基于矢量線性運算的自適應球帽差分反饋算法

劉學鋒鄒衛(wèi)霞 杜光龍 王一搏

(北京郵電大學泛網無線通信教育部重點實驗室 北京 100876)

基于矢量線性運算的自適應球帽差分反饋算法

劉學鋒*鄒衛(wèi)霞 杜光龍 王一搏

(北京郵電大學泛網無線通信教育部重點實驗室 北京 100876)

信道時間相關多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)中一種重要有限反饋策略為差分反饋，該文提出一種適用于單用戶多輸入單輸出(SU-MISO)系統(tǒng)的自適應球帽差分反饋算法。首先，介紹基于信道擾動規(guī)律的自適應差分反饋策略；其次，給出一種基于矢量線性運算的差分碼本構造方法，它不需要對基碼字每個元素進行單獨操作，易于計算及生成；最后，運用一階高斯馬爾可夫鏈信道模型下前一時刻信道方向、選定碼字及當前時刻信道方向的隨機空間分布規(guī)律，給出一種球帽碼本半徑計算方法。仿真結果說明，該算法能準確跟蹤信道并較現有算法有一定性能提高。關鍵詞：無線通信；自適應差分反饋；時間相關多輸入單輸出信道；球帽碼本

1 引言

在多輸入多輸出(MIMO)閉環(huán)系統(tǒng)中，接收機可以把信道方向信息(Channel Direction Information, CDI)反饋到發(fā)射機，發(fā)射機通過預編碼技術獲得分集和陣列增益[1]。獨立同分布瑞利衰落信道下單用戶多輸入多輸出(Single-User MIMO, SU-MIMO)有限反饋技術已得到較充分研究，時間和空間相關信道下的有限反饋技術仍是研究重點。

研究表明，對于信道時間相關的MIMO系統(tǒng)，在不增加反饋量的情況下可以利用信道的相關性提高系統(tǒng)性能[1,2]?，F有反饋策略可分為基于碼本旋轉和基于碼本跳躍[3]的兩類算法，基于碼本跳躍的反饋算法存在不同時刻反饋比特不等長的缺點[4,5]，且性能一般不如基于碼本旋轉的反饋算法，故現有研究主要集中在基于碼本旋轉的差分反饋。IEEE 802.16 m中對基于旋轉碼本的差分反饋給出基本思路[4,5]，文獻[6]提出一種球帽差分酉陣碼本，文獻[7-9]提出基于矢量非線性運算的以矢量H[1,0,,0]…為中心的差分碼本算法?，F有差分反饋算法中，差分碼本構造方法抽象且相關參數計算較復雜。

本文從現有基于碼本旋轉差分反饋算法的實現特點和存在問題出發(fā)，主要關注差分碼本的優(yōu)化設計和算法性能提升，提出一種實現簡單、物理意義明確的基于矢量伸縮和合成的球帽差分碼本，并給出信道時間相關的單用戶多輸入單輸出(Single-User Multiple Input Single Output, SU-MISO)系統(tǒng)下基于該碼本的自適應差分反饋算法。

2 系統(tǒng)模型

SU-MISO有限反饋系統(tǒng)配置tN個發(fā)射天線和一個接收天線，則系統(tǒng)接收和發(fā)送信號在時刻τ的關系可以建模為

其中hτ為Nt×1信道矩陣，xτ和yτ為傳輸和接收信號，ωτ為Nt×1預編碼矢量，nτ～CN(0,1)為加性復高斯白噪聲，ρ為系統(tǒng)信噪比，Tmax為信道滿足相同統(tǒng)計規(guī)律的最大時間。hτ的CDI為，為使接收端獲得最大信噪比，最優(yōu)預編碼矢量為

其中Cτ={ωτ,1,ωτ,2,…,ωτ,2B}為反饋比特數為B的碼本。矢量間距離定義如式(3)，則式(2)的碼本選擇準則即為最小弦距離準則。

本文研究的信道時間相關MISO系統(tǒng)，τh隨時間τ變化規(guī)律通常建模為一階高斯馬爾可夫鏈[5-8](First-order Gauss-Markov Process, FOGM)

其中h0和gτ, hτ-1和gτ都統(tǒng)計獨立，且h0和gτ各元素統(tǒng)計獨立并服從復高斯分布CN(0, 1)。時間相關系數ε∈[0,1]代表相鄰時刻信道間的相關程度服從杰克斯(Jakes)模型。由式(4)信道模型知，若ε較大，說明當前時刻的信道CDI以較大可能性出現在前一時刻信道CDI的附近，差分反饋就是基于該基本規(guī)律提出的。

