高偉杰

數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言，一種普遍使用的科學(xué)的語(yǔ)言。正如諾貝爾獎(jiǎng)得主Richard Feynman所說(shuō)：“要是沒(méi)有數(shù)學(xué)語(yǔ)言，宇宙似乎是不可描述的。”廣義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括：自然語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言。三種語(yǔ)言各有特點(diǎn)，分工明確。我們需要關(guān)注學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)和態(tài)度，積極培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯能力，幫助學(xué)生在討論問(wèn)題、觀察問(wèn)題和認(rèn)識(shí)問(wèn)題時(shí)形成概念化、抽象化和模式化的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、“概念化”——厚積薄發(fā)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，無(wú)時(shí)不刻在認(rèn)識(shí)新的概念、新的方法和新的技巧。但是，只有一小部分概念、方法和技巧作為“應(yīng)試需要”被教師強(qiáng)化掌握，還有相當(dāng)一部分有價(jià)值的概念、方法和技巧被我們平時(shí)的教學(xué)給忽略了。所謂“概念化”，就是把數(shù)學(xué)中的概念結(jié)論和處理方法予以積累，并且推廣運(yùn)用于認(rèn)識(shí)新事物。

兒童剛開(kāi)始學(xué)習(xí)“5”這個(gè)數(shù)字的時(shí)候，教師往往借助5根“小棒”或其他實(shí)物，作為直觀的圖形語(yǔ)言，讓學(xué)生模糊知道什么是5。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，就會(huì)嘗試把遇到的“5個(gè)蘋(píng)果，5個(gè)梨，5個(gè)人……”這樣的新問(wèn)題主動(dòng)遷移到剛剛自主構(gòu)建的“數(shù)字體系”中，逐步抽象出“5”的符號(hào)意義。在法國(guó)上的研究生數(shù)學(xué)課上，教授如是說(shuō)：這個(gè)從具體到抽象的過(guò)程讓孩子將所有能和{1，2，3，4，5}形成一一映射的集合叫做5。

我們的學(xué)生樂(lè)于接受這樣一個(gè)遷移的過(guò)程：他們把學(xué)習(xí)加法運(yùn)算律的那套方法遷移到學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律中，發(fā)現(xiàn)了乘法交換律和乘法結(jié)合律；他們?cè)趯W(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算后，可以不用老師教而計(jì)算出平行四邊形的周長(zhǎng)……這個(gè)“概念化”的過(guò)程，讓他們獲得了極大的成功體驗(yàn)，讓他們體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。這樣的“概念化”，實(shí)際上是一種遷移能力，是我們每一個(gè)學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。只有讓學(xué)生在不斷積累概念的同時(shí)，獲得數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯能力的提升，學(xué)生的“概念化”才能成為現(xiàn)實(shí)。當(dāng)學(xué)生能夠用自然語(yǔ)言表述那些數(shù)學(xué)化概念的時(shí)候，這些數(shù)學(xué)“概念”才會(huì)在將來(lái)成為他們學(xué)習(xí)道路上的基石。

二、“抽象化”——斗轉(zhuǎn)星移

在小學(xué)階段學(xué)生應(yīng)掌握適度形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”的必然要求。隨著學(xué)生概念化的深入，積累的形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言越來(lái)越多，于是便逐步構(gòu)建了抽象的數(shù)學(xué)體系。 所謂“抽象化”，是指把一個(gè)或多個(gè)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)移到抽象的數(shù)學(xué)體系中，研究事物的一般規(guī)律。

比如，在小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“路線(xiàn)問(wèn)題”時(shí)，有學(xué)生提出，用含有“→”的圖示來(lái)概括行走路線(xiàn)：“家→超市→醫(yī)院→學(xué)?！痹诩^上方注明方向，在箭頭下方寫(xiě)上距離。這種將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖像語(yǔ)言的方式，讓所有學(xué)生看到了向量概念的生活原型。他認(rèn)為“→”可以用來(lái)聯(lián)接兩個(gè)量，在平時(shí)的描述中，在學(xué)習(xí)幾何問(wèn)題時(shí)，在學(xué)習(xí)“倒推”策略時(shí)……不斷讓他積累了這樣的概念，于是，關(guān)于“→”的符號(hào)意義便在他心目中逐步抽象，并成為他數(shù)學(xué)體系的一部分。

