童昕
時(shí)隔8年,一波接一波的牛市讓中國(guó)股市再一次成為街頭巷尾人們熱議的話(huà)題??粗鴿M(mǎn)屏紅紅綠綠、瞬息萬(wàn)變的數(shù)字,你可曾思考過(guò)這里面所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)?
當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r(shí),我們?cè)撛鯓诱劊?/p>
說(shuō)收益是整個(gè)股市的核心也毫不為過(guò),所以當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r(shí),往往只關(guān)注了收益這么一個(gè)數(shù)字,卻忽略了背后的很多東西。
風(fēng)險(xiǎn)
我們聽(tīng)了太多“隔壁王叔叔昨天又有5個(gè)股票漲停,又掙了5萬(wàn)塊錢(qián),這個(gè)禮拜的收益已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買(mǎi)一個(gè)5平方米的衛(wèi)生間了”之類(lèi)的話(huà)。但如果我們把時(shí)鐘撥回2008年,這話(huà)可能就變成了“隔壁王叔叔昨天又有5個(gè)股票跌停,又虧了5萬(wàn)塊錢(qián),這個(gè)禮拜虧的錢(qián)已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買(mǎi)一個(gè)30平方米的臥室了(畢竟08年房?jī)r(jià)還沒(méi)那么貴)”。
這說(shuō)明,明天你既有可能再賺一筆,也有可能把之前賺的都倒虧回去,而且賺多少虧多少你也猜不到。這就是風(fēng)險(xiǎn)??梢赃@樣認(rèn)為,風(fēng)險(xiǎn)越大的股票,你就越難預(yù)測(cè)明天的走勢(shì),因?yàn)樗▌?dòng)的幅度會(huì)更大。
你是會(huì)喜歡風(fēng)平浪靜預(yù)期賺10%的那只,還是喜歡大起大落預(yù)期賺15%的那只?
有人會(huì)說(shuō),我當(dāng)然喜歡大起大落的那只,因?yàn)檫@說(shuō)明它有潛力漲得很高啊。(很多人也就忽略了反面——它有可能跌得傾家蕩產(chǎn)!)
所以問(wèn)題來(lái)了,我們到底該怎么衡量一只股票或者說(shuō)是一個(gè)投資的組合是好是壞。威廉·夏普就提出了一個(gè)夏普比例(Sharpe Ratio)的概念,以此來(lái)衡量一個(gè)投資的收益,是否與它所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)相適應(yīng):
夏普比例=投資收益率-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率/風(fēng)險(xiǎn)
在這里,對(duì)于一般投資者而言,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率約等于是一年定期存款的利率,而風(fēng)險(xiǎn),我們往往會(huì)使用收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)然,也有一些使用其他的衡量風(fēng)險(xiǎn)的方法,感興趣的讀者可以參考特雷諾比例(Treynor Ratio)和詹森比例(JensenRatio)。
一個(gè)投資的夏普比例越高,則表示這個(gè)投資在承擔(dān)單位風(fēng)險(xiǎn)的情況下,獲得的回報(bào)越高,這個(gè)投資也就越好。相反,夏普比例越低,則表明這個(gè)投資的風(fēng)險(xiǎn)并未給投資者帶來(lái)可觀(guān)的回報(bào),反而是暴露在了過(guò)大的風(fēng)險(xiǎn)之中。因此,當(dāng)我們討論著股市的收益時(shí),還應(yīng)該思考,這一份的收益背后,我們承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)是否和我們預(yù)期的收益相適應(yīng)。
時(shí)間價(jià)值
假設(shè)小明和小紅的股票都實(shí)行了股息分紅,小明的股息是7萬(wàn)塊錢(qián)的現(xiàn)金,小紅的股息是7萬(wàn)塊錢(qián)的支票,而這張支票有點(diǎn)奇怪——1午后才能兌現(xiàn)。請(qǐng)問(wèn)他們兩個(gè)的股票分紅價(jià)值是否相等?
既然我都這樣發(fā)問(wèn)了,這個(gè)問(wèn)題的答案肯定是“不相等”。為什么?
試想一下,如果小明拿到這筆錢(qián)以后,立刻存進(jìn)銀行,定期一年(假設(shè)年利率是3.5%),到了明年這個(gè)時(shí)候,他和小紅一起去銀行,小紅用支票換來(lái)了1萬(wàn)塊整,而小明除了取出來(lái)1萬(wàn)塊的本金,還有350塊錢(qián)的利息。這350塊的差距,就是資金的時(shí)間價(jià)值。
如果我們?cè)傩薷囊幌骂}目,允許小紅提前用支票拿到稍微少量的現(xiàn)金,考慮到時(shí)間價(jià)值,那么這個(gè)稍微少量的現(xiàn)金數(shù)目應(yīng)該是多少,才會(huì)和一年后的1萬(wàn)塊相等呢?
