基于Laplace先驗(yàn)的Bayes壓縮感知波達(dá)方向估計(jì)

王 軍閆鋒剛馬文潔喬曉林

①(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

②(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院 威海 264209)

基于Laplace先驗(yàn)的Bayes壓縮感知波達(dá)方向估計(jì)

王 軍①②閆鋒剛*②馬文潔②喬曉林①②

①(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

②(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院 威海 264209)

基于多任務(wù)貝葉斯壓縮感知(BCS)理論，該文提出一種使用Laplace先驗(yàn)的目標(biāo)到達(dá)角(DOA)估計(jì)算法。該算法利用陣元輸出為觀測(cè)值，將DOA估計(jì)轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)aplace先驗(yàn)約束下的BCS求解稀疏信號(hào)問題，使用Laplace先驗(yàn)獲得比傳統(tǒng)BCS更好的稀疏性。該算法不需要信源個(gè)數(shù)的先驗(yàn)信息和進(jìn)行特征值分解，能夠適應(yīng)相干信源場(chǎng)景，仿真結(jié)果表明該算法具有比傳統(tǒng)BCS方法和經(jīng)典MUSIC算法更好的DOA估計(jì)性能。

目標(biāo)到達(dá)角估計(jì)；多任務(wù)；Bayes壓縮感知；Laplace先驗(yàn)

1 引言

信號(hào)的波達(dá)角(Direction-Of-Arrival, DOA)估計(jì)在雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。一般地，DOA估計(jì)問題具有空域信號(hào)稀疏特征，滿足壓縮感知理論(Compressive Sensing, CS)[1,2]的應(yīng)用條件，基于CS的DOA估計(jì)得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注和研究。

利用CS理論，文獻(xiàn)[3,4]基于單測(cè)量向量模型、文獻(xiàn)[5,6]基于多測(cè)量向量模型實(shí)現(xiàn)了DOA估計(jì)，仿真表明基于CS的DOA估計(jì)具有比多重信號(hào)分類(MUltiple SIgnals Classification, MUSIC)等經(jīng)典算法更好的性能，特別是在低信噪比和相干信源場(chǎng)景時(shí)性能改善更明顯。文獻(xiàn)[7]基于CS理論利用兩個(gè)正交子陣的互相關(guān)信息獲得比互相關(guān)矩陣-旋轉(zhuǎn)不變子空間信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法(Cross Correlation Matrix-Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, CCM-ESPRIT)更好的估計(jì)性能；文獻(xiàn)[8]對(duì)空間相關(guān)信源建立塊-稀疏信號(hào)模型，同時(shí)獲得了中心DOA和相關(guān)信源角度跨度。文獻(xiàn)[9]在目標(biāo)的距離-多普勒單元進(jìn)行CS稀疏重構(gòu)，獲得目標(biāo)的超分辨DOA估計(jì)；文獻(xiàn)[10]利用壓縮感知-MUSIC算法(CS-MUSIC)在快拍數(shù)少于信源數(shù)和相干信源場(chǎng)景下獲得高分辨DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[11]基于CS理論解決了分布式天線陣列引起的角度模糊問題；文獻(xiàn)[12]的波束形成算法在低快拍下可有效抑制相干、非相干干擾。

貝葉斯壓縮感知(Bayes CS, BCS)[13]將CS中信號(hào)重構(gòu)轉(zhuǎn)化為求解稀疏先驗(yàn)約束下的信號(hào)后驗(yàn)概率問題，具有比傳統(tǒng)CS更好的性能。文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]針對(duì)單任務(wù)和多任務(wù)觀測(cè)模型，提出基于Laplace先驗(yàn)的BCS重構(gòu)理論，獲得比傳統(tǒng)BCS[13]更好的重構(gòu)性能。文獻(xiàn)[16]提出基于BCS的DOA估計(jì)，仿真表明其性能優(yōu)于ESPRIT算法和求根MUSIC算法。本文根據(jù)多快拍DOA估計(jì)中觀測(cè)矩陣不變特征，基于文獻(xiàn)[14]，給出一種觀測(cè)矩陣不變時(shí)基于Laplace先驗(yàn)的多任務(wù)CS重構(gòu)方法(Multi-Task CS using LAplace prior, MTCS-LAP)，對(duì)文獻(xiàn)[15]中方法進(jìn)行改進(jìn)并消除了文獻(xiàn)[15]中的迭代近似誤差；然后將MTCS-LAP應(yīng)用到DOA估計(jì)中，獲得了比基于BCS的DOA估計(jì)方法和經(jīng)典MUSIC算法更優(yōu)的性能。

