齊宏宇,張立舒,趙中俠,喬光波（.燕京理工學院,河北　三河　0650;　.河北省秦皇島市盧龍縣第四小學,河北　秦皇島　066000）

二級倒立擺的多模型自適應控制

齊宏宇1,張立舒1,趙中俠2,喬光波1
（1.燕京理工學院,河北三河065201;2.河北省秦皇島市盧龍縣第四小學,河北秦皇島066000）

摘要：倒立擺是機器人控制、航空技術研究的典型對象，為教學和科研提供主要平臺。通常二級倒立擺建模是將系統(tǒng)進行線性化處理，忽略了兩個擺角的角度對系統(tǒng)的影響。但實際上，二級倒立擺是一個非線性系統(tǒng)，角度會對整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生直接的影響。當兩擺角的角度發(fā)生變化時，多模自適應控制器會根據(jù)二級倒立擺的運動狀態(tài)自動切換，使得二級倒立擺的實際運動狀態(tài)與此時的反饋增益矩陣K相對應。從二級倒立擺的實際運動狀態(tài)出發(fā)，將二級倒立擺系統(tǒng)的輸入空間劃分成9個局部子空間，通過模糊T-S來選取與子空間相對應的狀態(tài)方程，使系統(tǒng)的運動狀態(tài)更加逼近于它的動態(tài)性能。使用多模型自適應控制器實現(xiàn)二級倒立擺系統(tǒng)的仿真和實時控制比LQR控制更加精準。采用較少的規(guī)則就能成功解決Mamdani型模糊因變量過多而產(chǎn)生的“規(guī)則爆炸問題”。

關鍵詞：二級倒立擺;多模型控制;自適應控制;模糊T-S

1　引言

現(xiàn)階段一級倒立擺的控制算法已基本成熟，而二級倒立擺的控制算法較復雜，通常學校實驗平臺中只有線性控制算法，為了豐富實驗平臺對二級倒立擺進行了二次開發(fā)，也為學生們提供一個更加廣闊的學習平臺和更加豐富的實驗素材。

本文將非線性系統(tǒng)劃分成9個局部線性模型來逼近二級倒立擺實際運動狀態(tài)，采用多模自適應控制器與模糊T-S相結(jié)合的方法成功解決了二級倒立擺系統(tǒng)因多變量的存在而產(chǎn)生的“規(guī)則爆炸”問題，并實現(xiàn)了二級倒立擺系統(tǒng)的仿真和實時控制。

2　二級倒立擺的數(shù)學模型

采用深圳市元創(chuàng)興科技有限公司生產(chǎn)的直線二級倒立擺作為研究對象，二級倒立擺的工作原理圖如圖1所示：

圖1　二級倒立擺的工作原理圖

伺服電機自帶光電碼盤，用來檢測小車的位移信號和速度信號，并反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡；光電碼盤2和光電碼盤3分別檢測擺桿1和擺桿2的角度和角速度信號，并反饋給運動控制卡；脈沖信號通過伺服驅(qū)動器將弱電信號轉(zhuǎn)化成強電信號并傳送給伺服電機，同時運動控制卡將讀取的實時數(shù)據(jù)并轉(zhuǎn)化成相應的控制量，驅(qū)動電機帶動小車運動。使系統(tǒng)達到小車在導軌上平穩(wěn)運動且直立不倒。

二級倒立擺本身是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，根據(jù)運動學和力學的原理，可得到二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型[1]

其中：

二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

式中，二級倒立擺的各物理參數(shù)見表1所示：

表1　二級倒立擺的物理參數(shù)

3　控制器的設計

二級倒立擺系統(tǒng)本身具有6個狀態(tài)變量，若直接設計模糊控制器，模糊推理規(guī)則將達到76=117649條，導致“規(guī)則爆炸問題”的出現(xiàn)。本文采用模糊T-S僅需要9條模糊規(guī)則，成功地避免了此類問題的發(fā)生。

3.1多模自適應控制

在本設計中，將二級倒立擺系統(tǒng)的輸入空間劃分成9個子空間，每個子空間采用LQR的方法實現(xiàn)系統(tǒng)的反饋控制。每個系統(tǒng)的局部反饋增益矩陣為：

