焦重慶
(華北電力大學電氣與電子工程學院,北京 102206)
本科“電磁場”課程中,時變電磁場相關的教學內容一般包括了電磁輻射、電磁波在自由空間及導波結構中的傳播以及準靜態(tài)電磁場等方面[1-4]。在電磁輻射和電磁波的傳播問題里,電場和磁場是作為一個相互耦合的整體考慮的。在準靜態(tài)場的求解中,通常忽略電場和磁場二者之間的耦合,但在理論上,這種耦合還是存在的,只是弱到可以忽略不計。
那么,有沒有單獨存在時變電場,而不存在伴隨磁場,或單獨存在時變磁場,而不存在伴隨電場的情況?對于后者,答案顯然是否定的。依據(jù)法拉第電磁感應定律,時變磁場是電場強度的唯一旋度源。時變磁場的存在,就意味著感應(渦旋)電場的存在。對于前者,答案似乎不能如此直接得出。因為時變電場對應的位移電流和自由電荷運動對應的傳導電流(此處不考慮運流電流)是磁場強度的共同旋度源。因此,需要考察這兩種電流有沒有完全相抵的可能性后,才能對此問題給出判斷。
本文對前者給出了肯定的答案,相關的理論分析見第1小節(jié),具體的物理模型見第2小節(jié)。
時變電場對磁場的作用由全電流定律表述
式中,H為磁場強度,J為傳導電流密度,D為電位移矢量,t為時間。若純粹的時變電場存在,則H始終為零。因此有
欲使上式成立,傳導電流密度不能為零(在有電場存在的地方)。因此,需假設媒質為導電性媒質。假設該媒質的介電常數(shù)和電導率分別為ε和σ。依歐姆定律微分形式有J=σE,再結合本構關系 D=εE,有
式中τ=ε/σ為導電媒質中電荷弛豫的時間常數(shù),由此可得
式中,E0為t=0時刻的電場強度。
由于假設不存在磁場,所以有
由式(4)和(5)有
由電場的高斯定律不難得出,電荷密度ρ隨時間的演化也滿足指數(shù)衰減
式中,ρ0為t=0時刻的自由電荷密度。ρ0和E0的關系由高斯定律表述
從式(4)和(6)可以看出,純粹的時變電場具有時間上指數(shù)衰減、空間上同靜電場分布的特點。
式(7)容易使我們想起“電磁場”教材上介紹的電荷弛豫現(xiàn)象[1-4]。由此,我們先考察第一個實例,如圖1所示。一個半徑為a的導體球,初始時刻其表面均勻分布有自由電荷(面電荷密度ρs0)。導體球外為介電常數(shù)和電導率分別為ε和σ的無限大均勻媒質。在t=0時刻撤去外加平衡力的作用后,電荷之間由于庫侖力的作用開始相互排斥,出現(xiàn)電荷弛豫過程。此時,電荷離開導體球表面后沿徑向運動,導電媒質中出現(xiàn)傳導電流,導體球表面的電荷密度則不斷減少。
不難得出,球體表面電荷密度ρs和空間的電場強度E的表達式分別為
圖1 處于無限大均勻導電媒質中的帶電導體球
式中,r和er分別代表以球心為坐標原點的球坐標系的徑向坐標及其單位矢量。另外,通過本構關系可以得出J和D的表達式,導電媒質中的體電荷密度始終為零。不難驗證,上式(9)-(11)再結合H=0和B=0,能精確滿足整個麥克斯韋方程組及導體球表面的邊界條件。
如果說實例1要求無限大媒質,屬于現(xiàn)實中難以實現(xiàn)的理想情況。我們可以進一步考慮圖2給出的實例2。此時。在內、外半徑分別為a和b的同心導體球內,填充介電常數(shù)和電導率分別為ε和σ的均勻媒質。假設初始時刻有自由電荷均勻分布在內、外表面,且總量分別為q和-q。
圖2 內部填充均勻導電媒質的同心導體球
在t=0時刻撤去外力,電荷弛豫過程開始,不難得出如下的時變電場可以精確滿足麥克斯韋方程及邊界條件
(1)在兩球之間的區(qū)域
且導電媒質中的體電荷密度始終為零;
(4)在兩球之間以外的區(qū)域,電磁場均為零。
實例2給出的模型要求高度的空間對稱性。實際上,我們可以放寬這種對稱性。圖2中,內、外表面的形狀可以是任意的,但對表面分布的自由電荷有如下要求:內、外表面分別為等電位面。此外,如果媒質是分區(qū)均勻的,則要求所有媒質具有相同的電荷弛豫時間常數(shù)。
在上述純粹的時變電場情況下,坡印廷矢量為零,因此不存在電磁能量的流動,而空間儲存的電場能量又在隨時間而衰減。究其原因,由于傳導電流與位移電流處處抵消,因而空間儲存的電場能量就地通過歐姆損耗完全轉化為熱能。
本文先通過理論分析,得出了純粹的時變電場可以存在的結論,前提是要求時變過程中各處的全電流處處為零,即傳導電流與位移電流處處抵消(在不導電的區(qū)域,要求兩者均為零)。結合導電媒質中的電荷弛豫現(xiàn)象,本文給出了純粹的時變電場存在的兩個具體的實例。純粹的時變電場具有時間上指數(shù)衰減,空間上同靜電場分布的特點。純粹時變電場情況下,坡印廷矢量為零,不存在電磁能量的流動,空間儲存的電場能量就地通過歐姆損耗完全轉化為熱能。
[1] 倪光正.工程電磁場原理[M].北京:高等教育出版社,2009.
[2] 馮慈璋,馬西奎.工程電磁場導論[M].北京:高等教育出版社,2000.
[3] 王澤忠,全玉生,盧斌先.工程電磁場[M].北京:清華大學出版社,2011.
[4] 雷銀照.電磁場[M].北京:高等教育出版社,2008.