何雪云，楊卓勛，孫林慧

(南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003)

為了應(yīng)對(duì)正交多址接入（Orthogonal Multiple Access，OMA）技術(shù)的局限性，能夠滿足未來(lái)場(chǎng)景對(duì)大規(guī)模連接和高吞吐量需求的非正交多址接入（Non-Orthogonal Multiple Access，NOMA）技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生［1］。在基于多重測(cè)量向量壓縮感知（Multiple Measurement Vector-Compressive Sensing，MMV-CS）框架的免調(diào)度NOMA系統(tǒng)中，壓縮感知重建算法用于聯(lián)合解決信道估計(jì)（Channel Estimation，CE）和多用戶檢測(cè)（Multiuser Detection，MUD）問(wèn)題［2］，擴(kuò)頻碼本正好對(duì)應(yīng)于CS模型中的測(cè)量矩陣。針對(duì)NOMA系統(tǒng)上行鏈路免調(diào)度傳輸，3GPP Rel.16標(biāo)準(zhǔn)化了兩階段隨機(jī)接入技術(shù)，此技術(shù)將前導(dǎo)碼和數(shù)據(jù)組合成單個(gè)消息由用戶發(fā)送給基站，隨后基站將接入響應(yīng)發(fā)送給用戶，本文研究的問(wèn)題屬于技術(shù)的第一階段。擴(kuò)頻碼本的最大互相關(guān)值用μ表示，文獻(xiàn)［3］中提出了互不相干性質(zhì)（Mutual Incoherence Property，MIP），認(rèn)為擴(kuò)頻碼本的μ值越小則越利于稀疏信號(hào)重建。因此在CS理論框架下優(yōu)化擴(kuò)頻碼本可以提高系統(tǒng)性能。

擴(kuò)頻碼本的選擇對(duì)NOMA系統(tǒng)的性能具有較大的影響［4］，文獻(xiàn)［5］采用了三元復(fù)序列碼本作為擴(kuò)頻碼本，文獻(xiàn)［6］提出了五元復(fù)序列擴(kuò)頻碼本，有效減少碰撞現(xiàn)象的發(fā)生。文獻(xiàn)［7］對(duì)復(fù)序列擴(kuò)頻碼本進(jìn)行了優(yōu)化，提升了系統(tǒng)的性能，文獻(xiàn)［8］選取高斯隨機(jī)矩陣作為擴(kuò)頻碼本，文獻(xiàn)［5-6］中擴(kuò)頻碼本包含元素0，會(huì)導(dǎo)致用戶數(shù)據(jù)的丟失，文獻(xiàn)［7-8］中擴(kuò)頻碼本的μ值還不夠低，碼本有進(jìn)一步優(yōu)化空間。本文針對(duì)碼本維度取特定值的情況，具體研究了多種μ值滿足Welch界的最優(yōu)碼本，認(rèn)為文獻(xiàn)［9］研究的碼本限制條件更少，構(gòu)造更靈活，適合用作NOMA系統(tǒng)的擴(kuò)頻碼本；針對(duì)碼本維度可變的情況，本文提出了雙重迭代最小化μ值算法，采取優(yōu)化門(mén)限并行取值策略，通過(guò)雙重迭代不斷降低起始碼本各列之間的互相關(guān)值從而達(dá)到碼本的優(yōu)化，最終得到的擴(kuò)頻碼本μ值明顯降低。文獻(xiàn)［10］針對(duì)免調(diào)度NOMA系統(tǒng)采用壓縮感知重建算法聯(lián)合解決CE和MUD問(wèn)題，我們將本文算法優(yōu)化獲得的擴(kuò)頻碼本應(yīng)用于文獻(xiàn)［10］的系統(tǒng)模型，并同樣采用文獻(xiàn)［10］所提CE和MUD聯(lián)合解決算法進(jìn)行仿真測(cè)試。仿真結(jié)果表明，與其他現(xiàn)有擴(kuò)頻碼本相比，本文獲得的優(yōu)化擴(kuò)頻碼本能夠明顯改善系統(tǒng)的CE和MUD性能。