2 MTCS-LAP算法

2.1 MTCS-LAP分層模型

式中ωi∈?N,i=1,2,…,W 代表W個(gè)共享支撐集但取值不同的稀疏信號(hào)；Φ∈?M×N為多任務(wù)中共享的觀測(cè)矩陣；ni∈?M,i=1,2,…,W 代表觀測(cè)噪聲。設(shè){ωi}具有高斯先驗(yàn)[14]：

設(shè)多任務(wù)觀測(cè)模型為其中ωi,j,i=1,2,…,W;j=1,2,…,N 代表ωi的第j個(gè)元素。在式(2)中，不同ωi中第j個(gè)相同位置元素ωi,j的概率密度受同一個(gè)參數(shù)γj控制，這種共享參數(shù)設(shè)置為多任務(wù)中不同的稀疏信號(hào){ωi}建立關(guān)聯(lián)。式(2)中γj=為ωi,j,j=1,2,…,N的方差，稱γ=[γ1, γ2,…,γN]T為超參數(shù)，且服從Gamma分布：

其中Gamma(γj|1,λ/2)=λ/2·exp(?λγj/2),λ＞0。根據(jù)式(2)和式(3)可得{ωi}的邊緣概率：

如式(4)所示，{ωi}服從Laplace先驗(yàn)。相對(duì)于BCS[13], ωi服從Laplace分布使其具有更好的稀疏特征。對(duì)λ指定Gamma先驗(yàn)

設(shè)如式(1)觀測(cè)模型中噪聲ni,i=1,2,…,W 服從高斯分布：

式中c,d為控制參數(shù)。由式(1)～式(6)定義的基于Laplace先驗(yàn)的BCS分層模型如圖1所示。

圖1 基于Laplace先驗(yàn)的多任務(wù)BCS分層模型

圖1中Φm·代表Φ的第m行，ti,m和ni,m分別代表ti和ni的第m∈[1,M]個(gè)元素。

根據(jù)式(1)線性模型，由貝葉斯估計(jì)理論可得{ωi}的后驗(yàn)為多變量高斯分布：

式中μi∈?N和Σi∈?N×N分別為ωi的后驗(yàn)均值和后驗(yàn)協(xié)方差：

其中C=(β?1IM+ΦΛ?1ΦT)。關(guān)于β,γ,λ的對(duì)數(shù)似然Lmt(β,γ,λ)=lnp(β,γ,λ,{ti})為

式中l(wèi)n(·)代表取自然對(duì)數(shù)。舍棄Lmt(β,γ,λ)中與γ無(wú)關(guān)的項(xiàng)，可得關(guān)于γ的似然函數(shù)：式中用到了和。令dLmt(γ)/dγj=0，可得γj,j=1,2,…,N 的估計(jì)為

這種在多任務(wù)觀測(cè)下，通過圖1所示分層概率模型為稀疏信號(hào){ωi}施加如式(4)所示Laplace先驗(yàn)約束的BCS重構(gòu)稱為基于Laplace先驗(yàn)的多任務(wù)壓縮感知(MTCS-LAP)。

2.2 MTCS-LAP快速算法

如上節(jié)迭代求解，在每次迭代中都要計(jì)算式(9)所示N維矩陣求逆，計(jì)算復(fù)雜度高。為降低計(jì)算量，可通過快速算法在每次迭代中只更新一個(gè)參數(shù)γj∈γ，不對(duì)γ整體更新?？焖偎惴ㄓ煽漳Ｐ?γ=0)開始，通過迭代不斷向模型中添加γj，等價(jià)于向觀測(cè)模型中不斷添加Φ的基向量?j，這里?j代表Φ的第j列。

式(11)中的矩陣C可重寫為

式中第1項(xiàng)是僅與γk有關(guān)的項(xiàng)，第2項(xiàng)C?k是與γk無(wú)關(guān)的項(xiàng)。將式(17)代入式(11)可得關(guān)于γ的似然函數(shù)：

