李長濤

（咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制設(shè)計(jì)

李長濤

（咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

討論了離散系統(tǒng)的輸出反饋保成本控制問題，根據(jù)線性矩陣不等式（LMI）方法得到動(dòng)態(tài)輸出反饋控制律存在的充要條件，由LMI的解給出了該控制律的設(shè)計(jì)方法，同時(shí)使得對(duì)所允許的不確定性參數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且使得其性能指標(biāo)不大于某個(gè)給定的上界。最后給出了該控制律的算法。

離散系統(tǒng)；保成本控制；閉環(huán)極點(diǎn)約束；動(dòng)態(tài)輸出反饋

近年來，關(guān)于不確定線性系統(tǒng)的保成本控制問題得到了大家的密切關(guān)注，且已取得了一些成果［1-4］。在系統(tǒng)控制中，為了將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在左半開平面上的某些特殊區(qū)域如：將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在一個(gè)特定圓盤中的魯棒控制也已取得了一系列的成果［5-11］。文獻(xiàn)［5-6］已考慮閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在一個(gè)特定的圓盤中的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)采用了狀態(tài)反饋控制，但當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量不能直接觀測時(shí)采用輸出反饋進(jìn)行控制是較好的方法。本文研究具有極點(diǎn)約束的線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制。

1　預(yù)備知識(shí)

考慮由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)

其中H，F(xiàn)，E是已知的常數(shù)陣，F(xiàn)（δ）是反映參數(shù)魯棒性的未知陣，設(shè)其滿足FΤ（δ）F（δ）≤I，且δ∈Θ，Θ 是R中的緊集。

引理1［12］對(duì)于特定的圓盤D（α，r），系統(tǒng)（1）存在二次D-性能矩陣的充要條件是存在常數(shù)ε＞0和一個(gè)正定陣V，滿足

其中“?”表示矩陣中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的部分，下同。且系統(tǒng)的性能函數(shù)的上界為

下面考慮不確定線性離散系統(tǒng)

且系統(tǒng)的性能函數(shù)為

其中Q＞0，R＞0為已知的自由權(quán)矩陣。對(duì)特定的圓盤D（α，r），給出系統(tǒng)（3）的動(dòng)態(tài)輸出反饋二次D-保成本控制問題，即研究一個(gè)輸出反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)存在一個(gè)二次D-保成本矩陣。

給出具有以下形式的一個(gè)滿階輸出反饋控制律

將控制律（5）應(yīng)用到系統(tǒng)（3）得到閉環(huán)系統(tǒng)

引理2對(duì)特定的圓盤D（α，r），系統(tǒng)（3）存在一個(gè)輸出反饋二次D-性能矩陣的充要條件是存在常數(shù)ε＞0和一個(gè)正定矩陣V，滿足

2　主要結(jié)果與證明

定理1對(duì)特定的圓盤D（α，r），系統(tǒng)（3）和指標(biāo)函數(shù)（4）存在一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋二次D-性能矩陣的充要條件是存在常數(shù)ε＞0和正定矩陣V，W滿足

證明：先證充分性：若式（9）是可行的，就有-W-WT+V＜0，因而，W是可逆的，由于（V-W）TV-1（V-W）≥0，就有WTV-1W≥W+>WT-V，從而就有

再證必要性：令W=WT=V，把它代入式（9）從而得到式（8），證畢。

為了得出式（5）中的參數(shù)Ac，Bc，Cc，采用一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q來得到一個(gè)關(guān)于所有變量的LMI。令，其中Δ為矩陣中無關(guān)緊要的塊。再引入一個(gè)變換矩陣，對(duì)式（9）左乘右乘得

定理2對(duì)特定的圓盤D（α，r），系統(tǒng)（3）存在一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋二次D-性能矩陣的充要條件是存在常數(shù)ε＞0和矩陣X，Y，S滿足式（13）。其中

證明略。

注1：對(duì)于LMI（13）式的可行解，可按照以下的算法得到動(dòng)態(tài)輸出反饋二次D-保成本控制律:（1）先對(duì)S-YX采用奇異值分解，得到非奇異矩陣U、L。（2）采用前面的U、L以及式（13）的解，通過求解式（12）可得出控制律參數(shù)矩陣Ac、Bc、Cc的值。

