高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題：概念與編制

1 高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的概念

為了有利于選拔創(chuàng)新型優(yōu)秀人才，數(shù)學(xué)高考確定以能力立意的命題思想，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)能力的考查，全面檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時(shí)，高考數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容、形式等都發(fā)生了明顯的變化，出現(xiàn)了很多背景新穎、內(nèi)容豐富、形式多樣、測(cè)評(píng)理想的創(chuàng)新題，突出對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的考查.隨著課程改革的深入和高考考試改革的需要，創(chuàng)新題會(huì)成為一種趨勢(shì)和導(dǎo)向.

高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題是指根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求，依托一定數(shù)學(xué)命題原理和技術(shù)，旨在培養(yǎng)或診斷考生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，在題目背景、題目形式、題目內(nèi)容、解題方法等方面具有一定的新穎性與獨(dú)特性的數(shù)學(xué)題[1].

我們認(rèn)為，高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的一種形式. 除具備一般數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)外，數(shù)學(xué)創(chuàng)新題還有一些其他比較突出的特點(diǎn)，如立意的鮮明性、背景的新穎性、形式的靈活性、內(nèi)容的綜合性、方法的多樣性[1]. 另外，它還具有鮮明的導(dǎo)向功能、測(cè)評(píng)功能和診斷功能.

為了更好地實(shí)施課程改革，數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極地探索和研究數(shù)學(xué)教學(xué)，從而更好地完成教育教學(xué)任務(wù)和提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素質(zhì).在教學(xué)中，教師可以編制、使用數(shù)學(xué)創(chuàng)新題，提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí).

2 高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的編制原則

命題是數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)重要的、經(jīng)常性的工作.為了數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，教師可以編制、使用一些數(shù)學(xué)創(chuàng)新題，掌握和提高教學(xué)效果.數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的命制，要在立足考查數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的基礎(chǔ)上，突出其創(chuàng)新性、新穎性，在實(shí)際的編制過程中要遵循以下的原則.

2.1 符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了思想豐富、內(nèi)容充實(shí)的課程基本理念，其中明確指出“注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”、“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”、“建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系”，這些為我們數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的編制指明了方向.因此，在命題中堅(jiān)持課程標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù)地位，體現(xiàn)課標(biāo)理念，遵循課標(biāo)要求.

2.2 數(shù)學(xué)命題一般性原則

學(xué)科性原則、科學(xué)性原則、準(zhǔn)確性原則、公平性原則和整體性原則是數(shù)學(xué)題編制的5個(gè)一般性原則.創(chuàng)新題作為一種新型數(shù)學(xué)題，在編制中一定要以此為準(zhǔn)則，在實(shí)踐中尋求突破，從而編制出有價(jià)值、高水平的數(shù)學(xué)題.

2.3 創(chuàng)新性原則

創(chuàng)新性是創(chuàng)新題的重要原則.在編制數(shù)學(xué)創(chuàng)新題時(shí)，要在題目背景、題目形式、題目內(nèi)容、解題方法等方面深入挖掘創(chuàng)新點(diǎn)，體現(xiàn)創(chuàng)新特點(diǎn)，保證其在培養(yǎng)或診斷考生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力等方面的價(jià)值.

3 高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的編制方法

數(shù)學(xué)題的編制方法比較多，這里主要介紹改編題和原創(chuàng)題兩類題的編制方法.

改編題是在現(xiàn)有的題目的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)母脑?，使之變?yōu)樾骂}.原創(chuàng)題是指基于對(duì)某一數(shù)學(xué)問題深入研究而編制的新題.

31 背景創(chuàng)新法

數(shù)學(xué)題一般都需要選擇一定的背景.優(yōu)良的背景，能夠使學(xué)生耳目一新，調(diào)動(dòng)學(xué)生做題的積極性，促進(jìn)學(xué)生愉悅地完成做題.我國的數(shù)學(xué)題背景一般是數(shù)學(xué)學(xué)科背景居多.但是國際典型測(cè)試PISA、TIMSS試題的背景卻十分豐富，很多是真實(shí)的生活情景，純粹的數(shù)學(xué)問題并不是很多.因此，面對(duì)課程改革需要，多元化的背景編制是數(shù)學(xué)題編制的一個(gè)方向.

在數(shù)學(xué)題編制中，我們可以選擇高等數(shù)學(xué)背景、競賽數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)史背景等數(shù)學(xué)背景，也可以選擇生活現(xiàn)實(shí)（生活情境）、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)（物理情境）為背景，增加或者改變條件的背景，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題的背景創(chuàng)新.

（1）改編題

例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4=3，a7+a8+a9=4，則a5= ? ?.

變式1 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 ? ?升.

變式1以數(shù)學(xué)史上的《九章算術(shù)》為背景，背景之巧，讓人耳目一新.

例2 已知函數(shù)f（x）=2x+2x，x∈12，2，則f（x）的值域是 ? ?.

