閆言

摘 要：準(zhǔn)確的描述石油儲(chǔ)層壓裂的變形特性與裂縫的演化規(guī)律對(duì)開展煤巖層滲透特性研究及解決油氣的開采技術(shù)難題具有重要的價(jià)值。本文研究了壓裂裂縫演化的基本模型，引入了判別石油儲(chǔ)層壓裂裂縫演化系統(tǒng)具有混沌特性的特征量，通過對(duì)特征量的計(jì)算分析，表明基于分形理論的裂縫演化行為具有混沌特性。

關(guān)鍵詞：石油儲(chǔ)層壓裂；相空間重構(gòu)；混沌特性

1 概述

油氣井壓裂石油儲(chǔ)層裂縫演化與常規(guī)巖體壓裂單一裂縫擴(kuò)展具有很大的差別，基于這一特殊性，石油儲(chǔ)層壓裂所形成的裂縫通常呈現(xiàn)出網(wǎng)狀形態(tài)，這種復(fù)雜的網(wǎng)狀裂縫稱為縫網(wǎng)。分形幾何學(xué)能夠較為準(zhǔn)確的對(duì)這種復(fù)雜縫網(wǎng)進(jìn)行描述。而與分形相伴隨的便是混沌理論，一些學(xué)者在對(duì)石油儲(chǔ)層材料微裂紋和微孔洞演化的研究中觀察到其具有混沌特征，并進(jìn)行了大量的研究工作?；诨煦缋碚撗芯渴蛢?chǔ)層壓裂裂縫擴(kuò)展行為，可清晰地揭示石油儲(chǔ)層壓裂過程不同壓裂階段裂縫的演化行為。本文通過對(duì)單一裂縫系統(tǒng)演化模型的研究，分析石油儲(chǔ)層裂縫演化的本質(zhì)特征，并建立復(fù)雜縫網(wǎng)體系下裂縫的演化規(guī)律，對(duì)煤巖壓裂裂縫系統(tǒng)進(jìn)行相空間重構(gòu)，確定性檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵計(jì)算，從定性方面和定量方面兩方面揭示煤巖裂縫的混沌特性。

2 石油儲(chǔ)層壓裂裂縫演化的基本模型及相空間重構(gòu)

假設(shè)在初始狀態(tài)下，巖石儲(chǔ)層內(nèi)天然裂縫條數(shù)為 ，射孔孔眼附近裂縫條數(shù)為 ，加載過程中，釋放出的能量可促使新的微裂縫產(chǎn)生，微裂縫以蟲口模型形式演化。當(dāng)流體凈壓力加載第i階段時(shí)形成的微裂縫總數(shù)為：

ni=F1（n0+m0）+·（N-n0-m0）（1）

式中：D為損傷變量。

使用C-C法進(jìn)行相空間重構(gòu)，對(duì)于石油儲(chǔ)層裂縫系統(tǒng)的時(shí)間序列δ1，δ2，…，δi，…，δN，重構(gòu)成如下相空間：

Xi=[δi，δi+k，δi+2k，…，δi+（m-1）k]T （i=1，2，…，N-（m-1）k）Xi∈Rm（2）

式中：k為延遲時(shí)間指數(shù)，m為嵌入維數(shù)。

3 石油儲(chǔ)層裂縫演化實(shí)例驗(yàn)證

3.1 時(shí)間序列的確定性檢驗(yàn)。石油儲(chǔ)層壓裂裂縫演化時(shí)間序列的復(fù)雜性有外在隨機(jī)因素，也有其自身的內(nèi)在確定性動(dòng)力學(xué)機(jī)制因素。因此，必須對(duì)裂縫演化時(shí)間序列的確定性進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)Y0為Rm中固定向量，Y1，Y2，…，Yi表示相空間中l(wèi)個(gè)鄰近點(diǎn)，Z1，Z2，…，Zi是與之相對(duì)應(yīng)的映射值。其傳遞向量定義為：

Vi=Yi-Zi（i=0，1，…，l）（3）

傳遞誤差為：

Eerror=（4）

式中：…為Euclidean距離；〈V〉為傳遞向量的數(shù)學(xué)期望。

3.2 關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算。關(guān)聯(lián)維數(shù)是混沌時(shí)間序列非線性分析中很常見的，也是很重要的一個(gè)概念。用時(shí)間序列按式重構(gòu)相空間 ，對(duì)于分形結(jié)構(gòu)因其自相似性特性，故在 的某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在下面的標(biāo)度關(guān)系：

C（m，r）∝rγ （5）

將其與分維的定義相比，可知（5）式中指數(shù)γ是一種維數(shù)。實(shí)際上，γ逼近關(guān)聯(lián)維數(shù)。D2定義為：

D2=（6）

重構(gòu)微裂縫數(shù)目、裂縫尖端周向應(yīng)力和軸向應(yīng)力時(shí)間序列的相空間，選取延遲時(shí)間分別為τ=3τs、τ=1τs和τ=1τs，嵌入維m=1，2，…，12，這樣可以觀察隨著嵌入維數(shù)的變化，關(guān)聯(lián)維數(shù)的變化趨勢。計(jì)算C（m，r），繪制InC（m，r）～I(xiàn)nr曲線。如圖1所示；

圖1微裂縫數(shù)目時(shí)間序列InC（m，r）～I(xiàn)nr曲線

從圖1可以看到曲線InC（m，r）～I(xiàn)nr中存在明顯的直線段，隨著 m的增大，直線段斜率增大。當(dāng)m?5時(shí)，各曲線直線段趨于互平行且逐漸密集，直線段斜率幾乎不再變化，能夠認(rèn)為趨于定值，這個(gè)值就是表征這幾個(gè)序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)。

3.3 Lyapunov指數(shù)的計(jì)算。對(duì)于最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算，我們選取嵌入維數(shù)m=3，4，5，6，7，這樣在計(jì)算的同時(shí)，考察最大Lyapunov指數(shù)隨嵌入維數(shù)增大的變化規(guī)律。圖2為x（t）隨時(shí)間t演化的曲線，從圖像可以看出曲線是增函數(shù)，表明最大Lyapunov指數(shù)為正，這表示相鄰軌道發(fā)散，進(jìn)一步說明系統(tǒng)具有混沌特性。