其中L(γ?k)代表與γk無(wú)關(guān)的項(xiàng)，?(γk)代表僅與γk有關(guān)的項(xiàng)。定義：

sk在多任務(wù)中不變，而qi,k在多任務(wù)中與每個(gè)觀測(cè)ti有關(guān)。式(20)中?(γk)可重寫為

因dLmt(γ)/dγj=d?(γk)/d γj，

在文獻(xiàn)[15]中，利用近似式sk?，將分母做了近似處理(γ+sk)2≈。在式(24)中，因多任務(wù)中共享觀測(cè)矩陣Φ所以分母1+γksk中的sk與觀測(cè){ti}無(wú)關(guān)，式(24)不需近似，經(jīng)過通分變?yōu)?/p>

令d?(γk)/dγk=0并根據(jù)γk≥0的性質(zhì)，可得γk為

表1 MTCS-LAP快速算法步驟

3 基于MTCS-LAP的DOA估計(jì)

如圖2均勻線陣，設(shè)xm=(m?1)d,m=1,2,…, M'為陣元位置，其中d=λ/2,λ為入射信號(hào)波長(zhǎng)。對(duì)入射角為θ的遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，導(dǎo)向矢量為a(θ)=2πsinθ/λ。將入射空間劃分為N'個(gè)離散角度Θ= {θn,n=1,2,…,N'}，設(shè)在Θ上的入射信號(hào)為si= [si(1),si(2),…,si(N')]T,i=1,2,…,W ，其中W為快拍數(shù)。陣列關(guān)于{si}的輸出為

在DOA估計(jì)中，在包含多個(gè)快拍的觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)可假設(shè)信源空間位置不變，多個(gè)快拍的陣列輸出可認(rèn)為是對(duì)空間信源的多任務(wù)觀測(cè)，可通過MTCS-LAP算法實(shí)現(xiàn)對(duì)信源的DOA估計(jì)。

圖2 均勻線陣空間示意圖

式(28)中yi∈?M′和εi∈?M′,i=1,2,…,W分別為陣列輸出和觀測(cè)噪聲；A∈?M′×N′為陣列流形。設(shè)Θ中僅存在K'?N'個(gè)入射信號(hào)，即si0=K'，稱{si}Wi=1為稀疏目標(biāo)場(chǎng)景，·0代表?0-范數(shù)。為使用BCS[13]理論，將觀測(cè)式(28)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式：

其中ti=[Re{yi},Im{yi}]T為M=2M'維實(shí)數(shù)觀測(cè)；ni=[Re{εi},Im{εi}]T,ωi=[Re{si},Im{si}]T分別為N=2N'維實(shí)數(shù)噪聲和信號(hào)，其中實(shí)信號(hào)ωi的稀疏度為K=2K'。矩陣Φ∈?M×N是實(shí)數(shù)陣列流形：其中Re{·},Im{·}為取實(shí)部、取虛部。如式(30)所示，{ωi}代表W個(gè)快拍中的稀疏目標(biāo)場(chǎng)景，根據(jù)入射信源空間位置不變假設(shè)可知{ωi}是共支撐集的稀疏信號(hào)，滿足MTCS-LAP算法條件。設(shè)經(jīng)過MTCSLAP快速算法得到后驗(yàn)均值估計(jì)=μi,i=1, 2,…,W，則復(fù)觀測(cè)模型式(28)中{si}的估計(jì)為

4 仿真分析

本節(jié)通過仿真分析基于MTCS-LAP的DOA估計(jì)性能，將經(jīng)典MUSIC算法和基于BCS的DOA估計(jì)算法[16]作為比較基準(zhǔn)。在仿真中，設(shè)信源角度空間Θ={?90°,?89°,…,89°},N'=180。定義陣元數(shù)M'、快拍數(shù)W、信源數(shù)K'和信源信噪比SNR取固定值時(shí)為一個(gè)仿真設(shè)置St={M',W,K',SNR}，對(duì)于一個(gè)St進(jìn)行Q=500次仿真評(píng)估此St下MTCSLAP的DOA估計(jì)性能。在每次獨(dú)立仿真中，在Θ上隨機(jī)取K'個(gè)目標(biāo)，令K'個(gè)目標(biāo)SNR取相同值。一個(gè)St下信源角度估計(jì)的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)為

4.1 單快拍DOA估計(jì)

實(shí)驗(yàn)1 單快拍觀測(cè)時(shí)，MTCS-LAP在不同信噪比下的DOA估計(jì)性能。單快拍是MTCS-LAP取任務(wù)數(shù)W=1的情形。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：M'=10,W=1, K'=2。保持M',W,K'不變，MTCS-LAP隨SNR變化的性能如圖3所示：隨信噪比增加，MTCS-LAP算法的RMSE變??；相同信噪比下MTCS-LAP的RMSE比傳統(tǒng)BCS算法小；MTCS-LAP可實(shí)現(xiàn)單快拍的DOA估計(jì)。