變式2 如果對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)的任意x，都有N≤f（x）≤M（M，N為常數(shù)）成立，那么就稱f（x）為可界定函數(shù)，M為上值界，N為下值界.設(shè)上值界中的最小值為m，下值界中的最小值為n，給出函數(shù)f（x）=2x+2x，x∈12，2，那么m+n的值（ ?）.

A.大于9 B.等于9 C.小于9 D.不存在

變式2首先介紹了高等數(shù)學(xué)中“上（下）確界”的概念，然后提出例2中的問題，突出考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力.

例3 不等式x（40-x）≥300的解集為 ? ?.

圖1

變式3 在如圖1所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x（單位m）的取值范圍是（ ?）.

A.[15，20] B.[12，25]

C.[10，30] D.[20，30]

變式3以實(shí)際生活的問題為情景，突出考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

例4 在△ABC中，若a=2，b=4，∠C=120°，則c=（ ?）.

A.6 ?B.2 ?C.25 ?D.27

變式4 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為（ ?）.

A.6 ? B.2 ? C.25 ? D.27

例4是解三角形問題，變式4在此基礎(chǔ)上“包裝”了一個(gè)物理力學(xué)的背景，增添了題目的看點(diǎn).

（2）原創(chuàng)題

例5 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)k（k≠1）的點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼圓.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（-1，0）和F2（1，0）的距離之比等于常數(shù)a（a>1）的點(diǎn)的軌跡，下列選項(xiàng)正確的是（ ?）.

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱

C.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱

D.曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)圓錐曲線分別介紹了到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和、差的點(diǎn)的軌跡，沒有提到之比（比不為1）的曲線方程.實(shí)際上，在數(shù)學(xué)史中的確存在這種曲線，即阿波羅尼圓.例5以此為背景，凸顯文化價(jià)值.

32 形式創(chuàng)新法

數(shù)學(xué)題的形式包含數(shù)學(xué)題的呈現(xiàn)方式、設(shè)問方式以及題型.改變數(shù)學(xué)題的形式，是數(shù)學(xué)題創(chuàng)新的重要方法.

數(shù)學(xué)文字、符號(hào)、圖表的多元化的呈現(xiàn)，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的豐富多彩，增加學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)的信心.基于不同需要的差異，設(shè)問方式不同.目前，高考數(shù)學(xué)堅(jiān)持分步設(shè)問、分散難點(diǎn)的做法，各類題型呈現(xiàn)“入手容易、拾級(jí)而上、螺旋遞進(jìn)”的風(fēng)格.這對(duì)于高中數(shù)學(xué)題的創(chuàng)新提供了一個(gè)新的思路.

另外，隨著課程改革的推進(jìn)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題型已經(jīng)不能適應(yīng)課程改革中教育評(píng)價(jià)的要求，一些新的題型如復(fù)合型選擇題、復(fù)合型填空題等在高中數(shù)學(xué)測(cè)試和檢測(cè)中廣泛出現(xiàn).

（1）改編題

例6 設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立.如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式

m>3，

f（m2-6m+23）+f（n2-8n）<0，那么m2+n2的取值范圍是（ ?）.

A.3，7 ? ? B.9，25

C.13，49 ?D.9，49

變式5 設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于x，y∈R，

（f（x）-f（y））（x-y）>0，且圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱.如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式m>3，

f（m2-6m+23）+f（n2-8n）<0，那么m2+n2的取值范圍是 ? ?.

變式5改變了例6中“增函數(shù)”和“f1-x+f1+x=0”的形式，增加了題目的深度，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)的掌握程度.

例7 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

變式6 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.

（Ⅰ）設(shè)bn=an+1-2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

變式6分解了例7的求解過程，增加了對(duì)等比數(shù)列概念的考查，也有利于不同水平學(xué)生的甄別.

例8 設(shè)函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)

0，x為無理數(shù)， 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ?）.

A.D（x）的值域?yàn)閧0，1}

B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù)

D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

變式7 設(shè)函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)

0，x為無理數(shù)，有如下四個(gè)命題：

①D（x）的值域?yàn)閧0，1};

②D（x）是偶函數(shù);

③D（x）不是周期函數(shù);

④D（x）不是單調(diào)函數(shù)，則真命題的個(gè)數(shù)是（ ?）.

A.1 ?B.2 ?C.3 ? D.4

變式7一改例8的的設(shè)問方式，增加學(xué)生思考問題的次數(shù)，降低了猜選選項(xiàng)得分的情況.

（2）原創(chuàng)題

例9 把下面不完整的命題補(bǔ)充完整，并使之成為真命題：

若函數(shù)f（x）=3+log2x的圖象與g（x）的圖象關(guān)于 ? ?對(duì)稱，則g（x）= ? ?.

本題是開放性的題目，設(shè)問方式要求兩個(gè)空白具有邏輯的一致性.

33 內(nèi)容創(chuàng)新法

數(shù)學(xué)題內(nèi)容的創(chuàng)新，不僅是數(shù)學(xué)測(cè)試兼顧范圍和題量的必然選擇，也是高中數(shù)學(xué)課程理念和體系變化的最終結(jié)果.