1 基于MMV-CS框架的免調(diào)度NOMA系統(tǒng)模型

假設(shè)上行免調(diào)度NOMA系統(tǒng)中擁有一個(gè)基站和N個(gè)用戶，所有用戶均假定只有一根天線。在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)只有少量K個(gè)活躍用戶，其他用戶則處于非活躍狀態(tài)。不失一般性，我們考慮信道為平坦瑞利衰落信道，同時(shí)假設(shè)用戶在一個(gè)幀結(jié)構(gòu)中處于同步狀態(tài)，用戶狀態(tài)在一幀中保持不變，稀疏幀的傳輸模型如圖1所示。

圖1 稀疏幀的傳輸模型

式中：S∈ CM×N，X∈ CN×J，Z∈ CM×J，Y∈ CM×J，J＝Jd＋1，由于h與a［j］d具有相同的支撐集，少量非零元素所在行索引等于激活用戶序號(hào)。因此，式（2）為一個(gè)MMV-CS問(wèn)題。矩陣X各列具有聯(lián)合稀疏性，擴(kuò)頻碼本S對(duì)應(yīng)于CS理論中的測(cè)量矩陣，s又稱為擴(kuò)頻矩陣。

2 基于差集序列與變換矩陣的擴(kuò)頻碼本優(yōu)化方法

針對(duì)特定維度的擴(kuò)頻碼本，其行索引集合只要屬于差集合，根據(jù)式（5）構(gòu)造的碼本皆可達(dá)到Welch界，本文選取構(gòu)造的碼本W(wǎng)Φ作為特定維度的擴(kuò)頻碼本Sopt。 以參數(shù)為（307，18）的擴(kuò)頻碼本為例，相比高斯隨機(jī)擴(kuò)頻碼本和三元復(fù)擴(kuò)頻碼本，由式（5）構(gòu)造的擴(kuò)頻碼本能夠明顯改善系統(tǒng)的性能。

3 雙重迭代最小化μ值的擴(kuò)頻碼本優(yōu)化方法

由于特定維度的擴(kuò)頻碼本受限于差集合，而差集合的參數(shù)（p，k，λ）限制了差集合的構(gòu)造，即很多維度的最佳碼本不存在。本節(jié)針對(duì)任意維度設(shè)計(jì)擴(kuò)頻碼本，提出一種雙重迭代最小化μ值算法，在雙重迭代中不斷降低起始碼本W(wǎng)各列之間的互相關(guān)值從而達(dá)到對(duì)碼本W(wǎng)的優(yōu)化，Gamma矩陣G定義如下

式中：W為列歸一化后的形式，G的非對(duì)角線元素為碼本W(wǎng)不同列的內(nèi)積，碼本的μ值為非對(duì)角線元素的最大值，即為降低碼本 W 各列之間的互相關(guān)性，文獻(xiàn)［8］提出了一個(gè)迭代算法，在每次迭代中對(duì)矩陣G的元素采用下式進(jìn)行縮減

式中：t為優(yōu)化門(mén)限且為一個(gè)定值，γ為縮減因子且0＜γ ＜1。 縮減之后的矩陣G記為，若的秩大于W的行數(shù)，則用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）降秩，然后進(jìn)行平方根分解得到優(yōu)化后的碼本。

文獻(xiàn)［12］借鑒文獻(xiàn)［8］Elad算法的思想提出了一種大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的導(dǎo)頻優(yōu)化方法。本文通過(guò)改進(jìn)Elad算法提出雙重迭代最小化μ值的擴(kuò)頻碼本優(yōu)化方法。本文算法的改進(jìn)體現(xiàn)在以下3個(gè)方面：（1） 關(guān)于起始碼本，文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［12］均選取高斯隨機(jī)矩陣，本文選取部分Zadoff-Chu復(fù)矩陣。因?yàn)樵诜抡嫜芯恐邪l(fā)現(xiàn)，起始優(yōu)化碼本選擇部分Zadoff-Chu復(fù)矩陣可以保證算法收斂性，同時(shí)獲得μ值更低的擴(kuò)頻碼本。（2）文獻(xiàn)［8，12］的作者使用的優(yōu)化門(mén)限t均為定值，而通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化門(mén)限t選取不同，最終獲得的優(yōu)化碼本的μ值不同。因此，本文采取t的并行取值策略來(lái)提升優(yōu)化效果，即從優(yōu)化門(mén)限序列中選出最適合當(dāng)前碼本的優(yōu)化門(mén)限t，優(yōu)化得到此時(shí)最優(yōu)的擴(kuò)頻碼本。（3）與文獻(xiàn)［8，12］的單層迭代算法不同，本文結(jié)合t的并行取值，采取雙重迭代。在每一輪迭代中，針對(duì)相同的碼本W(wǎng)，對(duì)優(yōu)化門(mén)限t并行取L個(gè)值并分別進(jìn)行G矩陣縮減迭代操作，即可得到L個(gè)優(yōu)化矩陣，選擇其中μ值最小的矩陣作為本次迭代的優(yōu)化碼本Xiter。 將碼本Xiter再作為下一輪迭代的起始碼本，重新進(jìn)行優(yōu)化門(mén)限t并行取值的G矩陣縮減迭代操作。重復(fù)上述步驟直到優(yōu)化碼本的μ值基本不變時(shí)算法停止，得到最終優(yōu)化的擴(kuò)頻碼本Sopt。因?yàn)镚矩陣縮減本身為迭代操作，本文結(jié)合優(yōu)化門(mén)限t的并行取值又增加了一層迭代，因此稱為雙重迭代算法。仿真表明，本文優(yōu)化后獲得的擴(kuò)頻碼本μ值相比文獻(xiàn)［8］更低且接近Welch界。完整的雙重迭代最小化μ值算法步驟如下。

