薛 琳 , 孫 壘

(1.洛陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南 洛陽(yáng)471002;2.河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 焦作 454003)

0 引言

Mitsch[1]在任意半群S上定義了如下偏序關(guān)系≤.

定理1[1]設(shè)≤是半群S上偏序關(guān)系,a,b∈S,則下面命題等價(jià).

(i)a≤b.

(ii)a=wb=bz,az=a;w,z∈S1.

(iii)a=xb=by,xa=ay=a;x,y∈S1.

這種偏序關(guān)系通常稱(chēng)為半群S的自然偏序關(guān)系.

變換半群的自然偏序關(guān)系是變換半群理論中重要的研究課題,引起了國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注,參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-5]等.設(shè)TX是非空集合X(|X|≥3)上全變換半群,E是X上等價(jià)關(guān)系,X/E是等價(jià)關(guān)系E確定的X的分類(lèi)(其中X/E的每個(gè)元素稱(chēng)為一個(gè)E-類(lèi)),R是X/E的橫斷面(即X/E中每個(gè)E-類(lèi)代表元的集合).文獻(xiàn)[6]最早引入了TX的保持等價(jià)關(guān)系和橫斷面的子半群TE(X,R)={f∈TX:?x,y∈X,(x,y)∈E?(f(x),f(y))∈E且f(R)?R},刻畫(huà)了它的格林關(guān)系、正則元和富足性等.文獻(xiàn)[7]賦予變換半群TE(X,R)自然偏序關(guān)系≤,即f,g∈TE(X,R),

f≤gf=kg=gh,f=kf,k∈TE(X,R),

描述了它的特征,得到了如下結(jié)論.

定理2[7]設(shè)f,g∈TE(X,R),則f≤g當(dāng)且僅當(dāng)下面條件同時(shí)成立.

(1)π(g)加細(xì)π(f).

(2) 若g(x)∈f(X)(其中x∈X),則f(x)=g(x).

(3) 對(duì)于任意A∈X/E,存在E-類(lèi)B,使f(A)?g(B).

設(shè)h∈TE(X,R).若對(duì)于任意f≤g,有hf≤hg(fh≤gh),則h稱(chēng)為半群TE(X,R)的左(右)相容元.左(右)相容元是自然偏序關(guān)系≤的重要特性.文獻(xiàn)[7]給出了半群TE(X,R)左相容元的充分條件,即:

定理3[7]設(shè)h∈TE(X,R).若h是X上單映射,則h是半群TE(X,R)的左相容元.

為彌補(bǔ)文獻(xiàn)[7]的不足,本文以半群TE(X,R)為研究對(duì)象,在賦予半群TE(X,R)自然偏序關(guān)系的條件下,探尋刻畫(huà)半群TE(X,R)左相容元的方法,通過(guò)構(gòu)造合適的映射，給出左相容元的充要條件.

下面介紹本文中的概念和符號(hào).π(f)表示由f∈TX確定的X的分類(lèi),即

π(f)={f-1(y):y∈f(X)}.

設(shè)f∈TE(X,R),記

E(f)={f-1(A):f-1(A)≠?,A∈X/E}.

顯然E(f)也是X的分類(lèi),且(f(x),f(y))∈E當(dāng)且僅當(dāng)x,y∈E(f).設(shè)A,B是集合X的兩個(gè)子集族,若對(duì)于任意A∈A,存在B∈B,使A?B,則稱(chēng)子集族A加細(xì)子集族B.h|A表示映射h在集合A上的限制.本文等價(jià)關(guān)系E是非平凡的,即E≠X×X且E≠{(x,x):x∈X}.

1 幾個(gè)引理

首先給出半群TE(X,R)左相容元的必要條件.

引理1[7]設(shè)f,g∈TE(X,R).若π(g)加細(xì)π(f),則E(g)加細(xì)E(f).

引理2 設(shè)h∈TE(X,R).若h是半群TE(X,R)的左相容元且|E(h)|>1,則E(h)=X/E.

證明反證法.若不然,不妨設(shè)U={A,B},其中U∈E(h);A,B∈X/E.由于|E(h)|>1,于是U?X.取定一點(diǎn)r∈R∪(X-U).定義映射f:X→X,

顯然f∈TE(X,R)且f≤idX,其中idX是集合X上恒等映射.于是hf≤hidX=h.由定理2(1)知π(h)加細(xì)π(hf).根據(jù)引理1,有E(h)加細(xì)E(hf).但是,一方面,U∈E(h);另一方面,由r?U,B?U知hf(U)=hf({A,B})=h(r)∪h(B)不包含在某一個(gè)E-類(lèi)中.因此不存在V∈E(hf),使得U?V.這表明E(h)不加細(xì)E(hf).這與E(h)加細(xì)E(hf)矛盾，故E(h)=X/E.證畢.

引理3 設(shè)h∈TE(X,R).若h是半群TE(X,R)的左相容元,則對(duì)于任意E-類(lèi)A,h|A是單射或者常值映射.

證明反證法.若不然,則存在E-類(lèi)A*,滿(mǎn)足h|A*既不是單射又不是常值映射.設(shè)h(a)=h(b)≠h(c),其中a,b,c∈A*.顯然|{a,b}∩R|≤1.不失一般性,設(shè)a?R,定義映射f:X→X，

則f∈TE(X,R)且f≤idX.于是hf≤hidX=h.由定理2(1)知π(h)加細(xì)π(hf).但是,一方面h(a)=h(b);另一方面,hf(a)=h(c),hf(b)=h(b).由h(c)≠h(b)知hf(a)≠hf(b).這與π(h)加細(xì)π(hf)矛盾.故命題成立.證畢.

