童根樹，楊 章，張 磊

（浙江大學(xué) 土木工程學(xué)系，浙江 杭州310058）

加勁鋼板已被廣泛應(yīng)用于橋梁、航空器和船舶結(jié)構(gòu)，目前正在推廣應(yīng)用于高層建筑，即加勁鋼板剪力墻.加勁鋼板剪力墻與未加勁的鋼板剪力墻相比，能夠承受一定的豎向荷載，屈曲后的耗能能力更好，符合我國抗震設(shè)計(jì)的習(xí)慣.加勁肋的抗彎剛度對薄鋼板剪力墻的剪切臨界應(yīng)力有很大影響.趙偉等［2］研究了加勁肋抗彎剛度對剪力墻彈性剪切臨界應(yīng)力影響的函數(shù)關(guān)系，并研究了使加勁肋之間的板塊首先發(fā)生剪切屈曲（稱為局部屈曲）的加勁肋最小剛度.

為了獲得較好的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)程建議采用單側(cè)加勁肋.不同于雙側(cè)對稱布置加勁肋的加勁板，單側(cè)加勁板發(fā)生彎曲屈曲變形時(shí)，加勁肋彎曲的中和軸，既不在板件的中面，也不通過加勁肋的形心，位置取決于板件縱向剛度參與加勁肋工作的程度，這種參與程度通常采用板件的有效寬度來表示.即取板件的一部分寬度，與加勁肋一起組成一個(gè)新的截面，這個(gè)新截面（在加勁肋是板條時(shí)即為T 形截面）的抗彎剛度就是能夠?qū)Π寮鸺觿抛饔玫目箘偠?高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)程建議加勁肋兩側(cè)各取15倍板厚參與加勁肋的工作.但是這個(gè)15倍板厚的做法來自于鋼板屈曲后能夠承受鋼材屈服強(qiáng)度的有效寬度，并不是來自于加勁肋的有效剛度的計(jì)算.Schade［5］在上世紀(jì)50年代第1次對前面2種有效寬度做了區(qū)分.

對單側(cè)加勁肋的有效抗彎剛度的研究方式主要分2種，1）通過研究有效寬度確定有效剛度，2）直接研究單側(cè)加勁肋的有效剛度.

Karman［6］最早給出了無限寬度翼緣T 梁的有效寬度表達(dá)式.Schade［5］對布置多根單側(cè)加勁肋的加勁板的有效寬度進(jìn)行研究.Wang等［10-12］用數(shù)值方法和有限元模擬對特定結(jié)構(gòu)的加勁板有效寬度做了研究.Seide［8］提出把單側(cè)加勁肋等效為雙側(cè)加勁肋的等效剛度方法.Bedair等［9］采用能量法結(jié)合數(shù)值計(jì)算程序，研究了多根雙側(cè)和單側(cè)加勁肋的剛度.

當(dāng)前，單側(cè)加勁肋的慣性矩計(jì)算的各種規(guī)范和建議并不一致［4］：美國規(guī)范AASHTO 以加勁肋和母板連接線為軸計(jì)算單側(cè)加勁肋的慣性矩，中科院力學(xué)所板殼組和日本道路橋梁示方書等采用的是單側(cè)加勁肋對母板中面的慣性矩，Bleich則建議單側(cè)加勁肋有效寬度為30倍板厚.

用于屈曲分析的單側(cè)加勁肋有效剛度是一個(gè)復(fù)雜的問題，無法得到一個(gè)能應(yīng)用于不同領(lǐng)域的統(tǒng)一計(jì)算方法.目前，大部分的理論研究方法對象都是開口加勁肋，不考慮加勁肋剪切變形，數(shù)值解和有限元結(jié)果應(yīng)用局限性比較大，而規(guī)范和建議的取值過于粗糙，由于缺乏理論分析，不能判定不同規(guī)范的規(guī)定是否總是偏于安全.本文針對建筑中鋼板剪力墻布置單側(cè)加勁肋的情況，將墻板和加勁肋離散成獨(dú)立個(gè)體，采用力法分析板和加勁肋的變形，通過板肋連接處的變形連續(xù)條件建立屈曲方程.得到單側(cè)加勁肋有效抗彎剛度的解析表達(dá)式，并給出剛度等效原則的有效寬度表達(dá)式，便于設(shè)計(jì)應(yīng)用.

