王家楨， 馬 良， 張惠珍

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

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三維歐氏Steiner最小樹(shù)的Delaunay四面體網(wǎng)格混合智能算法

王家楨， 馬 良， 張惠珍

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

Steiner最小樹(shù)問(wèn)題是組合優(yōu)化中經(jīng)典的NP難題，在許多實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，而三維歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題是對(duì)二維歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題的推廣。由于三維歐氏Steiner樹(shù)問(wèn)題的求解非常困難，至今為止的相關(guān)成果較為少見(jiàn)。本文針對(duì)該問(wèn)題，利用Delaunay四面體網(wǎng)格剖分技術(shù)，提出了一種混合型智能求解方法，不僅可以盡量避免拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)陷入局部最優(yōu)，且對(duì)較大規(guī)模的問(wèn)題求解亦有良好的效果。算法在Matlab環(huán)境下編程實(shí)現(xiàn)，經(jīng)實(shí)例測(cè)試，獲得了滿意的效果。

三維歐氏Steiner最小樹(shù)；Delaunay四面體網(wǎng)格；凸多面體剖分；智能算法

0 引言

Steiner樹(shù)問(wèn)題是指連接給定點(diǎn)的最小樹(shù)長(zhǎng)問(wèn)題，其最優(yōu)解稱(chēng)為Steiner最小樹(shù)(Steiner Minimum Tree，SMT)[1]。根據(jù)點(diǎn)和連線的空間屬性，Steiner樹(shù)問(wèn)題可進(jìn)一步細(xì)分為歐氏Steiner樹(shù)(Euclidean Steiner Tree，EST)問(wèn)題和絕對(duì)值距離Steiner樹(shù)(Rectilinear Steiner Tree，RST)問(wèn)題(連線只有水平和垂直兩種形式)。

三維歐氏Steiner樹(shù)問(wèn)題是對(duì)二維歐氏Steiner樹(shù)問(wèn)題的推廣，其計(jì)算的復(fù)雜性和求解的難度超過(guò)了二維歐氏Steiner樹(shù)問(wèn)題[2]。國(guó)內(nèi)外對(duì)此問(wèn)題的相關(guān)研究成果也較少，以致對(duì)該問(wèn)題的求解方法極為欠缺。

本文基于計(jì)算幾何中Delaunay四面體網(wǎng)格的相關(guān)理論，利用智能算法，設(shè)計(jì)了一種混合型智能求解方法，其特點(diǎn)在于從幾何的角度入手，同時(shí)結(jié)合了智能算法的特點(diǎn)，為該問(wèn)題的實(shí)際求解提供了有效方法。

1 歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題

1.1 定義

給定原點(diǎn)集X(也稱(chēng)正則點(diǎn)集)，歐氏Steiner樹(shù)是指連接點(diǎn)集X中所有點(diǎn)的最短樹(shù)。由于允許增加輔助點(diǎn)集S(s-點(diǎn)集)，因此，歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)就是尋求點(diǎn)集S，使得連接X(jué)∪S的生成樹(shù)最小。

1.2 性質(zhì)

對(duì)于歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題，若能設(shè)法求出s-點(diǎn)的數(shù)目與位置，就可用最小生成樹(shù)算法對(duì)其進(jìn)行求解，因此，問(wèn)題的關(guān)鍵在于 s-點(diǎn)的選取。

下面，先列出幾條關(guān)于二維歐氏Steiner最小樹(shù)的基本性質(zhì)[1]：

性質(zhì)1 SMT上任何兩條鄰接邊的夾角不小于120度。

性質(zhì)2 SMT上任何一個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)聯(lián)邊不多于三條。

性質(zhì)3 SMT上與s-點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊必定為三條，且這三條邊中任意兩邊夾角為120度。