算法1 雙重迭代最小化μ值算法

4 仿真結(jié)果和分析

本文在 CPU型號(hào)為 Intel（R）Core（TM）I5-6300HQ，速度為2.30 GHz，內(nèi)存為8 GB RAM的聯(lián)想筆記本上運(yùn)行Matlab2021b進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真分為兩部分：第一部分用雙重迭代最小化μ值算法對(duì)部分Zadoff-Chu矩陣進(jìn)行優(yōu)化，分析擴(kuò)頻碼本優(yōu)化效果；第二部分，通過(guò)仿真分析本文所提擴(kuò)頻碼本優(yōu)化方法對(duì)文獻(xiàn)［10］免調(diào)度NOMA系統(tǒng)基于MMV-CS框架的CE和MUD聯(lián)合算法的性能提升效果。

4.1 雙重迭代最小化μ值算法對(duì)擴(kuò)頻碼本μ值降低的效果分析

本節(jié)首先將文獻(xiàn)［8］采用的高斯隨機(jī)碼本、文獻(xiàn)［5］采用的三元復(fù)擴(kuò)頻碼本和本文提出的雙重迭代最小化μ值算法優(yōu)化獲得的擴(kuò)頻碼本進(jìn)行比較，碼本長(zhǎng)度為50，擴(kuò)頻碼本數(shù)量分別為200、400、600、800，3種擴(kuò)頻碼本μ值分布如圖2所示。從μ值大小來(lái)看，在碼本長(zhǎng)度不變的情況下，隨著擴(kuò)頻碼本數(shù)量的增加，3種碼本μ值不斷增加，以擴(kuò)頻碼本數(shù)量為200為例，高斯隨機(jī)碼本μ值為0.550 5，三元復(fù)擴(kuò)頻碼本μ值為0.442 5，本文算法優(yōu)化得到的擴(kuò)頻碼本μ值為0.131 1，相比高斯隨機(jī)碼本下降了76.19%，相比三元復(fù)擴(kuò)頻碼本下降了70.37%，本文優(yōu)化得到的擴(kuò)頻碼本μ值相比另外兩種是最低的且接近Welch界。

圖2 3種擴(kuò)頻碼本的最大互相關(guān)幅值比較

接著比較本文提出的雙重迭代最小化μ值算法與使用文獻(xiàn)［8］算法對(duì)同一起始碼本的優(yōu)化結(jié)果。以碼本維度為［50，200］的擴(kuò)頻碼本為例，其中50表示擴(kuò)頻碼本長(zhǎng)度，200表示擴(kuò)頻碼本數(shù)量，兩種算法得到的擴(kuò)頻碼本μ值如表1所示，由表1可知，文獻(xiàn)［8］算法在迭代收斂后μ值保持0.190 0不變，本文算法由于使用雙重迭代，可以使μ值繼續(xù)降低最終收斂達(dá)到了0.131 1，μ值下降了31%，相比文獻(xiàn)［8］更低且接近Welch界。

