例談在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)

黃卿征

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)建模提出了明確要求，強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親自經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。由此可見，在教學(xué)中不斷滲透數(shù)學(xué)建模思想，回歸實(shí)踐原野，追尋數(shù)學(xué)本真，促使學(xué)生逐步了解利用數(shù)學(xué)建模的思想和方法分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程，不斷提高他們建模聯(lián)想的能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力顯得尤其重要。下面我結(jié)合自己在初一數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)談幾點(diǎn)做法。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，滲透建模意識(shí)

在教學(xué)過(guò)程中，時(shí)常能遇到一些創(chuàng)設(shè)有關(guān)知識(shí)情境的問(wèn)題，這些問(wèn)題大多數(shù)可以結(jié)合數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感悟利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更濃厚的興趣。

【案例】在教義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（華師大版）數(shù)學(xué)初中一年級(jí)（七年級(jí)）（上）教材中，“有理數(shù)的加法”這一節(jié)的第一部分就是學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法法則，課文是按提出問(wèn)題……進(jìn)行實(shí)驗(yàn)……探索、概括的步驟得出法則的。教學(xué)中先給學(xué)生提出問(wèn)題：“一位同學(xué)在一條東西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的哪個(gè)方向？與原來(lái)位置相距多少？”然后讓學(xué)生回答出這個(gè)問(wèn)題的答案。（結(jié)果在實(shí)際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生所回答的答案中包括了全部可能的答案，這時(shí)我趁勢(shì)提問(wèn)回答出答案的同學(xué)是如何想出來(lái)的，并把他們的回答一一寫在黑板上，用1、2、3、4……區(qū)分出不同的分類情況。）在學(xué)生回答完之后，就可以順勢(shì)介紹數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)方法，并結(jié)合這個(gè)問(wèn)題介紹數(shù)學(xué)建模的一般步驟：首先，由問(wèn)題的意思可以知道求兩次運(yùn)動(dòng)的總結(jié)果，是用加法解答的；然后對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)假設(shè)：①先向東走，再向東走；②先向東走，再向西走；③先向西走，再向東走；④先向西走，再向西走。接下來(lái)根據(jù)四種假設(shè)的條件規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，列出算式分別進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)實(shí)際意思求出這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果。

最后引導(dǎo)學(xué)生觀察上述四個(gè)算式，歸納出有理數(shù)的加法法則。這樣一來(lái)，不僅可以使學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法法則，理解有理數(shù)的加法法則，而且在這個(gè)過(guò)程中使學(xué)生學(xué)習(xí)到了分類討論的數(shù)學(xué)方法，并且對(duì)數(shù)學(xué)建模有了初步印象，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。利用課本知識(shí)的教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，能夠使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模思想處理實(shí)際中的某些問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。

二、挖掘教材資源，強(qiáng)化建模意識(shí)

數(shù)學(xué)概念、公式、方程式和算法系統(tǒng)等都是數(shù)學(xué)專家從現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型不同于一般的模型，它是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬現(xiàn)實(shí)的一種模型，即把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中某些事物的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，近似地反映客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過(guò)程，可以說(shuō)，根據(jù)數(shù)學(xué)建模的思想一直貫穿在數(shù)學(xué)教材中。只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從中總結(jié)提煉，就能找到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的良好素材及最佳滲透時(shí)機(jī)。

【案例】華氏溫度=攝氏溫度×1.8+32，86℉相當(dāng)于多少℃？這是一道簡(jiǎn)單的列方程解應(yīng)用題，教學(xué)時(shí)對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改造，簡(jiǎn)要教學(xué)過(guò)程如下：

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

1.出示攝氏溫度和華氏溫度對(duì)照表。

2.猜一猜，你知道它們是如何換算的嗎？

（二）建立數(shù)學(xué)模型

1.填表：4℃相當(dāng)于多少℉？10℃呢？

2.交流：探索換算規(guī)律，用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)。

（每增加1℃，就增加1.8℉；華氏溫度比攝氏溫度的1.8倍還多32；華氏溫度=攝氏溫度×1.8+32）

3.建模：如果用x表示攝氏溫度，華氏溫度該怎么表示？（1.8x+32）

（三）應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

1.應(yīng)用：86℉相當(dāng)于多少℃？學(xué)生根據(jù)等量關(guān)系，列出方程并解答。（1.8x+32=86）

2.拓展：還有哪些問(wèn)題可以用這樣的方法解決？

上述案例中，教者以建模的思想組織數(shù)學(xué)材料，讓學(xué)生在材料的引領(lǐng)下構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生提供了充分的探索與實(shí)踐的機(jī)會(huì)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了分析問(wèn)題（找等量關(guān)系）—列出方程表示—解方程等過(guò)程。這樣的分解處理，既考慮到學(xué)生的建模意識(shí)和建模能力還處在啟蒙階段，避免“越位”和增加負(fù)擔(dān)，又發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，及時(shí)“補(bǔ)位”，提升了探索效益。學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過(guò)程中，較好地達(dá)到了“經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（方程）的過(guò)程，積累將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題‘?dāng)?shù)學(xué)化’的經(jīng)驗(yàn)，感受方程的思想方法及價(jià)值，發(fā)展抽象能力和符號(hào)感”這一過(guò)程性目標(biāo)。