（1）R1：當θ1在零附近，θ2在零附近，則

K1=[3.1561-0.5602-1.1221593.2462219.4674170.3821]；

（2）R2：當θ1在零附近，θ2在π/4附近，則

K2=[3.1617-0.3906274.5749147.976749.825169.6581]；

（3）R3：當θ1在π/4附近，θ2在零附近，則

K3=[3.1613-156.3033-0.4946236.736134.070988.4124]；

（4）R4：當θ1在π/4附近，θ2在π/2附近，則

K4=[3.1623104.4384249.514327.559140.347649.2375]；

（5）R5：當θ1在π/2附近，θ2在π/4附近，則

K5=[3.1623562.1212105.152827.5838114.310839.9054]；

（6）R6：當θ1在π/2附近，θ2在3π/4附近，則

K6=[3.1623-562.1212-105.152827.5838-114.3108-39.9054]；

（7）R7：當θ1在3π/4附近，θ2在π/2附近，則

K7=[3.1623-104.4384-249.514327.5591-40.3476-49.2375]；

（8）R8：當θ1在3π/4附近，θ2在π附近，則

K8=[3.1613156.30330.4946236.7361-34.0709-88.4124]；

（9）R9：當θ1在π附近，θ2在3π/4附近，則

K9=[3.16160.4088-274.5797148.0895-49.8635-69.6721]；

3.2模糊T-S

在本設計中，輸入變量采用三角形的隸屬函數(shù)，輸入變量采用3個模糊子集[N，Z，Ρ]來描述。

θ1,θ2的輸入隸屬函數(shù)如圖2所示

圖2　θ1，θ2的輸入隸屬函數(shù)

對應的模糊規(guī)則見表2所示：

表2　模糊規(guī)則表

當θ1,θ2在零點附近擺動時，狀態(tài)方程選擇第一組數(shù)據(jù)，模糊T-S[2]選擇u=m1時，反饋增益矩陣同時也選擇第一組數(shù)據(jù)。當θ1,θ2改變時，多?？刂破鬟M行自動調(diào)節(jié)使反饋增益矩陣與二級倒立擺的實時運動相對應，保證二級倒立擺的穩(wěn)定控制。

4　系統(tǒng)仿真

4.1二級倒立擺的仿真圖

在Mаtlаb/Simlink/Fuzzy Logic Toolbox中選擇Sugeno推理和三角形隸屬函數(shù)來構造系統(tǒng)的模糊控制器，搭建二級倒立擺系統(tǒng)的仿真結(jié)構圖,用S函數(shù)來編寫二級倒立擺系統(tǒng)反饋增益矩陣。二級倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)構圖如圖3所示：

圖3　二級倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)構圖

通過觀察示波器可以得到系統(tǒng)的仿真圖，二級倒立擺系統(tǒng)仿真圖如圖4所示：

圖4　二級倒立擺系統(tǒng)仿真圖

仿真曲線表明：將多模型控制器與模糊T-S相結(jié)合的方法應用于二級倒立擺中，多模型自適應控制的仿真曲線在3s以后小車位移和速度、兩擺桿角度和角速度都趨于穩(wěn)定，其仿真曲線波動較小，并且能在很短的時間內(nèi)達到穩(wěn)定。

多模自適應控制與模糊T-S相結(jié)合的方式，減少了模糊控制器輸入變量的維數(shù)，進而成功解決了因多變量的存在而造成的“規(guī)則爆炸”問題。同時也確保了整個系統(tǒng)在較大控制范圍內(nèi)的穩(wěn)定。

4.2VC環(huán)境下二級倒立擺的實驗結(jié)果

在VC語言環(huán)境下進行系統(tǒng)的編程，通過搭建多模型控制和模糊T-S相結(jié)合的控制系統(tǒng)模塊，得到實時控制曲線。二級倒立擺系統(tǒng)的實時控制曲線如圖5所示：

圖5　二級倒立擺系統(tǒng)的實時控制曲線

實時控制曲線表明：當系統(tǒng)穩(wěn)定時，小車帶動兩擺桿在導軌上做往返運動，多模型控制與模糊T-S相結(jié)合的控制方法使二級倒立擺仿真控制曲線與實時控制曲線幾乎處于同一條直線。

5　結(jié)論

二級倒立擺是一個六入一出的系統(tǒng)，具有多變量、非線性、強耦合、絕對不穩(wěn)定的特性。本文把多模型自適應控制與模糊T-S相結(jié)合的方法應用于倒立擺中，成功實現(xiàn)了系統(tǒng)的仿真和實時控制，減少了輸入變量的維數(shù)，成功解決了“規(guī)則爆炸”問題。降低了模糊控制規(guī)則的制定難度，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使二級倒立擺系統(tǒng)更容易控制。

參考文獻：

[1]李曉理,王偉,孫維.多模型自適應控制[M].控制與決策2000:390-393.

[2]秦毅,王生鐵,張計科.基于T-S模型二級倒立擺的逐級模糊控制[M].工業(yè)控制計算機2008:60-62.

作者簡介：齊宏宇（1988-），女，北京人，研究方向：系統(tǒng)仿真，數(shù)控機床。