申蔓蔓，樂曉波，周愷卿

(1.長沙理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，湖南 長沙 410114；2.馬來西亞理工大學(xué)計(jì)算學(xué)院，馬來西亞UTM士古來 柔佛洲 80310)

1 引言

傳統(tǒng)Petri網(wǎng)PN(Petri Nets)理論不能處理非確定信息，使得Petri網(wǎng)在建模、處理和分析不確定系統(tǒng)時(shí)缺乏柔性。為了克服這一問題，Lipp L L在1984年提出模糊Petri網(wǎng)的概念。作為Petri網(wǎng)理論與模糊集合理論的有機(jī)結(jié)合的一種高級(jí)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，模糊Petri網(wǎng)在不確定知識(shí)的表示和推理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。近年來學(xué)者于不同研究背景提出了不同的模糊Petri網(wǎng)模型和相應(yīng)的模糊推理算法[1～6]。文獻(xiàn)[1]給出了帶標(biāo)識(shí)的模糊Petri網(wǎng)進(jìn)行模糊推理，該方法采用了一種改進(jìn)的相似度，因此計(jì)算出推理結(jié)果的意義更加明晰。文獻(xiàn)[2]提出了基于區(qū)間值的直覺模糊Petri網(wǎng)IFPN(Intuitionistic Fuzzy Petri Nets)模型，使直覺模糊推理在理論上得以實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[3]基于直覺模糊Petri網(wǎng)理論，建立了空戰(zhàn)戰(zhàn)術(shù)決策模型，引入非隸屬度函數(shù)，在處理不確定信息時(shí)具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力。文獻(xiàn)[4]提出的基于直覺模糊Petri網(wǎng)的意圖識(shí)別方法,在推理過程中充分發(fā)揮Petri網(wǎng)的動(dòng)態(tài)并行推理能力,使得推理更加高效。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于模糊故障樹的模糊Petri網(wǎng)模型，更適合對(duì)事故現(xiàn)場進(jìn)行診斷。文獻(xiàn)[6]基于模糊Petri網(wǎng)的電動(dòng)機(jī)輪子故障診斷，表明模糊Petri網(wǎng)有一個(gè)簡單的結(jié)構(gòu)、良好的表達(dá)斷層和模糊推理的能力。

但是，隨著對(duì)實(shí)際問題認(rèn)識(shí)和研究的不斷深入，傳統(tǒng)模糊集合理論不能完整表達(dá)所研究問題的所有信息這一缺陷在實(shí)際應(yīng)用過程中越來越突出[7]。因此，在以模糊Petri網(wǎng)為工具進(jìn)行知識(shí)表示和模糊推理的過程中，由于難以獲得足夠的信息導(dǎo)致不能獲得滿意的推理結(jié)果。為了克服這一問題，本文試圖將具有較強(qiáng)的表達(dá)能力、處理不確定的信息能力的直覺模糊集合引入模糊Petri網(wǎng)理論，給出直覺模糊Petri網(wǎng)(IFPN)的形式化定義[8]，并在基于該模型的推理過程中引入庫所重排策略，提出一種新的基于IFPN模型的庫所重排策略的推理算法，有效簡化模糊推理過程。最后，通過實(shí)例檢驗(yàn)此算法的可行性和有效性。

2 基本定義

2.1 算法所涉及的相關(guān)定義

直覺模糊集是保加利亞學(xué)者Tanassov K A[9]在模糊集基礎(chǔ)上提出的新概念，增加了一個(gè)新的屬性參數(shù)—非隸屬度函數(shù)，以一個(gè)區(qū)域值代替了隸屬度，具有更強(qiáng)的模糊描述能力。直覺模糊Petri網(wǎng)是在Petri網(wǎng)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來的，它應(yīng)用的出發(fā)點(diǎn)是基于其知識(shí)表達(dá)和邏輯推理功能。直覺模糊理論在原有Zadeh模糊集理論的基礎(chǔ)上引入直覺模糊集定義，進(jìn)而可以描述“非此非彼”的“模糊概念”[10]。

