高考數(shù)學(xué)新定義型試題賞析

張漢宇

2015年全國高考數(shù)學(xué)新定義型試題異彩紛呈，主要體現(xiàn)在新定義的概念，引入新的符號(hào)和定義新的運(yùn)算.這些題在全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，還著力考查學(xué)生的創(chuàng)新研究能力與學(xué)習(xí)潛力等綜合素質(zhì).本文對(duì)高考新定義型試題的三種題型進(jìn)行解析，揭秘其解題策略.

一、定義新的概念

例1.（2015湖北，理6）已知符號(hào)函數(shù)sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），則（ ? ? ? ?）

A.sgn[g（x）]=sgnx ? ? ? ? ? ? B.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）] ? ?D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解析：不妨令f（x）=x+1，a=2，則g（x）=f（x）-f（2x）=-x，則sgn[g（x）]=sgn（-x），排除A;sgn[f（x）]=sgn（x+1）是把x+1與0比較，排除C，D，故選B.

賞析：此題選自高等數(shù)學(xué)中“符號(hào)函數(shù)”編擬適合高中生的試題，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的和諧美.以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，定義一個(gè)新函數(shù)，要求學(xué)生深刻理解新函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì)，并能合理遷移運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)加以解決.此類問題較好地考查了學(xué)生的知識(shí)遷移能力、轉(zhuǎn)化能力，開發(fā)了學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的潛能，是備受高考命題者青睞的題型，例如2009年湖南理科第8題，2008年湖南文科第15題.

二、引入新的符號(hào)

例2.（2015山東，文14）定義運(yùn)算“？茚”：x？茚y=x，y∈R，xy≠0）.當(dāng)x>0，y>0時(shí)，x？茚y+（2y）？茚x的最小值為？搖 ?？搖？搖？搖.

解析：由已知定義可得x？茚y+（2y）？茚x=+=+，利用基本不等式可得x？茚y+（2y）？茚x的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立.

賞析：在高考試題中引入新的符號(hào)，通過定義一種新的運(yùn)算，考查學(xué)生的自學(xué)能力和探究能力，而這類題目給中學(xué)教師一種啟發(fā)，就是在實(shí)際教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力及自主探索的能力.

三、定義新的運(yùn)算

例3.（2015福建卷，理15）一個(gè)二元碼是由和組成的數(shù)字串x，x…x（n∈N），其中x（k=1，2，…，n）稱為第k位元碼.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生元碼錯(cuò)誤（即元碼由0變?yōu)?，或由1變?yōu)?）.

已知某種二元碼xx…x的元碼滿足如下校驗(yàn)方程組：

x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0

其中運(yùn)算定義為：0？茌0=0，0？茌1=1，1？茌0=1，1？茌1=0.

現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k為發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于？搖？搖？搖 ?？搖.

解析：將代入校驗(yàn)方程組依次驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)x有誤，即k=5.

賞析：本題所定義的運(yùn)算法則實(shí)質(zhì)上是計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，注重應(yīng)用意識(shí)，掌握計(jì)算機(jī)知識(shí)已成為現(xiàn)代公民的基本素養(yǎng)，對(duì)于新運(yùn)算應(yīng)該緊扣新運(yùn)算法則，通過推導(dǎo)判斷，從而獲得正確的結(jié)論.定義一種新的運(yùn)算，運(yùn)用新的運(yùn)算法則展開計(jì)算，考查學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的能力，體現(xiàn)了高考命題指出的“由知識(shí)立意向能力立意過渡”的指導(dǎo)思想.2008陜西理科第12題，2011湖南理科第16題均涉及二進(jìn)制.

解題策略：

首先要對(duì)新定義型試題進(jìn)行信息提取，明確新定義的符號(hào)和名稱;

其次仔細(xì)品味新定義的概念，運(yùn)算法則，對(duì)新定義型試題所提取出的信息進(jìn)行加工，探求解決方法，必要時(shí)可尋找相近知識(shí)點(diǎn)，然后明確他們的共同點(diǎn)及不同點(diǎn);

最后對(duì)新定義型試題中提出的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效的輸出，其中對(duì)定義信息中的提取和化歸轉(zhuǎn)化是解此類題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn).