柳景青，郭東進(jìn)，葉 萍

（1.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院市政工程研究所 浙江 杭州310058；2.嘉源給排水有限公司 浙江 嘉興314000）

城市給水管網(wǎng)由水廠、泵站、節(jié)點(diǎn)、閘閥、監(jiān)測(cè)設(shè)備等組成，是一個(gè)十分復(fù)雜的系統(tǒng).給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)指的是給水管網(wǎng)中，主干管、干管、支管之間，相互交叉連接的節(jié)點(diǎn)，目前給水管網(wǎng)模型一般考慮管徑200 mm 以上的管道，管徑200 mm 以下管道由于流量較小，一般不考慮.一個(gè)中等城市，管徑在200 mm以上的管網(wǎng)系統(tǒng)可能有上千個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此，從計(jì)算分析的角度，需要以聚類為基礎(chǔ)的簡(jiǎn)化.數(shù)量之外，城市給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)同時(shí)又是一個(gè)復(fù)雜的關(guān)聯(lián)體系，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間既相對(duì)獨(dú)立又相互影響.因此，它們不是簡(jiǎn)單空間位置、空間距離劃分的聚類，需要綜合考慮節(jié)點(diǎn)屬性功能的響應(yīng)及重要性，問(wèn)題復(fù)雜.

在K 均值聚類法之前，處理類似的給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)空間聚類問(wèn)題，常用系統(tǒng)聚類法.王旭冕等［1］利用三步分析法篩選水質(zhì)指標(biāo)，利用系統(tǒng)聚類方法，對(duì)管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行聚類，實(shí)現(xiàn)水質(zhì)分區(qū).李雅潔等［2］采用系統(tǒng)聚類中的類平均法對(duì)給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)聚類，并利用離均差從各類中篩選出代表點(diǎn).程廣河等［3］計(jì)算了管網(wǎng)壓力敏感矩陣，利用系統(tǒng)聚類的方法，建立城市給水管網(wǎng)水量漏失點(diǎn)定位模型.Lina 等［4］利用深度優(yōu)先搜索算法（DFS）和寬度優(yōu)先搜索算法（BFS）搜索的方法進(jìn)行給水管網(wǎng)聚類，實(shí)現(xiàn)給水管網(wǎng)簡(jiǎn)化.上述給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)聚類的研究是基于簡(jiǎn)單的管網(wǎng)中試模型，以管網(wǎng)模型的節(jié)點(diǎn)壓力敏感矩陣作為聚類的指標(biāo).在實(shí)際給水管網(wǎng)中，由于管網(wǎng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，壓力受到多種原因影響，無(wú)法得到可靠的節(jié)點(diǎn)壓力敏感矩陣［5］.賈新強(qiáng)等［6-7］的研究證明，給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)相似性除受到壓力變化規(guī)律影響外，還受到地理位置的影響.因此，在選擇節(jié)點(diǎn)聚類方法時(shí)，應(yīng)能同時(shí)考慮空間的相近性和非空間屬性的相似性.

相比于系統(tǒng)聚類，K 均值空間聚類因?yàn)槟軌蛲瑫r(shí)反映地理位置與壓力的相似性，更適合用于實(shí)際給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的聚類分析.戴一明等［8］在管網(wǎng)水壓監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置研究中對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了K 均值空間聚類嘗試，選取離聚類中心最近的點(diǎn)作為水壓監(jiān)測(cè)點(diǎn).在實(shí)際應(yīng)用研究過(guò)程中，研究者發(fā)現(xiàn)普通K均值空間聚類方法結(jié)果往往很大程度上依賴于初始聚類中心的選取和屬性權(quán)重的選取，存在類內(nèi)誤差過(guò)大和聚類結(jié)果不穩(wěn)定等諸多問(wèn)題［9］，本文引入信息熵和改進(jìn)遺傳算法，試圖克服以上K 均值空間聚類方法的不足.

1 改進(jìn)的K 均值空間聚類算法

1.1 管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)K 均值空間聚類算法

在K 均值聚類分析中，表示兩點(diǎn)之間的差距一般采用歐氏距離，距離越近，相似度越大.普通K 均值聚類分析一般有一個(gè)屬性，或者有幾個(gè)屬性但類型、量綱相同，因此在計(jì)算聚類簇內(nèi)距離的時(shí)候無(wú)需設(shè)置權(quán)重，簡(jiǎn)單疊加即可.

