“旋轉(zhuǎn)型”相似的解題策略探究

王國俊

“旋轉(zhuǎn)型”相似是兩個三角形相似常見的基本圖形之一，本文對教材的例題、習(xí)題加以整合，讓我們一起來探索“旋轉(zhuǎn)型”相似常見的解題策略.

【引例】如圖1，△ABD與△CBE中，已知∠1=∠2，要使△ABD與△CBE相似，還需添加什么條件？

【分析】△ABD與△CBE有公共頂點B， △ABD可看成把△CBE繞點B旋轉(zhuǎn)某一角度，按一定比例縮放而形成的，這類基本圖形我們稱之為旋轉(zhuǎn)型相似，已知一組角對應(yīng)相等，只需再添加一對角，或這對角的兩邊對應(yīng)成比例.

解：可添加∠A=∠C或∠D=∠E或 = .

【拓展1】如圖2，△ABD與△CBE中，已知∠1=∠2，∠3=∠4，△DBE與△ABC相似嗎？為什么？

【分析】本題在引例的基礎(chǔ)上略有延伸，可以看出引例的基本圖形仍然存在，易證得△ABD∽△CBE，二者為旋轉(zhuǎn)型相似.△DBE與△ABC有公共頂點B，在公共頂點處的∠DBE與∠ABC可證得相等，只要再證一對角相等或夾∠DBE的兩邊和夾∠ABC的兩邊成比例，而夾∠DBE的兩邊和夾∠ABC的兩邊就是△ABD與△CBE的兩組對應(yīng)邊.

解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴△CBE∽△ABD，（兩角分別相等的兩三角形相似）

∴ = .（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）

又∵∠1=∠2，∴∠DBE=∠ABC，

在△DBE與△ABC中，

∵ = 且∠DBE=∠ABC，

∴△DBE∽△ABC.（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似）

【點評】利用旋轉(zhuǎn)型相似得出公共頂點處對應(yīng)邊成比例，最后證得新三角形相似.

【拓展2】如圖3，在直角三角形ABC中，∠A=30°，將其繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△A′B′C，在旋轉(zhuǎn)的過程中，邊A′C與邊AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE. 設(shè)AD=x，BE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】本題雖然是△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)，亦可以看作是△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，不難判斷△DEC和△ABC是旋轉(zhuǎn)型相似，則由△DEC和△ABC相似易證△CEB和△CDA相似，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

解：由題意得∠ECD=∠BCA， ∠A=∠A′，

∵DE∥A′B′，∴∠CDE=∠A′，

∴∠CDE=∠A.

又∵∠ECD=∠BCA，∴△DEC∽△ABC，

∴ = .

∵∠DCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACD.

∵ = 且∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，∴ = .

∵∠A=30°，

∴ = = ，∴y= x.

【點評】求線段之間的函數(shù)關(guān)系式常常利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來解決.

【拓展3】如圖4，矩形CEFG和矩形ABCD有公共頂點C，并且矩形CEFG∽矩形CDAB，連接BG、DE，交點為O，BG與邊CD相交于點H，判斷BG和DE的位置關(guān)系并說明理由.

【分析】判斷BG和DE的位置關(guān)系可以從角入手.本題中存在旋轉(zhuǎn)型相似矩形，則可以證得△BCG與△DCE相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可以得到∠CBG=∠CDE，如此則易證∠CDE+∠DHO=90°.

解：∵矩形CEFG～矩形CDAB，

∴∠BCD=∠GCE=90°， = ，

∴∠BCG=∠DCE.

在△BCG與△DCE中，

∵ = 且∠BCG=∠DCE，

∴△BCG∽△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHO=90°，

∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE.

【點評】本題條件變成了矩形相似，根據(jù)相似的性質(zhì)仍然可得對應(yīng)邊成比例，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明新三角形相似，然后可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等解決角的關(guān)系.

【總結(jié)】旋轉(zhuǎn)型相似往往會出現(xiàn)兩次相似的證明，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似是旋轉(zhuǎn)型相似第二次相似中常用的證明方法之一，審題的關(guān)鍵是抓住公共點處的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，此類問題的第二次相似常利用由旋轉(zhuǎn)型相似證得的對應(yīng)邊成比例.可以歸納成：旋轉(zhuǎn)型兩三角形相似→對應(yīng)邊成比例→新三角形的兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等→新三角形相似→新三角形的對應(yīng)邊成比例或?qū)?yīng)角相等解決問題.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)直溪初級中學(xué)）