表1 兩種不同算法優(yōu)化后的擴(kuò)頻碼本最大互相關(guān)值比較

4.2 不同擴(kuò)頻碼本在NOMA系統(tǒng)聯(lián)合CE和MUD問(wèn)題中的性能分析

文獻(xiàn)［10］針對(duì)免調(diào)度NOMA系統(tǒng)提出了一種基于MMV-CS框架的CE和MUD聯(lián)合算法。本節(jié)在文獻(xiàn)［10］的系統(tǒng)模型中分別使用高斯隨機(jī)碼本、三元復(fù)擴(kuò)頻碼本和本文所提算法優(yōu)化后的擴(kuò)頻碼本，仿真對(duì)比分析三者所獲得算法的性能差異。仿真參數(shù)設(shè)置如下：信道為平坦瑞利衰落信道；1個(gè)時(shí)隙發(fā)送導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，6個(gè)時(shí)隙發(fā)送信息數(shù)據(jù)；調(diào)制方式為QPSK。仿真比較的性能參數(shù)指標(biāo)如下：誤符號(hào)率（Symbol Error Rate，SER），成功活躍用戶檢測(cè)率（Successful Activity Detection Rate，SADR），即成功檢測(cè)的活躍用戶數(shù)占總活躍用戶數(shù)的比例，信道估計(jì)的歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE），其中NMSE 計(jì)算表達(dá)式為

式中：h為信道系數(shù)，表示信道系數(shù)估計(jì)值，G為仿真次數(shù)。

4.2.1 基于差集序列與變換矩陣優(yōu)化的擴(kuò)頻碼本性能

本小節(jié)比較維度取特定值的擴(kuò)頻碼本：擴(kuò)頻碼本長(zhǎng)度為18，擴(kuò)頻碼本數(shù)量為307，活躍用戶數(shù)k取8、10。圖3為維度取特定值時(shí)3種擴(kuò)頻碼本的誤符號(hào)率曲線，在相同活躍用戶數(shù)、相同信噪比時(shí)，采用ZC擴(kuò)頻碼本相比使用另外兩種擴(kuò)頻碼本誤符號(hào)率最低。比如當(dāng)活躍用戶數(shù)為8、信噪比為30 dB時(shí)，ZC碼本SER值為1.3×10-3，相比三元復(fù)碼本SER值為2.3×10-3降低了43.48%，相比高斯隨機(jī)碼本SER值為1.35×10-2降低了90.37%。

圖3 維度為［18，307］擴(kuò)頻碼本的SER值比較

圖4所示為3種擴(kuò)頻碼本在不同信噪比下和不同活躍用戶數(shù)下的成功活躍用戶檢測(cè)率。從圖4可以看出，在相同活躍用戶數(shù)、相同信噪比時(shí)，ZC擴(kuò)頻碼本相比另外兩種擴(kuò)頻成功活躍用戶檢測(cè)率是最高的。當(dāng)活躍用戶數(shù)為10、信噪比為30 dB時(shí)，ZC碼本SADR值為94.55%，相比三元復(fù)碼本SADR值為79.75%，而高斯隨機(jī)碼本SADR值僅為49.15%，成功活躍用戶檢測(cè)率不足一半。

圖4 維度為［18，307］的擴(kuò)頻碼本的SADR值比較

圖5所示為3種擴(kuò)頻碼本的NMSE仿真結(jié)果。結(jié)果表明，在相同活躍用戶數(shù)、相同信噪比時(shí)，使用ZC擴(kuò)頻碼本相比另外兩種擴(kuò)頻碼本，信道估計(jì)的NMSE值均有明顯下降；在相同信噪比時(shí)，隨著活躍用戶數(shù)的增加，使用ZC擴(kuò)頻碼本相比另外兩種擴(kuò)頻碼本NMSE值上升較小。例如信噪比為30 dB時(shí)，使用 ZC擴(kuò)頻碼本時(shí)的 NMSE從k＝8時(shí)的7.28×10-2到k＝10 時(shí)的 8.40×10-2，僅上升了15.38%，而高斯隨機(jī)碼本從k＝8時(shí)的0.568 3到k＝10時(shí)的1.324 1，上升了132.99%。