1 單側(cè)加勁剪力墻軸壓彈性屈曲

如圖1所示為不同單側(cè)加勁肋的有效截面，其中ts為加勁肋厚度，t為母板厚度，hs為加勁肋有效高度（板條加勁肋是板條底面到板中面距離，T 形和閉口加勁肋是翼緣中面到板中面距離），bs為加勁肋翼緣寬度，be為加勁板參與加勁肋工作的有效寬度.單側(cè)加勁鋼板剪力屈曲分析簡化模型如圖2（a）所示，長a，寬b，四邊簡支，居中布置單側(cè)加勁肋，加勁肋與板件承受均布壓應(yīng)力σp.可設(shè)加勁板整體彈性屈曲撓度函數(shù)為

式中：w 為墻板平面外撓度，Ym（y）為墻板撓度y軸方向的形函數(shù).m 為加勁板縱向屈曲半波數(shù).

采用如下假定：1）小變形分析；2）墻板滿足薄板理論的假定；3）加勁肋采用Timoshenko梁理論.

如圖2（b）所示，對單側(cè)加勁墻板隔離受力分析，閉口截面加勁板等效分割為槽型加勁肋和墻板.記Fsz為板和肋之間的z軸方向相互作用力，F(xiàn)sx為板和肋之間的x 軸方向相互作用力，板1為墻板的一半.對肋和板1進(jìn)行獨(dú)立分析.

圖1 單側(cè)加勁肋的有效截面Fig.1 Effective section of one-side Stiffeners

圖2 加勁板及其隔離體分析Fig.2 Stiffened Plate and isolated analysis

1.1 加勁肋變形分析

加勁肋等效為簡支梁，如圖3所示.hc為加勁肋形心到被加勁板中面的距離，加勁肋彎曲撓度為

對應(yīng)式（2）的彎曲撓度，F(xiàn)sz和Fsx分布形式為

圖3 加勁肋受力分析Fig.3 Stiffener analysis

式中：Azm、Axm為待定常數(shù).Fsz對形心軸彎矩為

Fsx對形心軸的彎矩和等效形心軸軸力為

均布壓應(yīng)力產(chǎn)生的二階彎矩為

式中：wst為加勁肋的剪切變形，As為加勁肋截面面積.且wst與wsb滿足如下關(guān)系：

式中：Es、Gs為加勁肋材料的彈性模量和剪切模量，ks為有效截面剪切系數(shù)，Is，eff為加勁肋的有效慣性矩.由式（9）得到剪切變形為

由式（5）、（6）、（7）、（8）、（10）、（11）可得加勁肋上邊緣的z軸方向位移和x 軸方向應(yīng)變：

圖4 板1受力分析Fig.4 Plate analysis

1.2 板的平面應(yīng)力分析

記板1 中面正應(yīng)力為σx、σy，中面切應(yīng)力為τxy，則存在滿足平衡方程的應(yīng)力函數(shù)φ，使得

板中面的平面應(yīng)力問題相容方程為

參照屈曲波形的正弦變化規(guī)律，可設(shè)

式中：Φ（y）為應(yīng)力函數(shù)y軸方向的形函數(shù).

將式（18）代入式（17）求解Φ（y）的微分方程，得到

式中：A1、B1、C1、D1為待定系數(shù).中面應(yīng)力

式中：

記板1 中面正應(yīng)變?yōu)棣舩、εy，中面切應(yīng)變?yōu)棣舩y，E 為板彈性模量，μ 為板材料泊松比，則有

記板1中面x 和y 方向面內(nèi)位移為u，v，則

式中：

式中：

1.3 板的彎曲應(yīng)力分析

板1的面外撓度w，滿足平衡方程：

式中：A2，B2，C2，D2為待定系數(shù)，

板加勁處中面的z方向撓度：

1.4 墻板與加勁肋的變形協(xié)調(diào)

板與肋在連接處撓度和x 方向應(yīng)變相同，即

把式（12）、（13）、（36）、（47），代入方程（49）、（50），得到關(guān)于常系數(shù)Azm、Axm的方程組：

式中：

要使得板肋相互作用力Fsz、Fsx有非零解（即發(fā)生屈曲），則方程組的系數(shù)行列式等于零，從而得到屈曲臨界方程：

其中，式（55）可以簡化為

Timoshenko給出了不考慮剪切變形的對稱加勁肋的屈曲臨界方程［5］，以本文符號表示為

若同樣考慮剪切變形則式（57）為

比較式（54）和（58）發(fā)現(xiàn)單側(cè)加勁板和對稱加勁板的屈曲臨界方程非常相似，可以對單側(cè)加勁肋取用有效慣性矩，從而把單側(cè)加勁問題轉(zhuǎn)化為對稱加勁問題，單側(cè)加勁肋有效慣性矩Is，eff表達(dá)式為

其中第2項(xiàng)即為偏心加勁效應(yīng)帶來的附加慣性矩.