性質(zhì)4 設(shè)SMT的原點(diǎn)為n個(gè)，則s-點(diǎn)的數(shù)目≤n-2。

性質(zhì)5 假設(shè)由n個(gè)原點(diǎn)所圍成的區(qū)域?yàn)橥箽?，則所有s-點(diǎn)都必定包含在凸殼內(nèi)。

性質(zhì)6 SMT中每個(gè)葉子都是原點(diǎn)。

在文獻(xiàn)[2]和[3]中已說(shuō)明，上述6條性質(zhì)可推廣到三維歐氏Steiner最小樹(shù)。

1.3 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

令X={A1,…,An}為n個(gè)原點(diǎn)所成之集。令G為一將此n個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)的最小網(wǎng)絡(luò)，若過(guò)G上的每個(gè)s-點(diǎn)皆有三條邊通過(guò)，它們兩兩交成120度的角，且任何兩條邊不相交，又若過(guò)其中每個(gè)原點(diǎn)只有一條邊通過(guò)，則稱(chēng)G具有滿拓?fù)鋄1]。

下面的所有討論都假定歐氏Steiner最小樹(shù)是滿拓?fù)涞摹?/p>

(1)二維的情況

當(dāng)n=3,4,5時(shí)，有關(guān)的Steiner樹(shù)只出現(xiàn)一種滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),如圖1所示。

當(dāng)n≥6時(shí)，則不止一種。

例如，對(duì)于n=6時(shí)，則有如圖2所示的三種滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖1 二維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(1)

圖2 二維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(2)

(2)三維的情況

當(dāng)n=4,5時(shí)，有關(guān)的Steiner樹(shù)同二維的情況一樣，只出現(xiàn)一種滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。值得注意的現(xiàn)象是，三維的情況相對(duì)于二維的情況來(lái)說(shuō)，只是在空間上以一個(gè)s-點(diǎn)和另一個(gè)s-點(diǎn)的連線作為軸，將兩側(cè)的分支進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)。如：圖1(b)對(duì)應(yīng)圖3(a)，圖1(c)對(duì)應(yīng)圖3(b)。

圖3 三維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(1)

當(dāng)n=6時(shí)，三維的情況則有所不同。圖4中的3張圖看似是對(duì)圖2中二維的3種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的推廣，但是實(shí)際上圖4中(b)和(c)這兩張圖是同一個(gè)三維圖像的不同觀察角度，因此三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分類(lèi)變成了一件棘手的事情。

圖4 三維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(2)

本文中將用s-點(diǎn)之間的連接方式來(lái)對(duì)不同的三維滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行歸類(lèi)。

當(dāng)s-點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2和3時(shí)，顯然只有一種連接方式。

當(dāng)s-點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí)，有兩種連接方式。圖4(a)對(duì)應(yīng)圖5(b)，圖4(b)(c)都對(duì)應(yīng)圖5(a)。

同理，當(dāng)s-點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5時(shí)，有三種連接方式，如圖6。

圖5 三維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(3)

圖6 三維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(4)

當(dāng)s-點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6時(shí)，有五種連接方式，如圖7。

當(dāng)s-點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7時(shí)，有九種連接方式，如圖8。

圖7 三維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(5)

圖8 三維歐氏Steiner樹(shù)的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意(6)

顯然，按照如上的歸類(lèi)方法，連接方式的種數(shù)隨著s-點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加而增加。

在文獻(xiàn)[3]中，討論了關(guān)于3-Sausage結(jié)構(gòu)(即圖5、6、7、8中(a)的結(jié)構(gòu))的三維歐氏Steiner最小樹(shù)的一些性質(zhì)，該文獻(xiàn)指出，即使已知是3-Sausage結(jié)構(gòu)的Steiner最小樹(shù)，也只能求得正則點(diǎn)數(shù)在15個(gè)點(diǎn)以?xún)?nèi)的精確解。

而在文獻(xiàn)[1]中，討論了二維歐氏Steiner最小樹(shù)的正則點(diǎn)個(gè)數(shù)n和二維中相應(yīng)歸類(lèi)方法得到的歸類(lèi)數(shù)目，當(dāng)n=6時(shí)，其歸類(lèi)數(shù)為5625，當(dāng)n=8時(shí)則為2643795。如此龐大的數(shù)目只能依靠高速計(jì)算機(jī)來(lái)處理。當(dāng)n稍大，例如大于10時(shí)，問(wèn)題已不可能用枚舉法來(lái)求解。

又文獻(xiàn)[2]中提到，三維歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題顯然比二維歐氏Steiner最小樹(shù)問(wèn)題來(lái)得更為復(fù)雜。