3 自適應差分反饋策略

基于碼本旋轉的差分反饋算法就是利用信道時間相關下當前時刻CDI相對前一時刻CDI擾動規(guī)律來降低信道矢量量化的誤差，其原理可結合圖1[4]說明。

圖1 相鄰時刻CDI擾動規(guī)律示意圖

球面表示所有n維單位復矢量構成的集合，ωτ-1和ωτ分別表示時刻τ-1、τ(τ≥1)下信道CDI的矢量量化碼字，表示時刻τ下信道CDI。信道時間相關系統(tǒng)中ωτ將以較大概率出現在如圖所示的小圓區(qū)域——球帽內，定義球帽內矢量與中心矢量ωτ-1之間最大弦距離為球帽半徑，對該球帽進行矢量量化構成的碼本Cτ稱為球帽碼本。

由上述分析可知球帽碼本存在兩個基本規(guī)律：

(1)不同時刻球帽碼本的各碼字按一定規(guī)律分布在以中心矢量為中心的球帽區(qū)域內，這給差分碼本設計提供了理論依據。文獻[7-9]給出了以[1,0,…,0]H為中心的差分碼本構造方法，本文同樣采用這種策略。

(2)FOGM信道下，球帽半徑rτ的大小與和間弦距離的統(tǒng)計規(guī)律和量化誤差兩個因素有關。

如果有限反饋系統(tǒng)差分碼本能隨時間變化去匹配球帽半徑的變化，就可以更好地跟蹤信道，實現自適應差分反饋[4]。自適應差分反饋策略實現步驟為：

步驟1 在已知時間相關系數ε下，計算不同時刻球帽半徑rτ，設計τ=0時的瑞利信道碼本C0和 τ≥1球帽差分碼本，其中不同時刻τ下記為V0，即不同時刻下的球帽差分碼本都包含并以V0為中心；

步驟2 0τ=時，按式(2)在碼本0C中選定碼字0ω進行預編碼；

步驟3 τ=1,2,…,Tmax時，發(fā)射機和接收機按式(5)生成該時刻下的球帽碼本Cτ：

其中，Qτ為旋轉酉陣，為矢量ωτ-1的Nt×(Nt-1)空間正交補集，可由豪斯霍爾德(Householder)變換[10]得到。式(5)實現對球帽差分碼本的旋轉，使其中心矢量由V0旋轉到ωτ-1。

因為V0=[1,0,…,0]H，故為單位陣，式(6)可簡化為。同樣按式(2)從Cτ選定碼字τω進行預編碼；

步驟4 循環(huán)操作到maxTτ=。

基于碼本旋轉的差分反饋算法研究主要集中在差分碼本設計和球帽半徑計算，文獻[6-9]都給出了實現算法，第4節(jié)闡述本文提出差分球帽碼本設計和球帽半徑計算方法并和現有算法進行比較。

4 球帽碼本和自適應球帽半徑計算

4.1 基于矢量伸縮和合成的球帽差分碼本

圖2 球帽碼本算法模型圖

本文球帽差分碼本的實現模型如圖2[7]，球1O和 O2的半徑分別是1和rτ，球O2的球心位于球O1球面上。為生成球帽差分碼本的基碼本，其中一個碼字為O1O2=[1,0,…,0]H，記為V0。的碼字乘以伸縮因子rτ后分布在O2球面上。由格拉斯曼線包(Grassmannian Line Pack, GLP)碼本CGLP旋轉得到，其計算原理同式(5)和式(6)。

本文時刻τ下球帽差分碼本由式(7)給出

norm為求矢量Eucliden范數運算，其中rτ表示時刻τ下的球帽半徑。由圖2可知該算法中球帽差分碼本的碼字是通過矢量的伸縮和合成得到，且都以0V為中心，分布在半徑為rτ的球帽區(qū)域。

對比本文差分碼本算法和最新文獻[6-9]，本文算法優(yōu)點有：

(1)本算法在整個反饋系統(tǒng)中只需要一個碼本，即球帽差分碼本的基碼本CGLP和C0相同，而文獻[7]需要兩個GLP基碼本：C0和用來生成極帽碼本的維數為Nt-1、尺寸為2B-1的基碼本，故本文算法實現簡單、運算量小。

(2)本算法球帽差分碼本旋轉得到的球帽碼本的碼字間相對分布規(guī)律不發(fā)生變化。文獻[6]時刻τ下的球帽碼本由差分碼本的各酉陣碼字乘以1τ-ω生成，其碼字間距離不僅與對應酉陣有關，還與1τ-ω相關，故在不同時刻下球帽碼本碼字間相對關系不一致，導致性能下降。這一點在文獻[7]中給出了詳細分析。

(3)本文球帽碼本不同于文獻[7-9]非線性構造方法，由矢量的線性運算生成，物理意義明確，并易于從矢量空間分布規(guī)律給出自適應球帽半徑計算方法，這在4.2節(jié)得到體現。