對(duì)于同時(shí)包含空間屬性和非空間屬性的給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的類問(wèn)題，2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的“距離”需要能夠同時(shí)反映出空間距離和壓力變化規(guī)律的相似性，因此需要設(shè)置屬性權(quán)重，建立新的節(jié)點(diǎn)距離計(jì)算公式.本文在李新運(yùn)等［10］提出的坐標(biāo)與屬性一體化的空間聚類方法的基礎(chǔ)上，考慮非空間屬性中實(shí)際節(jié)點(diǎn)壓力與模擬節(jié)點(diǎn)壓力在誤差精度上的差異（一般相差5倍以上），引入節(jié)點(diǎn)置信系數(shù)，定義了給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)距離.

假設(shè)給水管網(wǎng)中存在i，j2個(gè)節(jié)點(diǎn)：

式中：Dij為兩節(jié)點(diǎn)之間的距離；x、y 為節(jié)點(diǎn)平面坐標(biāo)，坐標(biāo)值由自來(lái)水公司提供；wx、wy為平面坐標(biāo)權(quán)重，權(quán)重值由信息熵方法計(jì)算求得；a 為非空間屬性值，本文選擇壓力均值和峰度系數(shù)表示非空間屬性；wk為第k 個(gè)非空間屬性權(quán)重，權(quán)重值由信息熵方法計(jì)算求得；?為節(jié)點(diǎn)的置信系數(shù)，置信系數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取值.實(shí)際監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)壓力值誤差在2%以內(nèi)，而水力模擬節(jié)點(diǎn)的壓力值誤差在10%以內(nèi).因此，本文設(shè)置當(dāng)節(jié)點(diǎn)為實(shí)際監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，?＝1當(dāng)節(jié)點(diǎn)為水力模擬節(jié)點(diǎn)時(shí)?＝0.5.

K 均值空間聚類過(guò)程為：首先隨機(jī)選擇聚類中心，計(jì)算得到點(diǎn)與聚類中心的之間的聚類距離后，逐個(gè)將需分類的樣本按最近距離分配給某一個(gè)聚類中心Ci，所有樣本分成k 個(gè)聚類簇，每一個(gè)聚類簇中至少有一個(gè)以上的樣本.重新計(jì)算各個(gè)聚類簇的聚類中心，以各聚類域中所包含樣本的均值向量作為新的聚類中心.直到每個(gè)聚類簇不再發(fā)生變化.

1.2 基于自適應(yīng)遺傳算法的初始聚類中心尋優(yōu)模型

K 均值聚類方法的初始聚類中心對(duì)于聚類結(jié)果有很大影響，普通K 均值聚類的初始聚類中心是隨機(jī)生成的，因此聚類結(jié)果隨機(jī)性很強(qiáng).對(duì)于給水管網(wǎng)而言，節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多，因此需要選擇合適的優(yōu)化方法來(lái)確定最優(yōu)的初始聚類中心.

遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)是全局搜索能力強(qiáng)，計(jì)算時(shí)間少，魯棒性高.武兆慧等［11］將遺傳算法引入K 均值聚類，尋找最優(yōu)初始聚類中心，證明遺傳算法能夠較好的實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)功能.本文利用自適應(yīng)遺傳算子和精英保留策略的遺傳算法優(yōu)化一體化K 均值聚類，同時(shí)將其與采用經(jīng)典遺傳算法、模擬退火遺傳算法優(yōu)化的K 均值空間聚類結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

將遺傳算法應(yīng)用于K 均值空間聚類優(yōu)化，需要根據(jù)聚類結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)，構(gòu)造合適的目標(biāo)函數(shù).本文選擇聚類簇類內(nèi)距離之和作為目標(biāo)函數(shù)值.

式中：k為聚類簇個(gè)數(shù)，n為類內(nèi)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，Dij為第i類第j 個(gè)個(gè)體與聚類中心的距離.

為了保證每個(gè)聚類簇中節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)處于相同水平，需要在目標(biāo)函數(shù)中增加懲罰項(xiàng).新構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)為

式中：r為懲罰因子；σn為聚類簇個(gè)數(shù)均方差.