因此，綜合以上幾點(diǎn)，對(duì)于空間任意點(diǎn)要想求解其三維歐氏Steiner最小樹(shù)，如果不知道其確切的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即使規(guī)模很小(在10以?xún)?nèi))，都幾乎難以使用精確算法進(jìn)行求解，所以，本文將介紹一種新型的混合智能求解算法來(lái)求解較大規(guī)模的該問(wèn)題。

2 空間點(diǎn)集Delaunay四面體網(wǎng)格的基本概念[4,5]

(1)Delaunay規(guī)則:空間四面體外接球面的內(nèi)部不包含空間點(diǎn)集中的點(diǎn)作為四面體生成的一個(gè)約束條件, 稱(chēng)之為Delaunay規(guī)則。在平面上，相應(yīng)的約束條件為三角形的外接圓的內(nèi)部不包含點(diǎn)集中的點(diǎn)。

(2)Delaunay三角形:符合Delaunay規(guī)則的三角形稱(chēng)為Delaunay三角形。

(3)最大空?qǐng)A凸多邊形:以某個(gè)Delaunay三角形的外接圓上的所有點(diǎn)集中的點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的凸多邊形稱(chēng)為最大空?qǐng)A凸多邊形。

(4)Delaunay 四面體:符合Delaunay規(guī)則的四面體稱(chēng)為Delaunay四面體。

(5)最大空球凸多面體:以某個(gè)Delaunay四面體的外接球面上的所有點(diǎn)集中的點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的凸多面體稱(chēng)為最大空球凸多面體。

(6)凸殼:包含平面上一個(gè)點(diǎn)集在其所圍閉區(qū)域內(nèi)的最小凸多邊形稱(chēng)為這個(gè)平面點(diǎn)集的凸殼。包含空間一個(gè)點(diǎn)集在其所圍閉區(qū)域內(nèi)的最小凸多面體稱(chēng)為這個(gè)空間點(diǎn)集的凸殼。

3 算法描述及示例

第一步 對(duì)給定的正則點(diǎn)集構(gòu)建Delaunay四面體網(wǎng)格。具體算法此處不贅述，操作相對(duì)簡(jiǎn)單，只需在Matlab中調(diào)用函數(shù)Delaunay3即可。

第二步 對(duì)第一步中所形成的凸多面體進(jìn)行剖分。剖分遵循如下規(guī)則：

(1)剖分必須沿著Delaunay四面體網(wǎng)格中四面體的面；

(2)找出每個(gè)四面體面積最大的面，如果該最大面為兩個(gè)四面體的公共面，則將兩個(gè)四面體拼接在一起。

圖9 Delaunay四面體網(wǎng)格示意(1)

圖10 Delaunay四面體網(wǎng)格示意(2)

第三步 利用智能算法對(duì)剖分后每一塊區(qū)域的正則點(diǎn)進(jìn)行Steiner點(diǎn)求解。

本環(huán)節(jié)所用智能算法的核心為遺傳算法，其基本原理是借鑒自生物進(jìn)化思想的隨機(jī)優(yōu)化算法，通過(guò)選擇、交叉、變異等操作產(chǎn)生下一代的解，并逐步淘汰掉適應(yīng)度值較低的解，獲得適應(yīng)度值較高的解，經(jīng)過(guò)多次這樣的操作得出適應(yīng)度最高的解。

(1)染色體的產(chǎn)生。本文求解三維歐氏Steiner最小樹(shù)的遺傳算法中，染色體的產(chǎn)生尤為關(guān)鍵。

在1.2節(jié)中對(duì)于歐氏Steiner最小樹(shù)的性質(zhì)有這樣的描述：假設(shè)由n個(gè)原點(diǎn)所圍成的區(qū)域?yàn)橥箽?，則所有s-點(diǎn)都必定包含在凸殼內(nèi)。對(duì)于三維歐氏Steiner最小樹(shù)來(lái)說(shuō)，凸殼即為包含所有原點(diǎn)的最小凸多面體。

要想在凸多面體中生成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，這是一個(gè)棘手的問(wèn)題。本文利用了Delaunay四面體網(wǎng)格的剖分算法，對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行了四面體網(wǎng)格剖分，且剖分后的四面體的集合剛好是原點(diǎn)的凸多面體。