不妨假設(shè)這個(gè)數(shù)是x,小紅把這x元存入銀行,一年后取出來(lái)1萬(wàn)塊,我們就會(huì)有這么一條方程:x(1+3.5%)=10000。
也就是說(shuō),一年后的1萬(wàn)元,在現(xiàn)在只值9661.84元。這樣的一個(gè)把未來(lái)的現(xiàn)金除以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,轉(zhuǎn)換成當(dāng)下的價(jià)值的過(guò)程,我們稱(chēng)為折現(xiàn)。而通過(guò)這個(gè)過(guò)程,可以看得出,同樣數(shù)目的金錢(qián),實(shí)現(xiàn)的時(shí)間越晚,其價(jià)值也就越低。
我們?cè)谟迷鯓拥臄?shù)學(xué)描述股市?真的有用嗎?
值得慶幸的是,數(shù)學(xué)里面有專(zhuān)門(mén)用來(lái)描述這些不確定性的東西——概率、隨機(jī)。
二叉樹(shù)
這是一個(gè)很基本的模型:
假設(shè)一個(gè)股票現(xiàn)在的價(jià)格是100塊,每一分鐘,它都有50%的可能漲5%,也有50%的可能跌5%,一天下來(lái),這個(gè)股票的走勢(shì)可能會(huì)是這樣的:
我們不妨把把這個(gè)模型用表格表示出來(lái),更加直觀(guān):
稍微解釋一下這張表,格子里的數(shù)字表示在第n分鐘時(shí)股票的股價(jià),而括號(hào)里面的分?jǐn)?shù),則表示出現(xiàn)這個(gè)股價(jià)的概率大小。
從第0分鐘開(kāi)始,到第1分鐘,股票有50%可能來(lái)到105,也有50%的可能來(lái)到95。
在這個(gè)基礎(chǔ)上,從第1分鐘到第2分鐘,如果股票價(jià)格是105,則它有可能漲到110.25,也可能跌到99.75。而如果股票價(jià)格是95,則它有可能反彈漲回99.75,也有可能進(jìn)一步跌到90.25
以此類(lèi)推,我們就十分“全面”地模擬出了股票走勢(shì)的所有可能性。
更進(jìn)一步,我們還可以縮短時(shí)間的間距,變?yōu)槊恳徊绞?0秒,甚至更短,而不是1分鐘。也可以增加每一步的可能性——從二叉樹(shù),變?yōu)槿鏄?shù)甚至是更多種可能的情況。
當(dāng)然,這個(gè)模型簡(jiǎn)單,但也存在一些不足:一是時(shí)間的連續(xù)性在這里被破壞了,但我們可以通過(guò)縮短時(shí)間間距來(lái)模擬幾乎連續(xù)的時(shí)間。更為重要的是,股價(jià)的連續(xù)性被破壞了——現(xiàn)實(shí)情況下,股價(jià)有可能漲跌4%,4.9%,4.99%,4.999%,而不是簡(jiǎn)單的一個(gè)±5%。
布朗運(yùn)動(dòng)
針對(duì)二叉樹(shù)模型的不足,人們發(fā)展出布朗運(yùn)動(dòng)這么一個(gè)理想化的模型。布朗運(yùn)動(dòng)使用了連續(xù)的時(shí)間和連續(xù)的收益率,即收益率服從正態(tài)分布,覆蓋了全體實(shí)數(shù),不再是簡(jiǎn)單地分為有限種可能性。
在此理想模型下,人們可以更為精準(zhǔn)地模擬股價(jià)的運(yùn)動(dòng)。
但是理想的模型,它的假設(shè)里面就包含了它最致命的不足——股票的收益真的服從正態(tài)分布嗎?這就引來(lái)了最大的爭(zhēng)議。說(shuō)它不服從吧,但其實(shí)也差不多;說(shuō)它服從吧,偏偏有差距的就是極端情況(也就是大漲大跌)出現(xiàn)的概率,你又不能視而不見(jiàn)。如下圖所示,這樣的特性人們稱(chēng)之為“厚尾性”,即兩端出現(xiàn)的概率比正態(tài)分布情況下出現(xiàn)的概率更高。
這個(gè)爭(zhēng)議至今仍未完結(jié),而目正反雙方不僅拿出了十分有說(shuō)服力的實(shí)例以證明己方的觀(guān)點(diǎn),更在自己觀(guān)點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展出了數(shù)不勝數(shù)的更加高深復(fù)雜的模型。這也正印證了統(tǒng)計(jì)學(xué)中最經(jīng)典的一句“所有模型都是錯(cuò)的,但總有一些是有用的”。
有心急的讀者要問(wèn)了,前面介紹了兩個(gè)模型,有用嗎?怎么預(yù)測(cè)股市?能賺多煳
那么不如再把前面的介紹再仔細(xì)地讀一遍,你會(huì)發(fā)現(xiàn),自始至終,我完全沒(méi)有提過(guò)“預(yù)測(cè)”這茬。這兩個(gè)模型準(zhǔn)確地描述了股票市場(chǎng)的不可預(yù)測(cè)性(很諷刺吧,既準(zhǔn)確,又不可預(yù)測(cè)),在此基礎(chǔ)上,才有了衍生品市場(chǎng)前所未有的繁榮,才有了各種金融產(chǎn)品的百花齊放。