K 均值聚類需要設(shè)置聚類簇個(gè)數(shù)，至少為1；同時(shí)，任一聚類簇中至少有1個(gè)個(gè)體，所以，目標(biāo)函數(shù)約束條件為

為了區(qū)分每個(gè)初始聚類中心的優(yōu)劣程度，需要在目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算得到每一個(gè)聚類中心的適應(yīng)度函數(shù)值，以此作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).本文采用目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)：

式中：F 為構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)常數(shù)，本文根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，取100；Dis為目標(biāo)函數(shù)值，即所有聚類簇內(nèi)距離之和.

1.3 權(quán)重確定的信息熵算法

K 均值空間聚類屬于加權(quán)聚類.加權(quán)聚類的關(guān)鍵是權(quán)重的確定.目前常用的權(quán)重確定方法是經(jīng)驗(yàn)法或?qū)＜以u(píng)分法［12］.2種方法的主觀性很強(qiáng)，不能準(zhǔn)確反應(yīng)屬性之間的真實(shí)權(quán)重.并且給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量多，采用經(jīng)驗(yàn)法或?qū)＜以u(píng)分法操作復(fù)雜，在實(shí)際管網(wǎng)分析中難以實(shí)施.

自1948年shannon等［13］提出信息理論以來(lái)，信息熵理論得到了得到了廣泛應(yīng)用，是確定權(quán)重的重要手段之一［14-16］.信息熵法是基于客觀數(shù)據(jù)的確定權(quán)重方法.

本文利用信息熵原理，確定給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)空間與非空間屬性權(quán)重，以克服權(quán)重確定主觀性強(qiáng)、操作性差的缺陷，信息熵方法計(jì)算權(quán)重的過(guò)程為

計(jì)算歸一化屬性矩陣：

式中：aij為第i個(gè)屬性第j 個(gè)對(duì)象的屬性值；a′ij為歸一化后屬性值.

計(jì)算第i個(gè)屬性的信息熵：

式中：Ej為第j個(gè)屬性信息熵值；g為聚類對(duì)象個(gè)數(shù).定義屬性j對(duì)于方案的區(qū)分度：

式中：Fj為屬性j 的區(qū)分度.

式中：wj為屬性j 的權(quán)重.

1.4 管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)空間聚類的改進(jìn)算法步驟

結(jié)合自適應(yīng)-精英保留策略遺傳算法和信息熵的K 均值空間聚類計(jì)算過(guò)程如圖1所示.

圖1 改進(jìn)的K 均值空間聚類模型框架Fig.1 Framework of K-means spatial clustering combined with adaptive-elitist genetic algorithm and entropy model

2 實(shí)例分析

2.1 指標(biāo)選擇

選擇華東某中等城市給水管網(wǎng)作為研究對(duì)象，給水管網(wǎng)給水服務(wù)范圍30km2.其中在線壓力監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)40個(gè)，在線壓力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自于自來(lái)水公司的管網(wǎng)綜合管理系統(tǒng)，可以得到120h的節(jié)點(diǎn)壓力歷史數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采樣間隔為5min，壓力監(jiān)測(cè)設(shè)備采樣精度2%以內(nèi).其他管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的壓力值，通過(guò)自來(lái)水公司已建立的在線管網(wǎng)水力模型模擬得到，誤差精度在10%以內(nèi).在線壓力監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)空間屬性由坐標(biāo)表示，坐標(biāo)由自來(lái)水管公司提供.簡(jiǎn)化后的管網(wǎng)系統(tǒng)圖如圖2所示.

圖2 給水管網(wǎng)模型Fig.2 Water distribution system model

給水管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)壓力值分布在一均值附近，需要利用統(tǒng)計(jì)分析的手段描述壓力的變化規(guī)律.常用的分布統(tǒng)計(jì)指標(biāo)有均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏態(tài)系數(shù)、峰度等.

壓力均值代表每個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力的平均水平，但僅靠均值無(wú)法描述管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的壓力變化規(guī)律，所以還需要選擇其他的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).

峰度是表征概率密度分布曲線在平均值處峰值高低的特征數(shù).在相同的標(biāo)準(zhǔn)差下，峰度越大，其分布就更加陡峭.根據(jù)節(jié)點(diǎn)壓力的變化規(guī)律，2個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏態(tài)系數(shù)有可能很接近，峰度反映節(jié)點(diǎn)壓力頂端尖峭或扁平程度的指標(biāo)，能夠反映征節(jié)點(diǎn)壓力分布的獨(dú)特特征，所以選擇峰度系數(shù)作為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn).