經(jīng)上述剖分處理后，產(chǎn)生染色體的方法為設(shè)置染色體的長(zhǎng)度為(n-2)×3，每3個(gè)數(shù)代表一個(gè)s-點(diǎn)的x、y、z坐標(biāo)。隨機(jī)選擇一個(gè)四面體，在該四面體中均勻分布的產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，如此循環(huán)生成n-2個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，即生成一條染色體。

(2)染色體的適應(yīng)度。目標(biāo)是生成樹(shù)的長(zhǎng)度最小化，因此適應(yīng)度為該染色體中的Steiner點(diǎn)和正則點(diǎn)求得的最小生成樹(shù)長(zhǎng)度的倒數(shù)。

(3) 染色體的選擇。利用隨機(jī)遍歷抽樣法(Stochastic Universal Sampling，簡(jiǎn)記SUS)，此方法與輪盤(pán)賭選擇法基本相似，是對(duì)輪盤(pán)賭選擇法的一種改進(jìn)，特點(diǎn)是只要進(jìn)行一次輪盤(pán)旋轉(zhuǎn)。其采用均勻分布且個(gè)數(shù)等于種群規(guī)模的旋轉(zhuǎn)指針，等距離選擇個(gè)體，其中第一個(gè)指針位置由[0,1/M]區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)決定，提供了零偏差和最小個(gè)體擴(kuò)展。

(4)染色體的交叉。采用2-opt法進(jìn)行交叉。需要注意的是，染色體斷開(kāi)的位置必須為3的倍數(shù)位置，目的是不把一個(gè)點(diǎn)的x、y、z坐標(biāo)割裂開(kāi)來(lái)。

(5)染色體的變異。隨機(jī)刪除染色體中的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，重新隨機(jī)選擇一個(gè)四面體，在其中生成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)加入染色體中。

最終經(jīng)過(guò)若干次的進(jìn)化迭代，得到適應(yīng)度最佳的染色體，然后把染色體中度不為3的Steiner點(diǎn)去掉即可。

第三步的結(jié)果如圖11所示。

圖11 示例各部分拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖12 示例結(jié)果

第四步 選擇適當(dāng)?shù)臐M拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，構(gòu)成最終解。

第三步中求得的所有滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，有些結(jié)構(gòu)共用相同的原點(diǎn)，如圖12(a)，所以并不能同時(shí)存在于最終解中，因此要選擇適當(dāng)?shù)臐M拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)成最終的解。

在滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)量較小的情況下(如10以?xún)?nèi)的規(guī)模)，可使用經(jīng)典算法，諸如分支定界法或回溯法等，精確地求得應(yīng)選擇哪些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。但是在滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)量較大的情況下，解空間的大小為2n，其時(shí)間復(fù)雜度為O(2n)，用經(jīng)典算法將在計(jì)算時(shí)間上達(dá)到難以容忍的程度，因此，這一步驟依然采用遺傳算法進(jìn)行求解。其中，染色體的長(zhǎng)度為滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)，變量均為布爾型變量，0代表不選擇該滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，1代表選擇該滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

4 實(shí)例測(cè)試

上述算法在問(wèn)題規(guī)模較小的情況下，如正則點(diǎn)數(shù)在10個(gè)以?xún)?nèi)，可省略第一、二、四步，即直接使用遺傳算法進(jìn)行求解，但在問(wèn)題規(guī)模較大時(shí)，直接使用遺傳算法極易使拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)陷入局部最優(yōu)，因此，下述實(shí)例測(cè)試中，分別直接使用遺傳算法和本文上述算法進(jìn)行求解并比較相應(yīng)結(jié)果。

表1 正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為15的實(shí)例數(shù)據(jù)

表2 直接使用遺傳算法求得的結(jié)果

表3 使用本文算法求得的結(jié)果

Steiner點(diǎn)的坐標(biāo)(0.819287248794546, 0.833273717626745, 0.470941089379567),(0.903197357900939, 0.603323476424388, 0.598245567059142),(0.477731148882094, 0.167825503909612, 0.675448401514719),(0.515574152446517, 0.225424249428747, 0.757162691379727),(0.700373195681323, 0.133440657029522, 0.442734888915843).

