一類n階非齊次線性微分方程特解的證明及應(yīng)用*

段素芳

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院)

0 引言

目前關(guān)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解求法主要是待定系數(shù)法.該文加以推廣得出一類n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的公式及求法.

1 預(yù)備知識(shí)

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為:

其中p，q，λ為常數(shù)，Pm(x)是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式，即

結(jié)論1［1］設(shè)y*是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(1)的特解，則y*=xkQm(x)eλx其中Qm(x)與Pm(x)都是m次多項(xiàng)式，而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0，1，2.

2 定理及證明

由二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(1)的特解形式，推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程

得該文結(jié)論如下:

定理 設(shè)y*是n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(2)的特解，則y*=xkQm(x)eλx其中Qm(x)與Pm(x)都是m次的多項(xiàng)式，而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的s重根依次取0，s(s=1，2，…，n).

證明n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(2)的特征方程為:

設(shè)方程(2)特解y*=Q(x)eλx(Q(x)是某個(gè)多項(xiàng)式簡(jiǎn)便書寫，令Q(x)=Q)則

將y*，y*'，y*″，…，y*(n－1)，y*(n)代入方程(2)并消去 eλx整理得

由上式知Q，Q'，Q″，…，Q(n－1)，Q(n)的系數(shù)分別是特征方程(3)的0，1，2，…，n– 1，n階導(dǎo)數(shù)故上式可記為［2］

(Ⅰ)若λ不是特征方程(3)的特征根

則 φ(i)(λ)≠0i=0，1，2，…，n.

所以(4)式左端Q(x)必為m次多項(xiàng)式，不妨設(shè)Q(x)=Qm(x)

故特解為y*=Qm(x)eλx

(Ⅱ)若λ是方程(3)的s重特征根(s=1，2，…，n)則

則 φ(λ)= φ'(λ)= … = φ(s－1)(λ)=0

而φ(s)(λ)≠0，因此Q(s)(x)必為m次多項(xiàng)式，

此時(shí)可令Q(x)=xsQm(x)eλx

故特解為y*=xsQm(x)eλx

綜上所述，結(jié)論2得以證明.

3 舉例說(shuō)明

例如，求微分方程y(4)－2y?+y″=xex的一個(gè)特解.

解:特征方程:r4－2r3+r2=0

特征根:r1=r2=0，r3=r4=1.

由題意知Pm(x)=x(m=1)，λ=1，且λ=1是特征方程的2重根，

故方程特解可設(shè)為y*=x2(ax+b)ex.且令Q(x)=x2(ax+b)=ax3+bx2

Q'(x)=3ax2+2bx，Q″(x)=6ax+2b，

Q?(x)=6a，Q(4)(x)=0

將上面四式代入(5)式(其中n=4)

4 結(jié)束語(yǔ)

該文主要得出此類n階方程y(n)+p1y(n－1)+p2y(n－2)+…+pn－1y'+pny=f(x).其中f(x)=Pm(x)eλx的特解形式為y*=xkQm(x)eλx，k按 λ不是特征方程的根、是特征方程的s重根依次取0，s.(s=1，2，…n).而當(dāng)f(x)=eλx［Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx］時(shí)，(其中Pl(x)、Pn(x)分別是x的l次、n次多項(xiàng)式，其中一個(gè)可以為零)特解有類似的形式并且求解方法有比較系數(shù)法、拉普拉斯變換法［3］等，這里不再說(shuō)明.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):第六版［M］.北京:高等教育出版社，2006.341–342.

［2］鄧云輝.線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解公式［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009(5).

［3］王高雄，等.常微分方程:第二版［M］.高等教育出版社，2006.126–134.