再由求矩陣逆的公式可得

注2：從定理2可知若（13）式是可行的，那么系統(tǒng)（3）就存在一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制律且相應(yīng)的系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)有上界。

顯然此上界依賴于性能控制律的選取，同時(shí)也希望這個(gè)上界盡量小。顯然由式（14）給出的結(jié)果關(guān)于ε，Z1是非線性的。為了便于計(jì)算，特建立以下最優(yōu)化問題：

可求解使得性能函數(shù)指標(biāo)值的上界盡可能小的最優(yōu)二次D-保成本控制律。式（15）是一個(gè)具有LMI約束的凸優(yōu)化問題，可以應(yīng)用MATLAB軟件中求解器mincx求解該題。

3　結(jié)論

主要討論了離散線性系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)約束在一個(gè)特定圓盤中的保成本控制問題，根據(jù)LMI方法得到動(dòng)態(tài)輸出反饋控制律存在的充要條件，并由LMI的解給出了保成本控制律的設(shè)計(jì)方法，得到一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋保成本控制律，同時(shí)使得對(duì)所允許的不確定性參數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且其性能函數(shù)指標(biāo)值不大于某個(gè)確定的上界。最后給出了該控制律的算法。

［1］于哲，王璐，蘇劍波.基于干擾觀測器的不確定線性多變量系統(tǒng)控制［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2014，40（11）:2643-2649.

［2］PETERSEN I R，MCFARLANE D C.Optimal guaranteed cost control of uncertain linear systems［J］.IEEE Trans Automatic Control，1994，39（9）:1971-1977.

［3］譚茹，侯明善，李雅靜，等.區(qū)域極點(diǎn)約束非脆弱魯棒飛行控制器設(shè)計(jì)［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2011，28（6）：101-105.

［4］J PARK H.On dynamic output feedback guaranteed cost control of uncertain discrete-delay linear systems:LMI Optimization approach［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2004，21（1）：147-162.

［5］李長濤，吳保衛(wèi).一類具有閉環(huán)極點(diǎn)約束的不確定線性系統(tǒng)的保性能控制［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008，24（4）：717-724.

［6］GARCIA G.Quadratic guaranteed cost control and disc pole location control for discrete-time uncertain systems［J］.IEE Pro-Control Theory and Applications，1997，144（6）：545-548.

［7］史玉英，王寒梅.具有狀態(tài)和輸入時(shí)滯系統(tǒng)的H_∞控制［J］.咸陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，24（4）：7-9.

［8］姚波，安志娟，王福忠.具有橢圓盤極點(diǎn)約束的線性系統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)［J］.計(jì)算機(jī)技術(shù)與自動(dòng)化，2014，33（4）：11-16.

［9］李賢，吳保衛(wèi).一類非線性不確定中立時(shí)滯系統(tǒng)保性能控制［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，21（1）：75-83.

［10］何榮福，肖民卿.圓形區(qū)域極點(diǎn)約束下的δ算子時(shí)滯系統(tǒng)魯棒L2-L∞控制［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2013，43（1）：69-80.

［11］李賢，李長濤.非線性變時(shí)滯奇異系數(shù)的保性能控制設(shè)計(jì)［J］.西安工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，24（3）：386-393.

［12］俞立.魯棒控制—線性矩陣不等式處理方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002.

Dynamic Output Feedback Guaranteed Cost Control for Discrete Systems

LI Changtao
（School of Mathematics and Information Science，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，Shaanxi，China）

We deal with the guaranteed cost control for a class of uncertain discrete time linear systems with closed-loop disk pole constraints.A design procedure for dynamic output feedback controller is derived which renders the closed-loop systems to be stability and guarantees an upper boundary of the given performance cost for all admissible uncertainties.The existence of the guaranteed cost control is shown to be equivalent to the feasibility of a certain linear matrix inequality，and the dynamic output feedback controller can be constructed in terms of the feasible solutions to this linear matrix inequality. Finally，the algorithm of the controller is given.

discrete systems；guaranteed cost control；closed-loop disk pole constraints；dynamic output feed-back

O232

A

1672-2914（2015）04-0031-03

2015-04-20

咸陽師范學(xué)院科研基金項(xiàng)目（07XSYK273）。

李長濤（1978-），男，山東臨沂市人，咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院助教，碩士，研究方向?yàn)榭刂评碚摗?/p>