實(shí)驗(yàn)2 單快拍觀測(cè)時(shí)，MTCS-LAP在不同陣元數(shù)下的DOA估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：陣元數(shù)M'∈[4,20]，快拍數(shù)W=1，信源數(shù)K'=2, SNR=6 dB。保持W,K',SNR 不變，MTCS-LAP隨陣元數(shù)變化時(shí)的性能如圖4：隨陣元數(shù)增加，MTCS-LAP算法的RMSE變?。幌嗤囋獢?shù)時(shí)，MTCS-LAP算法的RMSE比BCS算法小。綜合實(shí)驗(yàn)1，實(shí)驗(yàn)2結(jié)果，單快拍觀測(cè)時(shí)，MTCS-LAP算法的DOA估計(jì)性能優(yōu)于BCS算法。

4.2 多快拍DOA估計(jì)

實(shí)驗(yàn)3 多快拍時(shí)，MTCS-LAP在不同信噪比下的DOA估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W=50，信源數(shù)K'=2。保持M',W,K'不變，MTCS-LAP隨SNR變化時(shí)的估計(jì)性能如圖5所示。多快拍時(shí)，隨信噪比增加MTCS-LAP算法的RMSE減小；相同信噪比下，3種算法的RMSE大小順序?yàn)椋篗TCS-LAP＜BCS＜MUSIC, MTCS-LAP算法具有比BCS和MUSIC算法更小的角度估計(jì)誤差。

實(shí)驗(yàn)4 多快拍時(shí)，MTCS-LAP隨陣元數(shù)變化時(shí)的DOA估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：陣元數(shù)M'∈[4,20]，快拍數(shù)W=50，信源數(shù)K'=2, SNR=6 dB。保持W,K',SNR 不變，MTCS-LAP隨陣元數(shù)變化的性能如圖6：隨陣元數(shù)M'的增加，MTCS-LAP算法的RMSE減?。魂囋獢?shù)相同時(shí)，3種算法RMSE大小順序?yàn)镸TCS-LAP＜BCS＜MUSIC。

實(shí)驗(yàn)5 多快拍時(shí)，MTCS-LAP隨快拍數(shù)變化時(shí)的DOA估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W∈[20,180]，信源數(shù)K'=2，信噪比SNR= 6 dB。保持M',K',SNR不變，MTCS-LAP隨快拍數(shù)變化時(shí)的性能如圖7：隨著快拍數(shù)增加，MTCSLAP的RMSE減?。豢炫臄?shù)相同時(shí)，3種算法的RMSE大小順序?yàn)镸TCS-LAP＜BCS＜MUSIC。

實(shí)驗(yàn)6 多快拍時(shí)，MTCS-LAP在不同信源DOA時(shí)的估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W=50，信源數(shù)K'=1, SNR=6 dB。保持M',W,K',SNR參數(shù)不變，仿真得到MTCS-LAP在信源角度區(qū)間θ∈[0°,85°]的估計(jì)性能如圖8所示：隨信源DOA變大，MTCS-LAP的估計(jì)性能下降；隨信源DOA的變大，MTCS-LAP的RMSE增加速率變快；在相同DOA下，MTCS-LAP的性能優(yōu)于MUSIC和BCS。

4.3 相干信源場(chǎng)景

實(shí)驗(yàn)7 兩個(gè)相干信源場(chǎng)景下，MTCS-LAP算法的估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W=50；設(shè)Θ上存在K'=2個(gè)相干信源。保持M',W,K'不變，MTCS-LAP隨信噪比變化時(shí)的性能如圖9所示。

從圖9可以看出：在相干信源場(chǎng)景下，隨SNR增加MTCS-LAP的RMSE降低；相同信噪比下各算法RMSE大小順序?yàn)镸TCS-LAP＜BCS, MTCSLAP算法優(yōu)于BCS算法；CS理論框架下的MTCSLAP和BCS可以對(duì)相干信源場(chǎng)景實(shí)現(xiàn)有效的DOA估計(jì)。

圖3 單快拍MTCS-LAP算法性能(不同信噪比)

圖4 單快拍MTCS-LAP算法性能 (不同陣元數(shù))

圖5 多快拍MTCS-LAP算法 DOA估計(jì)性能(不同信噪比)