圖5 維度為［18，307］的擴(kuò)頻碼本的NMSE值比較

4.2.2 雙重迭代最小化μ值算法優(yōu)化的擴(kuò)頻碼本性能

本小節(jié)比較維度可調(diào)的擴(kuò)頻碼本：擴(kuò)頻碼本長(zhǎng)度為 50，擴(kuò)頻碼本數(shù)量為 200、400、600、800，活躍用戶數(shù)k取 10、20、30。

以擴(kuò)頻碼本數(shù)量為200進(jìn)行性能分析，圖6為3種擴(kuò)頻碼本的誤符號(hào)率曲線，可以看出在相同活躍用戶數(shù)、相同信噪比時(shí)，使用本文算法優(yōu)化得到的擴(kuò)頻碼本使系統(tǒng)誤符號(hào)率最低。當(dāng)活躍用戶數(shù)較大時(shí)，使用本文算法優(yōu)化得到的擴(kuò)頻碼本對(duì)系統(tǒng)誤符號(hào)率的改善更加明顯。

圖6 維度為［50，200］擴(kuò)頻碼本的SER值比較

圖7所示為使用不同擴(kuò)頻碼本時(shí)的成功活躍用戶檢測(cè)率曲線，圖中可以看出，在相同活躍用戶數(shù)、相同信噪比時(shí)，使用本文算法優(yōu)化得到的碼本相比另外兩種碼本成功活躍用戶檢測(cè)率是最高的。隨著活躍用戶數(shù)的遞增，使用本文算法優(yōu)化得到的碼本對(duì)成功活躍用戶檢測(cè)率的改善更加明顯。

圖7 維度為［50，200］擴(kuò)頻碼本的SADR值比較

圖8所示為使用3種擴(kuò)頻碼本的NMSE仿真結(jié)果。結(jié)果表明，在低活躍用戶數(shù)時(shí)，3種擴(kuò)頻碼本的NMSE性能相接近。隨著活躍用戶數(shù)的不斷增加，使用本文算法得到的碼本對(duì)NMSE的改善最明顯。接下來(lái)取活躍用戶數(shù)為20，信噪比為15 dB，碼本長(zhǎng)度為 50，碼本數(shù)量分別為 200、400、600、800來(lái)進(jìn)行不同擴(kuò)頻碼本的系統(tǒng)性能分析。圖9、10和11分別是系統(tǒng)誤符號(hào)率曲線、成功活躍用戶檢測(cè)率曲線和信道估計(jì)NMSE曲線。從仿真結(jié)果來(lái)看，隨著碼本數(shù)量的不斷增加，系統(tǒng)SER逐漸上升，SADR不斷下降，NMSE不斷上升。使用本文算法優(yōu)化得到的擴(kuò)頻碼本相對(duì)于其他兩種碼本而言，能使系統(tǒng)獲得更低的SER、更高的SADR和更低的NMSE。

圖8 維度為［50，200］擴(kuò)頻碼本的NMSE值比較

圖9 不同碼本數(shù)量的擴(kuò)頻碼本的SER值比較（活動(dòng)用戶數(shù)k＝20、信噪比SNR＝15 dB）

圖10 不同碼本數(shù)量的擴(kuò)頻碼本的SADR值比較（活動(dòng)用戶數(shù)k＝20、信噪比SNR＝15 dB）

圖11 不同碼本數(shù)量的擴(kuò)頻碼本的NMSE值比較（活動(dòng)用戶數(shù)k＝20、信噪比SNR＝15 dB）

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了免調(diào)度NOMA系統(tǒng)中的擴(kuò)頻碼本設(shè)計(jì)問(wèn)題。筆者認(rèn)為，在碼本維度參數(shù)符合差集合參數(shù)時(shí)，可通過(guò)Zadoff-Chu矩陣構(gòu)造達(dá)到Welch界的擴(kuò)頻碼本。為了尋求任意維度低互相關(guān)幅值擴(kuò)頻碼本的構(gòu)造方法，本文提出了一種雙重迭代最小化μ值算法。算法采取并行取值策略，通過(guò)雙重迭代不斷降低碼本各列之間的互相關(guān)值，從而實(shí)現(xiàn)碼本的優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，在基于MMV-CS框架下的NOMA系統(tǒng)中，本文算法優(yōu)化獲得的擴(kuò)頻碼本相比三元復(fù)擴(kuò)頻碼本和高斯隨機(jī)擴(kuò)頻碼本，能夠獲得更優(yōu)秀信道估計(jì)和多用戶檢測(cè)性能。