正則點(diǎn)的最小生成樹(shù)長(zhǎng)度=4.2240，直接使用遺傳算法求得Steiner樹(shù)長(zhǎng)=4.1947，使用本文上述算法求得Steiner樹(shù)長(zhǎng)=4.1363

如圖13所示，(a)為直接使用遺傳算法，僅求得了2個(gè)Steiner點(diǎn)，且均為正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為3的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；(b)為使用本文上述算法，求得了5個(gè)Steiner點(diǎn)，分別形成了正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為4和5的兩個(gè)滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

表4 正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為30的實(shí)例數(shù)據(jù)

表5 直接使用遺傳算法求得的結(jié)果

表6 使用本文算法求得的結(jié)果

Steiner點(diǎn)的坐標(biāo)(0.586822675669400,0.563143533909049,0.536881208643368)(0.048667289671466,0.799302689218958,0.101948606867073)(0.716309563425148,0.885184929174107,0.173029747045294)(0.857306249616238,0.887994071447951,0.165428690698518)(0.747295795812634,0.231250484455773,0.317045023250151)(0.300877184811933,0.780970270714978,0.794512016473429)(0.756184088940124,0.298114264375949,0.304408593947274)(0.707267849856724,0.621911460686212,0.725454470498772)(0.509700101244390,0.621900131867345,0.728900164897634)

正則點(diǎn)的最小生成樹(shù)長(zhǎng)度=6.5175，直接使用遺傳算法求得Steiner樹(shù)長(zhǎng)=6.4897，使用本文上述算法求得Steiner樹(shù)長(zhǎng)=6.3498

如圖14所示，(a)為直接使用遺傳算法，僅求得了2個(gè)Steiner點(diǎn)，且均為正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為3的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；(b)為使用本文上述算法，求得了9個(gè)Steiner點(diǎn)，分別形成了7個(gè)滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中有5個(gè)正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為3和2個(gè)正則點(diǎn)個(gè)數(shù)為4的滿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖13 實(shí)例測(cè)試結(jié)果1

圖14 實(shí)例測(cè)試結(jié)果2

5 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)一系列實(shí)例測(cè)試和結(jié)果比較表明，本文給出的混合智能算法在求解三維歐氏Steiner樹(shù)問(wèn)題上可以得到令人滿意的效果，且在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上不易陷入局部最優(yōu)。整個(gè)算法思路簡(jiǎn)單直觀，編程易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)現(xiàn)實(shí)中有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解決提供了方便的求解手段和工具。

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[5] 陳學(xué)工,潘懋.空間散亂點(diǎn)集Delaunay四面體剖分切割算法[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2002,14(1):93-95.

A Hybrid Intelligent Algorithm Based on Delaunay Tetrahedron Mesh Generation for Euclidean Steiner Minimum Tree Problem in 3-space

WANG Jia-zhen, MA Liang, ZHANG Hui-zhen

(BusinessSchoolofManagement,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

Euclidean Steiner minimum tree problem, a classical NP-hard problem in combination optimization, has been widely studied in many fields. Euclidean Steiner minimal tree problem in 3-space is the generalization of Euclidean Steiner minimum tree problem in 2-space. The research results on Euclidean Steiner minimal tree problem in 3-space have been rarely published because of their difficulties. In this paper, a hybrid intelligent method is designed by using Delaunay tetrahedron mesh generation technology to solve the Euclidean Steiner minimal tree problem in 3-space, which can not only avoid falling into local optima, but also has good effects in solving large scale problems. Promising results are obtained by using this hybrid method coded in MATLAB to solve series of Euclidean Steiner minimum tree problem instances in 3-space.

euclidean steiner minimum tree problem in 3-space; delaunay tetrahedron mesh generation; convex polyhedron decomposition; intelligent algorithm

2013- 08-22

上海市一流學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(S1201YLXK);上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新項(xiàng)目(14YZ090);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金聯(lián)合資助課題(20123120120005);上海高校青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃(slg12010);上海理工大學(xué)博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目(1D-10-303- 002)

王家楨(1988-)，女，上海人，碩士研究生，研究方向：智能優(yōu)化、系統(tǒng)工程；馬良(1964-)，男，上海人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：智能優(yōu)化，系統(tǒng)工程；張惠珍(1979-)，女，山西忻州人，博士后，講師，研究方向：智能優(yōu)化、系統(tǒng)工程。

TP301.6

A

1007-3221(2015)02- 0064- 07