三、歸納總結(jié)教材，提高建模能力

只要教師是有心人，經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)，課本中的數(shù)學(xué)問(wèn)題大都可挖掘出生活模型，生活模型又可關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)模型，選擇緊貼社會(huì)實(shí)際的典型問(wèn)題深入分析，逐漸開展初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)。通過(guò)歸納總結(jié)，逐步擴(kuò)展到讓學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一些實(shí)際結(jié)果，描述一些實(shí)際現(xiàn)象，模仿地解決一些比較確定的應(yīng)用問(wèn)題，進(jìn)而提升到能獨(dú)立地解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題（建模問(wèn)題等），最后發(fā)展成能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)、提出一些實(shí)際問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)建模的方法解決它。

【案例】在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（華師大版）數(shù)學(xué)初中一年級(jí)（七年級(jí)）（下）第6章《一元一次方程》教材中，為了在方程的應(yīng)用中體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想，在教學(xué)中我讓學(xué)生完成3個(gè)問(wèn)題：

1.尋找教材中編寫模型（方程）相同，但背景不同的應(yīng)用題。

如教材第11頁(yè)例7：學(xué)校團(tuán)委組織65名團(tuán)員為學(xué)校建花壇搬磚，初一同學(xué)每人搬6塊，其他年級(jí)同學(xué)每人搬8塊，總共搬了400塊.問(wèn)初一同學(xué)有多少人參加了搬磚？與本文提到的第11頁(yè)練習(xí)3；還有第16頁(yè)問(wèn)題3與第17頁(yè)練習(xí)1：為慶祝校運(yùn)會(huì)開幕，初一（2）班學(xué)生接受了制作小旗的任務(wù).原計(jì)劃一半同學(xué)參加制作，每天制作40面。完成了三分之一以后，全班同學(xué)一起參加，結(jié)果比原計(jì)劃提前一天半完成任務(wù)，假設(shè)每人的制作效率相同，問(wèn)共制作小旗多少面？顯然，若采用直接設(shè)元，則它們列出的方程相同.

2.給出模型（方程），讓學(xué)生添背景編題。

如第17頁(yè)練習(xí)3：編一道聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使所列的方程是3x+4（45-x）=150.對(duì)于這一模型的應(yīng)用題，上文中提到的第11頁(yè)例7可以算是它的一個(gè)原形，學(xué)生若能根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)及所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行編題，則可讓學(xué)生自由創(chuàng)作；若不能達(dá)到這一程度，則可以讓學(xué)生先模仿第11頁(yè)例7編題.

3.讓學(xué)生改換背景編題。

如第19頁(yè)習(xí)題6.3，3的第1題：試將下題內(nèi)容改為與我們?nèi)粘Ｉ?、學(xué)習(xí)有關(guān)的問(wèn)題，使所列的方程相同或相似：食堂存煤若干噸，原來(lái)每天燒煤3噸，用去15噸后，改進(jìn)設(shè)備，耗煤量改為原來(lái)的一半，結(jié)果多燒了10天，求原存煤量.

通過(guò)以上三個(gè)層次的編寫使學(xué)生更深刻地領(lǐng)會(huì)模型思想，懂得從千變?nèi)f化的問(wèn)題中尋找出共同點(diǎn)——數(shù)學(xué)模型。

總之，在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)教學(xué)中，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)要注重從生活實(shí)際出發(fā)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與性。對(duì)于許多讓學(xué)生感到無(wú)從入手的問(wèn)題，我們不能急于一時(shí)，要一步一步把這“建”的意識(shí)培養(yǎng)起來(lái)。因?yàn)閷W(xué)生出現(xiàn)的這些困難并不都是數(shù)學(xué)上的，更多的往往是生活經(jīng)驗(yàn)及相關(guān)知識(shí)的缺乏、或?qū)?wèn)題的興趣和專注程度等。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)建模教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)中，要注意以下幾點(diǎn)：（1）注意從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，小步子、低要求、分層遞進(jìn)。（2）注意結(jié)合正常教學(xué)的教材內(nèi)容。（3）注意建模過(guò)程的構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生思考的過(guò)程。（4）注意培養(yǎng)學(xué)生用建模的眼光看問(wèn)題。（5）選題要適當(dāng)，要有科學(xué)性、實(shí)用性、趣味性，要符合中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，與生活實(shí)際相聯(lián)系。在建模過(guò)程中要善于引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)實(shí)際問(wèn)題的現(xiàn)象，抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，尋求問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。