圖8 MTCS-LAP在不同 DOA時(shí)的估計(jì)性能

圖6 多快拍MTCS-LAP算法DOA估計(jì)性能(不同陣元數(shù))

圖7 多快拍MTCS-LAP算法 DOA估計(jì)性能(不同快拍數(shù))

圖9 MTCS-LAP在相干信源場(chǎng)景下的性能

圖10 MTCS-LAP對(duì)相干信源的一次重構(gòu)結(jié)果

如圖10是在一次仿真中MTCS-LAP對(duì)兩個(gè)相干信源進(jìn)行DOA估計(jì)的結(jié)果。兩個(gè)信源角度分別為4°和57°，信噪比同為SNR=6 dB。由圖10可知：對(duì)于相干信源場(chǎng)景，MUSIC算法難以得到目標(biāo)真實(shí)DOA；而CS理論框架下的的BCS和MTCS-LAP能有效估計(jì)出信源真實(shí)角度。

通過上述實(shí)驗(yàn)可知，基于Laplace先驗(yàn)的MTCS-LAP在DOA估計(jì)中性能優(yōu)于BCS，明顯優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法；MTCS-LAP能夠?qū)崿F(xiàn)單快拍DOA估計(jì)，克服經(jīng)典子空間方法對(duì)快拍數(shù)的要求；在相干信源場(chǎng)景下MTCS-LAP能有效實(shí)現(xiàn)信源DOA估計(jì)，估計(jì)性能比BCS好，克服了經(jīng)典MUSIC算法對(duì)相干信源場(chǎng)景的DOA估計(jì)失效問題；MTCS-LAP進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)不需要信源數(shù)先驗(yàn)信息，提高了算法的適應(yīng)性。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于BCS理論，本文首先給出了基于Laplace先驗(yàn)的多任務(wù)BCS重構(gòu)算法MTCS-LAP，得到了比BCS更稀疏的重構(gòu)性能；然后提出一種利用MTCS-LAP的DOA估計(jì)算法。仿真實(shí)驗(yàn)表明：MTCS-LAP可根據(jù)單個(gè)快拍觀測(cè)進(jìn)行DOA估計(jì)，估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)BCS方法，解決了經(jīng)典MUSIC算法不能根據(jù)單個(gè)快拍進(jìn)行DOA估計(jì)的難題；多快拍觀測(cè)時(shí)MTCS-LAP的DOA估計(jì)性能優(yōu)于BCS算法，明顯優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法，且不需信源個(gè)數(shù)的先驗(yàn)信息；MTCS-LAP能在相干信源場(chǎng)景下實(shí)現(xiàn)有效的DOA估計(jì)，解決了經(jīng)典MUSIC算法不能適應(yīng)相干信源場(chǎng)景的問題。

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王 軍： 男，1976年生，博士生，講師，研究方向?yàn)閴嚎s感知雷達(dá)信號(hào)處理、雷達(dá)對(duì)抗理論.

閆鋒剛： 男，1982年生，博士，講師，研究方向?yàn)槔走_(dá)對(duì)抗、陣列信號(hào)處理.

馬文潔： 女，1988年生，碩士生，研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理.

喬曉林： 男，1948年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾麦w制雷達(dá)技術(shù)、極化信號(hào)處理.

Direction-of-arrival Estimation Using Laplace Prior Based on Bayes Compressive Sensing

Wang Jun①②Yan Feng-gang②Ma Wen-jie②Qiao Xiao-lin①②

①(School of Electronics and Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

②(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

Based on the multi-task Bayes Compressive Sensing (BCS), a Direction-Of-Arrival (DOA) estimation strategy using Laplace prior is proposed. The DOA estimation is formulated as the reconstruction of sparse signal constrained by the Laplace prior through the BCS framework. The outputs of array sensors are directly employed as the observations, and the exploiting of Laplace prior leads to better spare property than the conventional BCS method. The proposed method needs not the prior information of the number of sources, needs not the eigenvalue decomposition and can work in the coherent signal scenario. The numerical experiments show that the proposed method has the better performance than the conventional BCS and MUSIC algorithm on the DOA estimation.

Directions-Of-Arrival (DOA) estimation; Multi-task; Bayes Compressive Sensing (BCS); Laplace prior

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)04-0817-07

10.11999/JEIT140937

2014-07-15收到，2014-12-05改回

山東省自然科學(xué)基金(ZR2014FQ003)和國(guó)家自然科學(xué)基金(61371181)資助課題

*通信作者：閆鋒剛 yfglion@163.com