2 面外荷載下的抗彎剛度

正弦彎曲波形下的抗彎剛度是其他彎曲變形分析的基礎(chǔ)，故在加勁肋布置處施加z 方向正弦分布的外荷載為

式中：Bm為待定常系數(shù).加勁板的撓度函數(shù)同式（1），同樣對加勁板進(jìn)行隔離體分析，如圖5所示.

圖5 加勁板受彎分析Fig.5 Discrete the open-form stiffened Plates

在面外荷載作用下，加勁肋的受力變形和屈曲分析基本相同，但無軸力及其二階效應(yīng)，肋上邊緣的z軸方向位移和x 軸方向應(yīng)變?yōu)?/p>

板加勁處中面x 軸方向應(yīng)變表達(dá)式同式（36）.

板1的面外撓度w，滿足平衡方程：

式中：A3、B3、C3、D3為待定系數(shù).

式中：

如圖6所示為ξ1、ξ2 和板彎曲半波長寬比關(guān)系.

圖6 、 和加勁板半波長寬比關(guān)系Fig.6 、ξ2change by aspect ratio of plate

板加勁處中面的撓度為

把式（61）、（62）、（36）、（70）代入方程（49）、（50），可以求得面外荷載和加勁肋撓度的關(guān)系：

式中：Bps為正弦彎曲波形下加勁板的抗彎剛度.

從式（72）的組成看，第1項(xiàng)是墻板本身提供的抗彎剛度，第2項(xiàng)即為加勁肋提供的抗彎剛度.和屈曲分析的結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，2種荷載形式下加勁肋的有效慣性矩的表達(dá)式相同，即有效寬度由彎曲變形形狀決定.

3 加勁肋截面剪切系數(shù)

在Timoshenko梁理論中，按截面能量等效原則計(jì)算加權(quán)平均剪切應(yīng)變角.單側(cè)板條加勁肋有效截面為T 形截面，但其中的翼緣板即有效寬度部分墻板的剪切變形已在板件平面彎曲分析中得到考慮，只需計(jì)算腹板部分剪切變形.因此：

式中：Sys為對加勁肋中性軸的截面靜矩，中性軸為加勁肋中應(yīng)力為0的軸，記he為加勁肋中性軸到被加勁板中面距離，則

可推導(dǎo)求得he為

把式（75）代入式（59），簡化為

板條加勁肋的截面剪切系數(shù)為

T 形加勁肋的截面剪切系數(shù)為

式中：χ1 ＝2bs（hs-he）＋（hs-he）2.

閉口加勁肋的截面剪切形狀系數(shù)為

式中：χ2 ＝bs（hs-he）＋（hs-he）2.

如圖7、8、9所示給出了一定尺寸的板條，T 形、閉口加勁肋截面剪刀形狀系數(shù)和加勁助高跨此關(guān)系.

圖7 板條加勁肋截面剪切形狀系數(shù)Fig.7 Shear factor of plate-strip Stiffeners

4 ANSYS結(jié)果分析比對

采用有限元軟件ANSYS進(jìn)行分析比對.模型分別選用板條加勁肋、T 形加勁肋和閉口加勁肋.選用不同的板長寬比、肋跨高比、板和肋厚度比和翼緣寬和腹板高比.母板和加勁肋均采用shell63單元，母板的網(wǎng)格劃分為60×60和80×80為主，網(wǎng)格劃分使計(jì)算結(jié)果差別小于0.1%.加勁板四邊簡支，加勁肋兩端簡支，μs ＝μ＝0.3，Es＝E ＝2×105.

