廖貽華，覃勝喜，趙巨濤

（1.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

廣義傾斜對

廖貽華1，覃勝喜1，趙巨濤2

（1.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

設(shè)Λ為交換Artin環(huán)R上的一個Artin代數(shù)，D是Artin代數(shù)對偶，Λ上的廣義傾斜對（C，T）引入后，證明了廣義傾斜對（C，T）的Artin代數(shù)對偶（D（T），D（C）也是廣義傾斜對。

Artin代數(shù)；廣義傾斜對；Artin代數(shù)對偶

傾斜理論研究源于20世紀(jì)70年代。1979年Auslander、Platzeck和Reiten[1]在構(gòu)造不可分模時考慮了傾斜模；1980年Brenner和Butler[2]給出傾斜模概念；2001年Miyashita[3]給出了Artin代數(shù)上傾斜對的概念,它是傾斜模及余傾斜模的雙重推廣。2007年，魏加群和惠昌常[4]對傾斜對作了進(jìn)一步研究，引入廣義傾斜（C，T）對的概念，并通過Artin代數(shù)對偶函子D來研究廣義傾斜對的對偶性質(zhì).

1 預(yù)備知識

設(shè)Λ是Artin R-代數(shù)，即交換Artin環(huán)R上的一個Artin代數(shù)。文章中的模均為有限生成的左Λ-模,用mod Λ表示有限生成的左Λ-模組成的范疇, mod Λop表示有限生成的右Λ-模組成的范疇。并假設(shè)范疇是關(guān)于同構(gòu)封閉的Λ-mod的全子范疇，對任意Λ-模M，add M表示同構(gòu)于M的所有有限直和的直和項組成的子范疇.

設(shè)C為mod Λ的子范疇，用C表示mod Λ的子范疇，其對象Λ-模M滿足條件：存在一個長度有限的正合列

其中Ci∈C，i=1,2,…,n.

對偶地，我們用C表示mod Λ的子范疇,其對象Λ-模M滿足下列條件：存在一個長度有限的正合列

其中Ci∈C，i=1,2,…,n.

其中Ti∈addT，i=0,1,2…n,Imfi∈T┴。對偶地┴T表示所有滿足條件的左Λ-模N組成的范疇，?T表示所有滿足下列條件的左Λ-模M組成的┴T的子范疇：存在正合列

其中Ti∈addT，Kerfi∈┴T,i=0,1,2…n,

下面我們引入廣義傾斜對的概念。

假定C,T是Artin代數(shù)Λ上的模。如果C,T滿足以下4個條件:(1)C是自正交的，(2)T是自正交的，(3)T∈C?,(4)C∈?T，則稱模對（C,T）為一個廣義傾斜對。注意到Λ上的傾斜對（C,T）是滿足下列條件的模對：(1)C是自正交的，(2)T是自正交的，(3)?T，故每個傾斜對（C,T）都是廣義傾斜對.

文章中Artin代數(shù)對偶HomR（-,E(R/J(R))）記為D，其中J(R)是Λ的中心R的Jacobson根，而E(R/J (R))是R/J(R)的內(nèi)射包絡(luò).

2 主要結(jié)果

對于一個給定的廣義傾斜對（C,T），為了能獲得一個新的廣義傾斜對，這里需先給出幾個基本結(jié)論。

引理1 從modΛ到modΛOP的函子=HomR（-, E(R/J(R))）=D與函子HomΛ（-，D（Λ））同構(gòu)。

證明 見[5,Prop3.5,Chp II].

引理2 如果M∈modΛ是一個自正交模，記Γ＝EndΛ(M)op,則對所有的C∈┴和A∈?M都有同構(gòu)

Exti（C，A）?Exti（HomΛ（A，M）,HomΛ（C，M））,i=1,2,…成立.

證明 見[6,定理3.2.2,Chp III].

討論廣義傾斜對的對偶性質(zhì)，獲得文章主要結(jié)果如下.