所以說(shuō)，“抽象化”是“概念化”進(jìn)一步積累的結(jié)果，是更高層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。我依然認(rèn)為在這一過(guò)程中，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯起到了關(guān)鍵的作用。試想：如果上述這位學(xué)生只是認(rèn)識(shí)了“→”的表象，或者平時(shí)不注意這一符號(hào)與其相應(yīng)的自然語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，那么在《路線(xiàn)問(wèn)題》的教學(xué)中，他怎能提出這樣一個(gè)具有創(chuàng)新意義的方法。學(xué)生抽象化能力的養(yǎng)成，需要教師在日常教學(xué)中大力的引導(dǎo)，這是解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法。當(dāng)我們遇到較為復(fù)雜、困難的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，如果能看透問(wèn)題的形式化本質(zhì)，轉(zhuǎn)移到與之契合的數(shù)學(xué)體系中，問(wèn)題自然也就解決了。

三、“模式化”——由點(diǎn)及面

數(shù)學(xué)是一種模型，數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要方式是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)呈現(xiàn)形式是符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。“模式化”，是指將數(shù)學(xué)中已有的嚴(yán)格的概念廣義化，用以研究生活中的問(wèn)題。其本質(zhì)是一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。

一個(gè)分?jǐn)?shù)“4/5”概括了一系列的自然語(yǔ)言，它表示：把單位“1”平均分成5份，有這樣的4份。“分?jǐn)?shù)”作為數(shù)學(xué)中的符號(hào)語(yǔ)言，就是對(duì)這些冗長(zhǎng)的自然語(yǔ)言的概括與抽象。而在觀察問(wèn)題、討論問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生又需要將分?jǐn)?shù)這一符號(hào)語(yǔ)言再次還原到更通俗易懂的自然語(yǔ)言。小學(xué)六年級(jí)“利息問(wèn)題”、“納稅問(wèn)題”、“折扣問(wèn)題”的教學(xué)正是基于學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)意義理解的基礎(chǔ)上展開(kāi)的。學(xué)生如果在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能夠有效的進(jìn)行自然語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)譯，即將“單位‘1×（百）分率=對(duì)應(yīng)量”這一關(guān)系式作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用到上述這些問(wèn)題中去，那么學(xué)生對(duì)分百實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)識(shí)將是飛躍性的。

總之，“模式化”是“概念化”與“抽象化”的最終形式。學(xué)生對(duì)概念化的自然語(yǔ)言，不斷積累、抽象、推廣，便形成了解決一類(lèi)問(wèn)題的模型。數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的解決需要數(shù)學(xué)建模，只有模式化了的數(shù)學(xué)，才是觸及本質(zhì)的數(shù)學(xué)。那么學(xué)生的模式化能力怎樣去培養(yǎng)呢？我們需要根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況大量的進(jìn)行自然語(yǔ)言、圖像語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)譯，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言的內(nèi)在轉(zhuǎn)譯機(jī)制。只有這樣，學(xué)生的厚積薄發(fā)才能成為現(xiàn)實(shí)，學(xué)生的斗轉(zhuǎn)星移才能成為常態(tài)，學(xué)生自然也就能夠由點(diǎn)及面的思考問(wèn)題。

以上關(guān)于語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”價(jià)值的論述，實(shí)際上可以概括為“概念化→抽象化→模式化”的過(guò)程。無(wú)論是概念化、抽象化還是模式化能力的培養(yǎng)，都需要而且必然需要以數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為載體開(kāi)展課堂教學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2009：26，78.