(4)本文球帽碼本的碼字分布在球帽區(qū)域，而文獻[7]的極帽碼本中碼字都分布在球帽區(qū)域的帽沿上，故隨著相關系數ε的減少，極帽碼本中碼字分布更集中，性能下降明顯。而且，隨著信道時間的增加，球帽半徑不能準確跟蹤信道擾動，在一定時間后性能也將下降。這在第5節(jié)仿真數據中得到驗證。

4.2 自適應球帽半徑

由圖1知在時刻τ下的球帽半徑rτ與兩個因素有關：信道,間距離統(tǒng)計規(guī)律和量化誤差。信道CDI、矢量碼本按弦距離構成距離空間，記為(CNt,dc)。為了更清晰闡述三者之間的關系，將兩相鄰時刻的球帽碼本關系表示如圖3[8]。圖中d2為時刻τ下和間弦距離，為了更好地跟蹤信道，應選取信道方向改變的均值：

τ=1的前一時刻的信道CDI量化誤差為C0的量化誤差，本文仿真設計中C0為GLP碼本，故r0=1[12]。

FOGM信道下3個矢量間的相對空間分布是隨機的，圖3中矢量間的夾角隨機分布在0和π之間。為了更好地跟蹤信道，選取兩矢量夾角的統(tǒng)計平均值(90)°即垂直時弦距離為球帽半徑，由距離空間的勾股定理知：

圖3 兩相鄰時刻球帽半徑關系示意圖

按5節(jié)仿真設計，v=7 km/h時，球帽半徑隨時間τ變化如表1，可見rτ隨時間τ增加逐漸減小并趨于穩(wěn)定，即一定時間后差分球帽碼本將固定不變，這使系統(tǒng)實現更加簡單。

由上面分析過程可知，rτ是按式(8)～式(10)遞推得到，對比文獻[6-9]的自適應球帽半徑推導方法，本文球帽半徑計算方法意義明確，能較好地體現FOGM信道下信道擾動和信道矢量量化誤差隨時間變化的規(guī)律。

5 仿真設計與結果

為了驗證本文提出的自適應球帽差分反饋算法的性能，進行仿真設計：SU-MISO系統(tǒng)的發(fā)射天線數Nt=4、反饋比特數B=4；信道模型為滿足式(4)的一階高斯馬爾可夫鏈；無信道估計誤差和反饋時延；以系統(tǒng)容量隨時間的變化規(guī)律作為性能評價標準。系統(tǒng)起始時刻τ=0時接收機和發(fā)射機有相同GLP碼本[13-15]，系統(tǒng)信噪比為10 dB，相關系數ε服從Jakes模型，滿足零階第1類貝葉斯函數J0(2πfDT )，信道抽樣間隔T=5 ms ，最大多普勒頻移滿足fD=vf0/c 。系統(tǒng)載波f0=2.5×108Hz ,v為發(fā)射機和接收機相對速度分別取1, 3, 7, 10 km/h。為了更好說明本文算法的性能，在同樣的仿真設計下，對比本文和最新文獻[6～8]算法性能。文獻[6～8]算法都按文獻給出的步驟和參數進行仿真設計，仿真數據如圖4。

從仿真數據可知：不同的相關系數下本文算法的系統(tǒng)容量都比文獻[6,7]算法有較大提升，特別是隨著相關系數的減少性能提升更加明顯；在相關系數較大時(ε=0.9987), 本文算法系統(tǒng)容量稍差于文獻[8]算法，但隨著相關系數的減小本文算法性能逐漸優(yōu)于文獻[8]算法；在相關系數逐漸變小(ε=0.9881, 0.9363, 0.8721)時，文獻[6,7]的容量曲線隨時間的增加逐漸增大并在一定時間后出現下降趨勢，該結果和文獻論述一致，但本文算法容量曲線隨時間的增加逐漸增大并趨于穩(wěn)定，說明本文算法能更好跟蹤信道擾動。綜合對比仿真數據，本文提出的自適應球帽差分反饋算法是有效的并且整體性能較現有算法有一定提升。

6 結束語

本文針對信道時間相關SU-MISO系統(tǒng)有限反饋現有算法的特點，對差分碼本構造和球帽半徑計算給出新的思路。本文提出的球帽差分碼本是由矢量的線性運算構造生成的，實現簡單，可行性強；其球帽半徑的計算具有更明確的物理意義；改進后的差分反饋算法能隨時間自適應跟隨信道擾動并能獲得時間變化趨于穩(wěn)定的系統(tǒng)容量，整體性能較現有算法有一定提升。

表1 u=7km/h 下rτ隨時間τ變化規(guī)律表

圖4 SNR=10 dB, υ=1, 3, 7, 10 km/h 下算法性能

[1] Love D J. An overview of limited feedback in wireless communication systems[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2008, 26(8): 1341-1365.