定義1(直覺模糊集合) 設(shè)X為論域，則X上的一個(gè)直覺模糊集合A為：

A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X}

其中,μA(x):X→[0,1]，νA(x):X→X[0,1]，且0≤μA+νA≤1,?x∈X,μA(x)表示x對(duì)A的隸屬程度，νA(x)表示x對(duì)A的非隸屬程度。

定義2(直覺模糊關(guān)系) 設(shè)X和Y是普通、有限非空集合的論域。定義在直積空間X×Y上的直覺模糊子集稱為從X到Y(jié)之間的二元直覺模糊關(guān)系。記為：

R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|x∈X,y∈Y}

其中,μR:X×Y→[0,1]和νR:X×Y→[0,1]滿足條件0≤μR(x,y)+νR(x,y)≤1,?(x,y)∈X×Y。

定義3(1)乘法算子⊙：

C=A⊙B?C=(μA(x)·μB(x),

νA(y)+νB(y)-νA(y)·νB(y))

(2)加法算子⊕：

C=A⊕B?Cij[max(μA(x),μB(x)),

min(νA(y),νB(y))]

文獻(xiàn)[11]對(duì)乘法算子⊙與加法算子⊕做了較詳細(xì)的討論。

2.2 IFPN的形式定義及相關(guān)規(guī)則

為使直覺模糊推理更加方便，本小節(jié)在直覺模糊集合的基礎(chǔ)上給出直覺模糊Petri網(wǎng)的定義及其形式化表示。

定義4直覺模糊Petri網(wǎng)可以用一個(gè)六元組來表示：

IFPN=(P,T,I,O,M,τ)

其中:

(1)P=PU∪PQ∪PD為IFPN中有限庫所集合，每一個(gè)庫所對(duì)應(yīng)著一個(gè)命題。為使直覺模糊推理更高效，本文給出了庫所的重排：

P=PU∪PQ∪PD

其中,PU={p1,p2,…,pm1}代表初始庫所，PQ={q1,q2,…,qm2}代表中間庫所，PD={d1,d2,…,dm3}代表結(jié)論庫所，m=m1+m2+m3為總庫所數(shù)。

(2)T={t1,t2,…,tm}為IFPN中變遷的集合，每個(gè)變遷對(duì)應(yīng)一個(gè)規(guī)則。

(3)In×m={aij|pi∈P,tj∈T}，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m,其中aij∈[0,1]表示庫所pi到變遷tj的輸入權(quán)重。

(6)S:P→[0,1]為庫所P的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，表示庫所P對(duì)應(yīng)的命題的模糊標(biāo)識(shí)值，初始標(biāo)識(shí)S0=[S0(p1),S0(p2),…,S0(pn)]T，其中S0(pi)為直覺模糊數(shù)(u0i,y0i)。

用直覺模糊Petri網(wǎng)的變遷來表示直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則，變遷的輸入表示規(guī)則的前提，變遷的輸出庫所表示規(guī)則的結(jié)論，通過閾值來控制變遷的發(fā)生，并用變遷的置信度表示模糊規(guī)則的可信度。與普通模糊Petri網(wǎng)產(chǎn)生式規(guī)則不同的是，直覺模糊Petri網(wǎng)產(chǎn)生式中的這些量都是用直覺模糊集表示的，具體模型有以下三種類型[11]：

類型1簡單直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則。

IFaTHENb (CF=c)

其中，a是前提命題，b是結(jié)果命題，p1為變遷t的輸入庫所，p2為變遷t的輸出庫所，c為規(guī)則的可行度，M1表示輸入庫所中的標(biāo)識(shí)，M2表示輸出庫所中的標(biāo)識(shí)。該類型直覺模糊Petri網(wǎng)表示如圖1所示。

Figure 1 Corresponding IFPN model of simple IFPR圖1 簡單IFPR的IFPN表示

類型2合取直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則。

IFa1ANDa2AND…ANDanTHENak( CF=c, τ)