2 主要結(jié)論

定理4 設(shè)h∈TE(X,R),則h是半群TE(X,R)的左相容元當(dāng)且僅當(dāng)下面兩者之一成立.

(1) 若|E(h)|=1,則h是X上常值映射;或者,對(duì)于所有E-類(lèi)A,h|A是單射且對(duì)于任意不同的B,C∈X/E,有h(B-R)∩h(C-R)=?.

(2) 若|E(h)|>1,則E(h)=X/E且對(duì)于所有的E類(lèi)A,h|A都是單射,或者對(duì)于所有的E類(lèi)A,h|A都是常值映射.

證明必要性.設(shè)h是左相容元.由引理3知,對(duì)于任意E-類(lèi)A,h|A是單射或者常值映射.現(xiàn)在用反證法證明不存在兩個(gè)E-類(lèi)A,B(|A|≥2,|B|≥2)滿(mǎn)足h|A是單射且h|B是常值映射.若不然,設(shè)a∈A-R,A∩R={r1},B∩R={r2}.定義映射f:X→X,

顯然f∈TE(X,R)且f≤idX.于是hf≤hidX=h.由定理2(1)知π(h)加細(xì)π(hf).但是,一方面h(r2)=h(b)(其中b是B中任意點(diǎn)，且b≠r2);另一方面,hf(r2)=h(r1),hf(b)=h(a).由h(r1)≠h(a)知hf(r2)≠hf(b).這與π(h)加細(xì)π(hf)矛盾.因此對(duì)于所有E-類(lèi)A,h|A是單射或者常值映射.下面分兩種情形進(jìn)一步討論.

情形1. |E(h)|=1.若對(duì)于所有的E類(lèi)A,h|A都是常值映射,則h是X上常值映射.現(xiàn)在設(shè)對(duì)于所有E-類(lèi)A,h|A都是單射.下面用反證法證明，對(duì)于任意不同B,C∈X/E,有h(B-R)∩h(C-R)=?.若不然,即h(B-R)∩h(C-R)≠?.令h(b)=h(c)=t,其中b∈B-R,c∈C-R.顯然t?R.令B∩R={r}.定義映射k:X→X,

則k∈TE(X,R)且k≤idX.于是hk≤hidX=h且π(h)加細(xì)π(hk).但是一方面h(b)=h(c);另一方面,hk(b)=h(b)=t?R,hk(c)=h(r)∈R.由t≠h(r)知hk(b)≠hk(c).這與π(h)加細(xì)π(hk)矛盾.

情形2. |E(h)|>1.由引理2知E(h)=X/E.故必要性成立.

充分性.設(shè)f,g∈TE(X,R)且f≤g.顯然對(duì)于任意h∈TE(X,R),hf和hg滿(mǎn)足定理2(3).下面分兩種情形驗(yàn)證hf,hg滿(mǎn)足定理2(1-2).

情形1. |E(h)|=1,則|h(R)|=1.若h是常值映射,則h是左相容元.現(xiàn)在設(shè)h不是常值映射.此時(shí),由題設(shè)知對(duì)于所有E-類(lèi)A,h|A是單射且對(duì)于任意不同的B,C∈X/E,有h(B-R)∩h(C-R)=?.

(1) 設(shè)hg(x)=hg(y),其中x,y∈X.此時(shí)有兩種可能.

(P1).g(x)=g(y).根據(jù)f≤g和定理2(1),有f(x)=f(y),即hf(x)=hf(y).

(2)設(shè)hg(x)∈hf(X),即hg(x)=hf(x′),其中x′∈X.此時(shí)有兩種可能.

(P1)’.g(x)=f(x′),則f(x)=g(x),即hf(x)=hg(x).

(P2)’.g(x)≠f(x′).如(P2)所證,有g(shù)(x),f(x′)∈R且f(x)∈R.因此hf(x)=hg(x).這表明hf,hg滿(mǎn)足定理2(2).

情形2. |E(h)|>1.此時(shí)E(h)=X/E.

(1)設(shè)hg(x)=hg(y),其中x,y∈X.此時(shí)有兩種可能.

(P1).g(x)=g(y).于是f(x)=f(y),即hf(x)=hf(y).

(P2).g(x)≠g(y),則(g(x),g(y))∈E且h在每個(gè)E類(lèi)A上都是常值映射.于是(f(x),f(y))∈E,即hf(x)=hf(y).這表明hf,hg滿(mǎn)足定理2(1).

(2)設(shè)hg(x)∈hf(X),即hg(x)=hf(x′),其中x′∈X.此時(shí)有兩種可能.

(P1)’.g(x)=f(x′).于是f(x)=g(x),即hf(x)=hg(x).

(P2)’.g(x)≠f(x′),則(g(x),f(x′))∈E.設(shè)f(x′)=g(y),其中y∈X.由定理2(2)知f(y)=g(y)=f(x′).進(jìn)而(g(x),g(y))∈E.因此(f(x),f(y))∈E,即(f(x),f(x′))∈E.由等價(jià)關(guān)系E對(duì)元素的傳遞性知(f(x),g(x))∈E.當(dāng)然有hf(x)=hg(x).這表明hf,hg滿(mǎn)足定理2(2).

因此無(wú)論何種情形,hf,hg都滿(mǎn)足定理2(1-2),從而hf≤hg,即h是半群TE(X,R)的左相容元.故充分性成立.證畢.

3 結(jié)論

當(dāng)E(h)=X/E且h在所有E-類(lèi)上是單射時(shí),h是集合X上單映射.定理3是本文定理4(2)的一部分結(jié)論.因此本文得到的結(jié)果更具有一般性.