[2] Etkin R H and Tse D N C. Degree of freedom in some underspread MIMO fading channel[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1576-1608.

[3] 吳敏, 沈超, 裘正定. 時間相干信道下波束賦形系統(tǒng)的有限反饋方法[J]. 電子與信息學報, 2009, 31(10): 2343-2347.

Wu Min, Shen Chao, and Qiu Zheng-ding. Limited feedback approach in beamforming system over temporally-correlated channels [J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2009, 31(10): 2343-2347.

[4] IEEE C802.16m-09/0058r4. Differential Feedback for IEEE 802.16m MIMO Schemes[S]. 2009.

[5] IEEE C802.16m-MIMO-08/1182r3. Codebook Design for IEEE 802.16m MIMO Schemes[S]. 2008.

[6] Kim T, Love D J, and Clerckx B. MIMO systems with limited rate differential feedback in slowly varying channels[J]. IEEE Transactions on Communications, 2011, 59(4): 1175-1188.

[7] Choi J, Clerckx B, Lee N, et al.. A new design of polar-cap differential codebook for temporally/spatially correlated MISO channels[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2012, 11(2): 703-711.

[8] Mirza J, Dmochowski P A, Smith P J, et al.. A differential codebook with adaptive scaling for limited feedback MU-MISO systems[J]. IEEE Wireless Communications Letters, 2014, 3(1): 2-4.

[9] Mirza J, Dmochowski P A, Smith P J, et al.. Limited feedback multiuser MISO systems with differential codebooks in correlated channels[C]. Proceedings of IEEE International Conference on Communications, Budapest, Hungary, 2013: 5386-5391.

[10] IEEE Standard 802.16m. Draft Amendment to IEEE Standard for Local and Metropolitan Area Networks-part 16: Air Interface for Broadband Wireless Access Systems, Advanced Air Interface[S]. 2009.

[11] Kim T, Love D J, and Clerckx B. Leveraging temporal correlation for limited feedback multiple antennas systems[C]. Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing, Dallas, USA, 2010: 3422-3425.

[12] Barg A and Nogin D Y. Bounds on packings of spheres in the Grassman manifold[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2002, 48(9): 2450-2454.

[13] Love D J, Heath R W, and Strohmer T. Grassmannian beamforming for multiple-input multiple-out wireless systems[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2003, 49(10): 2735-2747.

[14] Medra A and Davidson T N. Flexible codebook design for limited feedback systems via sequential smooth optimization on the Grassmannian manifold[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(5): 1305-1318.

[15] Medra A and Davidson T N. Flexible codebook design for limited feedback downlink systems via smooth optimization on the Grassmannian manifold[C]. Proceedings of the IEEE International Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications, Cesme, Turkey, 2012: 50-54.

劉學鋒： 男，1977年生，博士生，研究方向為短距離無線通信、MIMO傳輸技術.

鄒衛(wèi)霞： 女，1972年生，博士，副教授，研究方向為短距離無線通信、系統(tǒng)電磁兼容及毫米波通信技術.

杜光龍： 男，1988年生，博士生，研究方向為短距離無線通信、干擾對齊.

王一搏： 男，1987年生，博士生，研究方向為短距離無線通信、無線中繼和干擾對齊.

Adaptive Spherical-cap Differential Feedback Algorithm Based on Linear Operations of Vectors

Liu Xue-feng Zou Wei-xia Du Guang-long Wang Yi-bo
(Key Laboratory of Universal Wireless Communication, Ministry of Education, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

In the MIMO systems, the differential feedback is an important strategy for temporally correlated channels. A new adaptive spherical-cap differential feedback algorithm is proposed for the Single-User Multiple Input Single Output (SU-MISO) systems. Firstly, this study introduces the adaptive differential feedback strategy from the perspective of the channels disturbance. Secondly, based on vectors linear operation, one design method of the spherical-cap differential codebook is proposed, which no need to perform operation for each element of based-codewords and is easier to construct. Finally, for the first-order Gauss-Markov Process channel, considering the spatial random distribution among the channel directions at two consecutive time instants and the selected codeword at previous instant, one calculation method of spherical-cap radius is given. The simulation results show that the proposed algorithm can accurately track the channel disturbance and has certain performance improvement than the existing algorithms.

Wireless communication; Adaptive differential feedback; Temporally correlated Multiple Input Single Output (MISO) channels; Spherical-cap codebook

TN92

A

1009-5896(2015)03-0753-05

10.11999/JEIT140598

2014-05-18收到，2014-10-22改回

國家自然科學基金(61171104)資助課題

*通信作者：劉學鋒 liuxfeng6@163.com