其中前提命題a1，a2，…，an分別由庫所p1，p2，…，pn代替，結(jié)果命題由ak代替，該類型的直覺模糊Petri網(wǎng)表示如圖2所示。

Figure 2 Corresponding IFPN model of ‘a(chǎn)nd’ IFPR圖2 合取式IFPR的IFPN表示

類型3析取直覺模糊產(chǎn)生式規(guī)則。

IFa1ORa2OR…ORanTHENak(CF=c1, CF=c2,…, CF=cn)

該類型的直覺模糊Petri網(wǎng)表示如圖3所示。

Figure 3 Corresponding IFPN model of ‘or’ IFPR圖3 析取式IFPR的IFPN表示

3 基于IFPN模型的推理算法

直覺模糊Petri網(wǎng)(IFPN)將直覺模糊集合引入模糊Petri網(wǎng)理論，在基于該模型的推理過程中引入庫所重排策略，并利用可激活變遷判斷計(jì)算公式對(duì)推理的每一步進(jìn)行可激活變遷判斷，提出一種新的基于IFPN模型的庫所重排策略的模糊推理算法，有效簡化了模糊推理過程，提高了算法的時(shí)間效率。其算法處理過程如下。

在IFPN模型中，每一步推理過程的模型的有關(guān)數(shù)據(jù)描述：

輸入：輸入矩陣Ii×j、變遷閾值τj、初始標(biāo)識(shí)向量S0：

輸出：輸出矩陣Oi×j、庫所的標(biāo)識(shí)向量S：

步驟1初始化，令K=0，I=(0,1)，此處(0,1)為每個(gè)元素均為直覺模糊數(shù)(0,1)的矩陣。

步驟2判斷重排后的庫所對(duì)應(yīng)的變遷(初始庫所PU對(duì)應(yīng)變遷和中間庫所PQ對(duì)應(yīng)的變遷)能否發(fā)生。判斷變遷是否可激活的計(jì)算公式如下：

如果

(1)

則變遷tj可激活。

判斷有無可激活變遷，若無變遷可激活，則第K步推理結(jié)束，跳過步驟3和步驟4，進(jìn)入步驟5；否則，激活可激活變遷tj，繼續(xù)執(zhí)行步驟3。

步驟3計(jì)算變遷tj激活后各個(gè)庫所的可信度:

合?。?/p>

(2)

析取：

(3)

步驟4更新所有庫所可信度:

SK+1(pn)=SK(pn)⊕SK+1(pn)

(4)

步驟5判斷推理過程是否還有第K+1步，若是，則令K=K+1，返回步驟2；否則推理結(jié)束。

上述算法在采用庫所重排策略的過程中，步驟2對(duì)第K步系統(tǒng)中可激活的變遷進(jìn)行有效判斷，每一步只對(duì)可激活變遷進(jìn)行計(jì)算處理，從而避免了對(duì)系統(tǒng)中全部變遷進(jìn)行計(jì)算，簡化了推理過程，節(jié)省了推理時(shí)間。

上述算法的框圖描述如圖4所示。

Figure 4 Flowchart of the proposed reasoning algorithm using IFPN圖4 基于IFPN模型的推理算法框圖描述

4 實(shí)例分析

這里采用文獻(xiàn)[8]中汽車發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷的實(shí)例以驗(yàn)證本文所提出的算法的可行性和有效性，為編程方便，本文將原實(shí)例中庫所p5和p6的位置交換，使編程中的參數(shù)取值能連續(xù)。

關(guān)于汽車發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷的推理規(guī)則如下：

R1：IFV1(0.7)ANDV2(0.2)ANDV3(0.3)THEN(τ1=(0.4，0.55)) V6(CF=(0.8，0.18))

R2：IFV1(0.7)ANDV4(0.3)THEN(τ2=(0.4，0.58)) V7(CF=(0.8，0.15))

R3：IFV5(1.0)THEN(τ3=(0.3，0.66)) V8(CF=(0.9，0.1))

