(diǎn)，也就是地月距離最近，而日地距離最遠(yuǎn)。我們根據(jù)日食的原理來畫一張示意圖作為解題的輔助，當(dāng)然圖中日、地、月的大小和距離都和實(shí)際比例相差甚遠(yuǎn)。我們用RM表示月球半徑，用RS來表示太陽半徑，LOM和LOS分別為觀測(cè)者到月心和日心的距離。日全食的條件為：sin（RM/LOM）≥sin（RS/LOS）。由于角度很小，該式可化簡(jiǎn)為：RM/LOM≥RS/LOS。

其中RM和RS可以從常數(shù)表中直接查得，月球和地球公轉(zhuǎn)軌道的偏心率也可以查到，分別為0.055和0.017，本題的關(guān)鍵是確定LOM和LOS。這時(shí)細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后一次觀測(cè)日全食一定是在地球最靠近月球的地方，所以在計(jì)算這兩個(gè)距離時(shí)，要減去一個(gè)地球的半徑RE。

設(shè)地月平均距離為X，那么LOM=X（1-0.055）-RE，LOS=149600000×（1+0.017）-RE。RE可查表得到。于是我們可以求出唯一的未知量X為408600km。

設(shè)距離最后一次日全食的時(shí)間為T，就有X-384400km=3.8cm/year×T。

最終求得是6.36億年之后我們就看不到日全食了，還好是很久以后。其實(shí)常數(shù)表中給出的日地距離是十萬千米的量級(jí)，因此我們?cè)谟?jì)算LOS時(shí)其實(shí)不用考慮RE的影響，但計(jì)算LOM時(shí)肯定需要減去RE。

6.ISS在天頂

解析：本題高、低年組的問題難度還是有很大區(qū)別的。低年組比較容易。題目中給出了很多對(duì)解題沒有用的信息，大家要學(xué)會(huì)篩選，把握關(guān)鍵條件。

查表可得利斯特沃揚(yáng)卡的地理緯度φ=51°51′，且此地的地球半徑RL=6365.4km，國(guó)際空間站的軌道傾角i=51.648°。這些是對(duì)低年組解題來說有用的條件。由于地理緯度高于ISS的軌道傾角，在利斯特沃揚(yáng)卡是看不到ISS過天頂?shù)?，需要向南移?dòng)φ-i=12′7″。換算到地球表面上，至少要移動(dòng)的距離就是L=12′7″×π/180°×RL=22.4km。

高年組的解題過程略復(fù)雜。首先要通過給出的ISS公轉(zhuǎn)周期計(jì)算其軌道高度，通過下面兩個(gè)公式：

可得R=6791.4km（其中T可以由題目中給出的每日公轉(zhuǎn)周數(shù)求得），ISS軌道高度為H=R-RL=426km。

接下來就是已知兩條邊和一個(gè)角，求另一個(gè)角，用余弦定理解圖中三角形的問題了。過程我們不再冗述，結(jié)果z大約是3°13′。通過這道題的計(jì)算我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使地理緯度和ISS軌道傾角相差很小，觀測(cè)到的天頂距依然很大，觀測(cè)人造天體和觀測(cè)恒星是不一樣的。

（責(zé)任編輯 馮）