定理 如果C,T∈mod Λ,且（C,T）為mod Λ中的一個廣義傾斜對,則（D（T），D（C））是mod Λop中的一個廣義傾斜對.

證明.首先Λ是Artin R-代數(shù)，則Λop也是一個Artin R-代數(shù)見[5,§2.1,Chp II].下面先證. D(C)∈D(T)?.

由于（C,T）為一個廣義傾斜對,故有C∈?T,故存在一個正合列

根據(jù)引理 1,函子D?HomΛ(-,D(Λ)),而D(Λ)是一個有限生成的雙邊內(nèi)射余生成子 (參考 [7, §3.2,Chp III]),因此D?HomΛ(-,D(Λ))是一個反變正合函子.于是用函子D作用于正合列（2.1）得到下列正合列

由于Ti∈addT,故有自然數(shù)k及模Ti'使得Ti⊕Ti'?D(Tk),于是有：

因此D(Ti)∈add D(T).

另一方面Kerfi∈┴T,i=0,1,2…n,即有（Kerfi,T）=0.在引理2中取M=D(A)，則有?M=?D(Λ)=mod Λ，┴M=┴D(Λ)=mod Λ，再由引理1可得

由引理1,對i=0,1,2,…也有j=1,2,…也有

由引理2有

于是對i=0,1,2…,j=1,2,…有

而由D是反變正合函子不難知道D(Kerfi)=ImD(fi)故由上式)可得

因此ImD(fi)∈D(T)┴.由(2.2)式可知D(C)∈D(T)?.

類似地,由T∈C?出發(fā)也可推導(dǎo)出D(T)∈D(T)?.

余下的工作只需要證明Λop-模D(T)與D(C)都是自正交的.事實(shí)上根據(jù)引理1與引理2有對j=1, 2,…有

即Λop-模是自正交的，同理可證Λop-模D(C)是自正交的.

因此,modΛop中的模對(D(T),D(C))是一個廣義傾斜對.

［1］Auslander M,Platzeck M I,Reiten I.Coxeter functorswithoutdiagrams［J］.Trans.Amer.Math.Soc.1979,250:1-46.

［2］Brenner S,Butler M. Generalizations of the Bernstein-Gelfand-Ponomarev reflection functors［J］.V.Dlab(ed.)P.Gabriel(ed.),Representation Theory II.Proc.ICRA II(Ottawa),Lecture Notes in Math,832,Berlin:Springer-Verglag,1980.103 -169.

［3］Miyashita Y.Tilting modules associated with a series of idempotent ideals［J］.J Algebra,2001,（238）: 485-501.

［4］WeiJia-qun,XiChang-chang.Acharacterization of the tilting pair［J］.J Algebra,2007,（317): 376-391.

［5］Auslander M,Reiten I,Smalo S O.Representation Theory of Artin Algebras［M］.London: Cambridge University Press,1997.

［6］Liao Yi-hua.Tilting Pairs and Approximations［D］.Nanjing:SoutheastUniversity,Doctoral dissertation,2012.

［7］Colby R R,Fuller K R.Equivalence and Duality for Module Categories(with Tilting and Cotilting for Rings)［M］.London:Cambridge Univ.Press, 2004.

Liao Yi-hua1,Qin Sheng-xi1,Zhao Ju-tao2

（1.School of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning Guangxi,530004；2.Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi,046011）

If Λ was set as an Artin algebra over a commutative Artin ring R,D the Artin algebra duality,and the notions of the generalized tilting pairs(C,T)over an Artin algebra Λ were introduced,it was proved that(D(T),D(C))are generalized tilting pairs provided that(C,T)is a generalized tilting pair.

Artin algebra;generalized tilting pair;Artin algebra duality

O153.3

A

1673-2015（2015）02-0001-03

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

廣西高校數(shù)學(xué)及其應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗室資助。

2014—11—20

廖貽華（1963—）男，廣西全州人，博士，副教授，主要從事代數(shù)表示論及廣義逆研究。