選擇管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的X、Y 坐標(biāo)值，壓力均值pZ與峰度系數(shù)Kc（Kurtosis Coefficient）作為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)屬性；選擇算法消耗時(shí)間te（Elapsed Time）、迭代次數(shù)S、類內(nèi)距離Dc（Class Distance）以及各算法迭代結(jié)果類內(nèi)距離的均值A(chǔ)VG、標(biāo)準(zhǔn)差SD（Means、Standard Deviation of 5Iterations Results）作為聚類結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表1所示為部分節(jié)點(diǎn)屬性.

表1 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與非空間屬性Tab.1 nodes’coordinates and non-spatial attributes

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文設(shè)計(jì)了4種算法，分別為：1）普通K 均值空間聚類（K average spatial clustering）；2）GAK 均值 空 間 聚 類（genetic algorithm k average spatial clustering），經(jīng)典遺傳算法K 均值空間聚類（3）AEGAKK 均 值 空 間 聚 類（adaptive elitist genetic algorithm k average spatial clustering），自適應(yīng)精英保留策略遺傳算法K 均值空間聚類；4）SAGAK 均值空間聚類（simulated annealing genetic algorithm k average spatial clustering），模擬退火遺傳算法K均值空間聚類.

經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，從聚類精度、消耗時(shí)間、迭代次數(shù)3 個(gè)方面對(duì)比分析4 種算法的性能，結(jié)果表明AEGAK 均值空間聚類性能較其他3種方法更優(yōu).

另外，為了證明信息熵確定權(quán)重的可行性，將AEGAK 均值空間聚類方法中，經(jīng)過(guò)信息熵方法計(jì)算得到的權(quán)重替換為平均權(quán)重，并將2種權(quán)重確定方法進(jìn)行對(duì)比.

圖3 AEGAK 均值空間聚類過(guò)程Fig.3 AEGAK-average spatial clustering

表2 4種空間聚類方法性能對(duì)比Tab.2 Contradistinction of four spatial clustering methods'performance

如圖3所示為AEGAK 均值空間聚類計(jì)算過(guò)程.如表2所示為4種聚類算法的結(jié)果，類內(nèi)距離表示所有聚類簇的類內(nèi)距離之和.如表3所示為信息熵方法主觀確定權(quán)重方法計(jì)算得到的屬性權(quán)重值.如圖4、5 所示分別為2 種權(quán)重計(jì)算方法下，AEGAK 均值空間聚類得到的聚類結(jié)果，聚類簇分為8類，數(shù)字1-8表示節(jié)點(diǎn)所屬類別.

表3 2種方法權(quán)重對(duì)比Tab.3 Contradistinction of weights determined by two different methods

圖4 信息熵確定權(quán)重的AEGAK 均值空間聚類結(jié)果Fig.4 Results of AEGAK-means spatial clustering with entropy-defined weights

圖5 平均權(quán)重的AEGAK 均值空間聚類結(jié)果Fig.5 Results of AEGAK-means spatial clustering with average weights

1）比較初始聚類中心優(yōu)化方法.

4種聚類方法的類內(nèi)距離：普通空間K 均值聚類方法類內(nèi)距離均值最大，效果最差，其他3種經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的聚類方法得到的結(jié)果基本保持在同一水平.

4種聚類方法的穩(wěn)定性：AEGAK 均值空間聚類類內(nèi)距離標(biāo)準(zhǔn)差最小為0，相對(duì)其他3種方法最穩(wěn)定.其他3種方法，SAGAK均值空間聚類優(yōu)于GA K 均值空間聚類，普通均值空間聚類穩(wěn)定性最差.

4種聚類方法消耗的時(shí)間：普通空間K 均值聚類方法基本不需要消耗時(shí)間，AEGAK 均值空間聚類消耗時(shí)間比GAK 均值空間聚類少，SAGAK 均值空間聚類消耗時(shí)間最長(zhǎng).