R4：IFV6(0.7)THEN(τ4=(0.3，0.67)) V8(CF=(1.0，0.0))

其中，V1表示蓄電池電壓過低，V2表示點(diǎn)火時(shí)間過晚，V3表示進(jìn)氣系統(tǒng)漏氣，V4表示節(jié)氣門不能關(guān)閉，V5表示發(fā)動(dòng)機(jī)回火，V6表示發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)不良，V7表示發(fā)動(dòng)機(jī)加速不良，V8表示發(fā)動(dòng)機(jī)不能啟動(dòng)。

該組規(guī)則的IFPN推理模型如圖5所示。

Figure 5 IFPN model of the case study圖5 IFPN推理模型

推理過程如下：

首先，令K=0，I=(0，1)，根據(jù)IFPN模糊推理算法輸入輸入矩陣Ii×j，輸出矩陣Oi×j、初始標(biāo)識(shí)S0以及變遷閾值τ：

輸出矩陣Oi×j=

初始標(biāo)識(shí)S0=[(1,0) (0.2,0.78) (0.3,0.69) (0.8,0.18) (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) ]T

變遷閾值τ= [(0.4,0.55) (0.4,0.58) (0.3,0.66) (0.3,0.67)]T

(1)利用式(1)判斷變遷t1、t2可激活，利用式(2)～式(4)計(jì)算得：

S1=[(1,0) (0.2,0.78) (0.3,0.69) (0.8,0.18) (0,1) (0.504,0.478) (0.752,0.2) (0,1)]T

(2)利用式(1)判斷變遷t3可激活，利用式(2)～式(4)計(jì)算得：

S2=[(1,0) (0.2,0.78) (0.3,0.69) (0.8,0.18) (0,1) (0.504,0.478) (0.752,0.2) (0.454,0.53)]T

(3)利用式(1)判斷無變遷可激發(fā)，因此推理結(jié)束，此時(shí)，IFPN輸出的庫所標(biāo)識(shí)向量為：

S2=[(1,0) (0.2,0.78) (0.3,0.69) (0.8,0.18) (0,1) (0.504,0.478) (0.752,0.2) (0.454,0.53)]T

從推理結(jié)果可以看出，隸屬度最大并且非隸屬度最小的庫所的標(biāo)識(shí)為p7=(0.752,0.2)，這個(gè)結(jié)果與表1所示文獻(xiàn)[8]中采用的推理算法計(jì)算的結(jié)果一樣，但其計(jì)算過程明顯簡潔。文獻(xiàn)[8]中步驟3為判斷各個(gè)變遷的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)值是否大于之前的最大狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)值，即每次計(jì)算變遷轉(zhuǎn)移函數(shù)值后，都要重新判斷各個(gè)變遷的狀態(tài)函數(shù)值是否大于之前的狀態(tài)函數(shù)值；而本文提出的算法因采用了庫所重排策略有效地避免對(duì)未激發(fā)變遷的判斷，從而大大節(jié)省了推理時(shí)間，提高了計(jì)算效率。

Table 1 Simulation results of reference[8]

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于直覺模糊Petri網(wǎng)的庫所重排策略及其相關(guān)的模糊推理算法，有效地提高了推理速度和推理效率。從表1可以看出，與文獻(xiàn)[8]的推理算法比較，本文所設(shè)計(jì)的推理算法可得到同樣精確的結(jié)果，本文的推理過程只有五步而文獻(xiàn)[8]有八步，且文獻(xiàn)[8]每次計(jì)算一個(gè)變遷轉(zhuǎn)移函數(shù)值后都要重新考慮所有變遷是否發(fā)生，而本文只需判斷此時(shí)還未產(chǎn)生的變遷是否能被激活，從而有效地簡化了推理過程，節(jié)省了推理時(shí)間，降低了算法的時(shí)間復(fù)雜度。由此可見，本文所提出的基于IFPN模型的推理算法為模糊推理的研究提供了一個(gè)新的途徑，此算法的可行性與正確性已在VisualC++6.0環(huán)境下得到了驗(yàn)證。

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