圖8 T形加勁肋截面剪切形狀系數(shù)（λ＝π）Fig.8 Shear factor for T-Stiffeners（λ＝π）

圖9 閉口加勁肋截面剪切形狀系數(shù)（λ＝π）Fig.9 Shear factor for closed-form Stiffeners（λ＝π）

當(dāng)屈曲分析時(shí)，壓應(yīng)力施加在加載邊的節(jié)點(diǎn)上，中間各點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力相同，兩端端點(diǎn)荷載為中間各點(diǎn)的一半.當(dāng)面外荷載分析時(shí)，模型荷載施加在連接線上的節(jié)點(diǎn)上，節(jié)點(diǎn)力大小為正弦分布.

現(xiàn)給出母板寬厚比為100 的加勁板的理論和ANSYS數(shù)值分析結(jié)果對比如下：

4.1 屈曲系數(shù)結(jié)果對比

板條加勁墻板理論和Ansys的屈曲系數(shù)結(jié)果對比如表1 所示，其中，ERR 為相對誤差，ERR＝（理論值-Ansys值）／Ansys值×100%，T形勁墻板理論和Ansys的屈曲系數(shù)結(jié)果對比如表2所示，對單側(cè)閉口加勁肋板，Is，As計(jì)算截面為槽型截面，根據(jù)式（55）計(jì)算有效寬度.得到的結(jié)果如表3所示.

表1 板條單側(cè)加勁板屈曲系數(shù)Tab.1 Buckling factor of plates stiffened by ne-side strip

表2 T形肋單側(cè)加勁板屈曲系數(shù)Tab.2 Buckling factor of plates stiffened by T stiffener

表3 閉口肋單側(cè)加勁板屈曲系數(shù)Tab.3 Buckling factor of plates stiffened by one-side closed form stiffener

4.2 面外荷載下的抗彎剛度結(jié)果比對

板條、T 形和閉口加勁肋鋼板面外荷載下有效抗彎剛度的理論值和Ansys值對比結(jié)果分別為如圖10～12所示，縱坐標(biāo)為加勁肋的有效剛度和自身剛度之比，橫坐標(biāo)為加勁肋跨高比，加勁肋剪切變形隨跨高比變小而變大，從圖10～12可以看出理論值和Ansys值非常接近，兩者相對誤差不隨加勁肋跨高比而變化，說明剪切變形得到了正確計(jì)算.閉口截面加勁助Is、As計(jì)算截面為槽型截面，從圖12可以看出，式（59）的有效慣性矩表達(dá)式能很好地應(yīng)用于閉口截面.

5 結(jié) 論

本文對被加勁鋼板發(fā)生屈曲時(shí)，單側(cè)加勁肋參與抵抗屈曲的有效抗彎剛度進(jìn)行研究.加勁肋可以是板條、T 形截面和閉口截面加勁肋，墻板是有限寬度的.得到的結(jié)論如下：

圖10 板條加勁肋結(jié)果比對Fig.10 comparison of plate-strip Stiffeners

圖11 T形加勁肋結(jié)果比對Fig.11 Comparison of T-Stiffener

圖12 閉口加勁肋結(jié)果比對Fig.12 comparison for closed-form Stiffeners

（1）獲得了單側(cè)加勁板有效寬度的解析式.結(jié)果表明，有效寬度與板屈曲半波長和寬度的比值有關(guān).考慮到墻板屈曲半波長又與加勁肋的有效剛度有關(guān)，加勁肋的有效剛度在研究加勁板屈曲的過程中才能加以確定.

（2）計(jì)算加勁肋等效慣性矩的中性軸位置介于板中面和肋形心軸之間.以板中面為中性軸來計(jì)算加勁肋的有效剛度，會使得慣性矩偏大.

（3）當(dāng)加勁肋高跨比較大時(shí)，剪切變形影響不可忽略.Sapountzakis和沈嘉嘉［3］通過數(shù)值方法和有限元軟件分析發(fā)現(xiàn)有效寬度受加勁肋高度和母板厚度影響，原因就在于剪切變形.這也是目前各國規(guī)范和建議都沒有考慮的因素.

（4）計(jì)算加勁肋剪切變形的有效截面不包括有效寬度的板件，同時(shí)要根據(jù)真實(shí)的中性軸位置計(jì)算截面剪切系數(shù).

（5）與有限元分析結(jié)果的比較表明，本文對3種截面形狀的加勁肋得到的有效剛度公式均具有很好的精度.

（

）：

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