分別分析4個(gè)程序本身的特點(diǎn)，造成以上結(jié)果的原因是：

1）普通空間K 均值聚類結(jié)果受到初始聚類中心的選取影響較大，空間K 均值聚類結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，難以得到最優(yōu)的聚類結(jié)果.相反，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的聚類算法得到了“最優(yōu)”初始聚類中心，因此能夠得到較好的聚類結(jié)果.2）經(jīng)典GA 算法整體搜索性強(qiáng)，但是容易陷入局部最優(yōu)解，因此，在相同的終止條件下，得到的最終結(jié)果隨機(jī)型強(qiáng)，并且可能需要消耗大量的時(shí)間跳出局部最優(yōu)解.3）SAGAK 均值空間聚類中，模擬退火部分雖然能夠保證算法可以跳出局部最優(yōu)解，但是卻增加了計(jì)算的復(fù)雜度.4）AEGAK 均值空間聚類方法在迭代初始，設(shè)置較大的變異概率比，從而能夠保證算法跳出局部最優(yōu)解，同時(shí)采用精英保留策略，可以保證算法的收斂性，并且AEGA 算法沒(méi)有增加計(jì)算量，因而消耗時(shí)間比SAGA 少.

2）比較確定權(quán)重的方法.

從圖4-5可以看出，利用信息熵確定權(quán)重，得到的聚類結(jié)果是位置相近的節(jié)點(diǎn)聚合在一起；而主觀將4個(gè)屬性權(quán)重設(shè)置成相同值的聚類結(jié)果，幾個(gè)聚類簇包含的節(jié)點(diǎn)分布在不同的位置，這是由于非空間屬性權(quán)重過(guò)大造成的.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，空間距離越遠(yuǎn)，節(jié)點(diǎn)之間相互影響越小.在同一個(gè)聚類簇中，2個(gè)距離較遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)僅僅是壓力表現(xiàn)相似，但是造成兩者相似的原因可能相同，也可能不同，因此不能真正作為同一類節(jié)點(diǎn).由此可知，利用信息熵確定權(quán)重的方法，要優(yōu)于主權(quán)確定權(quán)重的方法.

3 結(jié) 論

提出利用管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的壓力均值、壓力峰度值2個(gè)指標(biāo)作為給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的屬性，基于管網(wǎng)的空間、非空間屬性，對(duì)管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行聚類，將多種改進(jìn)方法應(yīng)用空間聚類的優(yōu)化，相對(duì)于傳統(tǒng)的空間聚類算法，在指標(biāo)與權(quán)重選取、聚類穩(wěn)定性、聚類精度、等方面都有一定的創(chuàng)新性.

在空間K 均值方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了以下的工作：（1）利用改進(jìn)的遺傳算法，對(duì)一體化空間K 均值聚類方法進(jìn)行改進(jìn)，得到優(yōu)化的初始聚類中心；（2）引入信息熵的方法，得到屬性之間的權(quán)重；比較了普通GAK 均值空間聚類、AEGAK 均值空間聚類、SAGAK 均值空間聚類法、普通一體化K 均值空間聚類4種聚類方法，認(rèn)為其中AEGAK 均值空間聚類花費(fèi)較少的時(shí)間，可以得到最好的聚類結(jié)果；（3）比較了信息熵確定權(quán)重與主觀確定權(quán)重的方法對(duì)于AEGAK 均值空間聚類的影響，認(rèn)為信息熵確定權(quán)重要優(yōu)于主觀確定權(quán)重的方法.

給水管網(wǎng)空間聚類應(yīng)用廣泛：在進(jìn)行管網(wǎng)建模時(shí)，需要根據(jù)管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)空間聚類進(jìn)行簡(jiǎn)化；開(kāi)發(fā)給水管網(wǎng)調(diào)度決策系統(tǒng)時(shí)，需對(duì)給水管網(wǎng)數(shù)百個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力變化及相互間關(guān)系進(jìn)行分析；在管網(wǎng)診斷分析時(shí)，需要將管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)聚為一類，進(jìn)行信息的融合，提高判斷結(jié)果的可靠性等.

空間聚類是空間數(shù)據(jù)挖掘和知識(shí)發(fā)現(xiàn)的主要途徑之一，目前空間聚類方法種類繁多，對(duì)于不同問(wèn)題需要通過(guò)比較選擇合適的優(yōu)化與聚類方法.

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）：

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