高中數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)完備，彼此聯(lián)系縱橫交錯(cuò).傳統(tǒng)上的知識(shí)聯(lián)系，如函數(shù)、不等式、數(shù)列的密切關(guān)系，早已成為高中數(shù)學(xué)題中綜合題的主要來源.隨著課程改革的實(shí)施，新的課程理念提出了“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)”，高中數(shù)學(xué)課程建立了“5個(gè)模塊，4個(gè)系列”的結(jié)構(gòu)體系，大大豐富了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)素質(zhì)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)課程理念和體系的變化，能夠?yàn)楦咧袑W(xué)生呈現(xiàn)更多數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系，能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到統(tǒng)一的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.這些也為數(shù)學(xué)題的內(nèi)容創(chuàng)新提供了基礎(chǔ)和方向.

（1）改編題

例10 若實(shí)數(shù)s、t滿足不等式s2-2s≥t2-2t，則當(dāng)1≤s≤4時(shí)，ts的取值范圍是（ ?）.

A.-14，1 ? B.-12，1

C.-12，1 ? D.-12，1

變式8 定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且函數(shù)y=fx-1的圖像恒關(guān)于1，0成中心對(duì)稱.若如果實(shí)數(shù)s、t滿足不等式fs2-2s≤-f2t-t2，則當(dāng)1≤s≤4時(shí)，ts的取值范圍是（ ?）.

A.-14，1 ? B.-12，1

C.-12，1 ? D.-12，1

變式8在例10的基礎(chǔ)上綜合了2個(gè)知識(shí)內(nèi)容，即函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱性.

（2）原創(chuàng)題

例11 已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）有一個(gè)公共點(diǎn)A，且在點(diǎn)A處兩曲線的切線為同一直線l.

（Ⅰ）求r;

（Ⅱ）設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點(diǎn)為D，

求D到l的距離.

一般來講，高中數(shù)學(xué)中很少出現(xiàn)兩個(gè)二次曲線相交問題.本題就是兩個(gè)二次曲線相交問題，并且還綜合了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

34 解答方法創(chuàng)新法

創(chuàng)新題作為一種診斷和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的新型數(shù)學(xué)題，具備多樣化、新穎性解題方法是必需的.學(xué)生通過對(duì)題目的分析，提出多元化和新穎性的解決方法，培養(yǎng)創(chuàng)造性的思維和發(fā)展創(chuàng)造性的能力.

在創(chuàng)新題編制中，命題者要根據(jù)選擇的題目內(nèi)容，多角度、多層次、全方位地去分析其解答方法，盡可能地從學(xué)生的實(shí)際和中學(xué)數(shù)學(xué)涵蓋的知識(shí)、思想方法情況出發(fā)，使之“一題多解”和“一題妙解”.

（1）改編題

例12 已知函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為M，最小值為m，則mM的值為（ ?）.

A.14 ? B.12 ? C.22 ? D.32

變式9 已知函數(shù)y=x+3-1-x的最大值為M，最小值為m，則mM的值為（ ?）.

A.14 ? B.12 ? C.22 ? D.-1

變式9的函數(shù)是改變例12的正號(hào)得來的，兩道題的解法基本上類似，但是由于變式函數(shù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，其還可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的含義解答.

圖2

（2）原創(chuàng)題

例13 如圖2，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則AP·AC= ? ?.

本題以平行四邊形為載體，考查向量的運(yùn)算.由于平行四邊形的圖形特點(diǎn)，其解答方法是多樣的.

數(shù)學(xué)命題并非每一個(gè)教師都能做得好，而且數(shù)學(xué)創(chuàng)新題編制的研究尚未形成一定的理論，教師的命題是相對(duì)獨(dú)立、封閉的，因此，教師要把設(shè)計(jì)過程中突發(fā)的靈感、想法及時(shí)記錄下來，仔細(xì)研究和記錄優(yōu)秀數(shù)學(xué)題的命制思路和方法，做好反思總結(jié)，得出命制此類數(shù)學(xué)題的一般方法、技巧.同時(shí)，教師應(yīng)致力于總結(jié)一套評(píng)判這類數(shù)學(xué)題好壞的標(biāo)準(zhǔn)，量化地評(píng)估其創(chuàng)新度等指標(biāo)，建立科學(xué)的命題機(jī)制.另外，編制數(shù)學(xué)創(chuàng)新題主要的目的是通過提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性和趣味性，提高學(xué)生的成績，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí).因此，我們也要從教學(xué)效果的角度反思創(chuàng)新題的編制情況，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，從而提高課堂教學(xué)的效果，提升數(shù)學(xué)命題的水平.

參考文獻(xiàn)

[1] 夏文濤.基于高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題設(shè)計(jì)的教師專業(yè)發(fā)展研究[D].重慶師范大學(xué)，2014.

作者簡介 夏文濤，男，河南信陽人，碩士，先后在省級(jí)及以上期刊上發(fā)表論文8篇，其中1篇被中國人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載，榮獲重慶市第十一屆基礎(chǔ)教育課程改革論文大賽一等獎(jiǎng).主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.