由表及里方能表里如一

陸雅

一、緣起

2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“數(shù)學(xué)思考”列入四大目標(biāo)之中。而“數(shù)學(xué)思考”與“數(shù)學(xué)表達(dá)”是相依相存的。從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，“數(shù)學(xué)思考”就是學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)、問(wèn)題的內(nèi)部表征?！皵?shù)學(xué)表達(dá)”則是學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)、問(wèn)題的外部表征。

美國(guó)2000年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確地將“數(shù)學(xué)表示”作為十條標(biāo)準(zhǔn)之一，該標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“數(shù)學(xué)表示”明確提出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視數(shù)學(xué)表示，以促進(jìn)對(duì)于數(shù)學(xué)的理解，使全體學(xué)生能夠———

創(chuàng)造和應(yīng)用數(shù)學(xué)表示來(lái)組織、記錄和交流數(shù)學(xué)思想；

恰當(dāng)?shù)剡x擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)表示來(lái)解決問(wèn)題；

運(yùn)用數(shù)學(xué)表示對(duì)物理、社會(huì)和數(shù)學(xué)的現(xiàn)象進(jìn)行建模與解釋。

由此不難分析出“表征”的重要價(jià)值：簡(jiǎn)化問(wèn)題使問(wèn)題可解、暴露思維過(guò)程便于交流和研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問(wèn)題。

研究學(xué)生的思維表征形式與能力水平，是教學(xué)設(shè)計(jì)的重要組成部分，是走向有效教學(xué)的正確途徑。

我們選擇“表內(nèi)除法”這一內(nèi)容進(jìn)行研究，是因?yàn)橛?jì)算教學(xué)尤其是基本口算教學(xué)是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)必備的知識(shí)技能。隨著數(shù)學(xué)課程目標(biāo)從“雙基”向“四基”轉(zhuǎn)變，口算教學(xué)也承載起實(shí)現(xiàn)顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)的重任，體現(xiàn)更豐厚的教學(xué)價(jià)值。而實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)途徑日益擴(kuò)展， “未教先會(huì)”的不在少數(shù)。那么對(duì)于除法及口訣求商，學(xué)生已經(jīng)會(huì)了什么？他們了解除法算式的意義嗎？他們對(duì)求商有哪些自己的表征形式？學(xué)習(xí)的困難在哪里？帶著這些問(wèn)題，我們對(duì)二年級(jí)5個(gè)班級(jí)216名學(xué)生展開(kāi)了測(cè)查。

二、測(cè)查

測(cè)查的時(shí)間節(jié)點(diǎn)放在二年級(jí)上冊(cè)教學(xué)完成之后，在“表內(nèi)除法（一）”教學(xué)之前。主要測(cè)查學(xué)生對(duì)除法含義的理解程度和口訣求商思維的表征形式。

【測(cè)查題目】

這樣的算式，你是怎么想的？可以把你的想法寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)。

6÷2=（ ） 20÷5=（ ）

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，不同表征形式的比重差異很大。圖形表征是學(xué)生采用最多的方式，超過(guò)25%；其次是算式表征，超過(guò)13%；有超過(guò)8%的學(xué)生采用兩種及以上的表征方式；運(yùn)用實(shí)物表征和文字表征的學(xué)生分別只有4%左右（見(jiàn)表1）。

有研究者將知識(shí)的主要表征方式總結(jié)為書(shū)面符號(hào)表征、圖形表征、情境表征、操作模式表征、語(yǔ)言表征等，而這一系列的表征方式共同構(gòu)成了表征系統(tǒng)，它們之間不一定存在先后的發(fā)展次序，但需要關(guān)注的是它們之間的轉(zhuǎn)換和相互影響（如圖1），而且，這種轉(zhuǎn)換和影響對(duì)學(xué)生的概念形成和理解有重要的作用。一般地，操作模式表征和實(shí)際生活情境表征屬于形象表征，圖形表征屬于半抽象表征，文字符號(hào)表征和口語(yǔ)符號(hào)表征屬于抽象表征。

在認(rèn)知心理學(xué)理論的指導(dǎo)下，結(jié)合二年級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，我們把除法及口訣求商的表征形式，分成行為表征、實(shí)物（圖）表征、圖形（表）表征、文字符號(hào)表征和混合表征這五種。行為表征是指用擺、分、畫(huà)、圈等具體操作活動(dòng)進(jìn)行理解的表征形式。實(shí)物（圖）表征是指用蘋(píng)果、草莓、盤(pán)子等實(shí)物（圖）形式進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋。用圓、三角形等幾何圖形說(shuō)明或者以圖表方式說(shuō)明的稱(chēng)為圖形（表）表征。而像“除法就是乘法倒過(guò)來(lái)”等這樣以語(yǔ)言文字描述的稱(chēng)為文字表征，以乘法或除法算式表示的稱(chēng)為算式表征，算式表征和語(yǔ)言文字表征統(tǒng)稱(chēng)為文字符號(hào)表征。運(yùn)用兩種（及以上）形式進(jìn)行表征的稱(chēng)為混合表征。

在對(duì)學(xué)生的材料進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，由于書(shū)面測(cè)查的局限性，我們無(wú)法清楚準(zhǔn)確地判定行為表征?；蛘哒f(shuō)，行為表征總是伴隨著其他表征形式。因此，我們沒(méi)有單獨(dú)統(tǒng)計(jì)行為表征。而文字表征和算式表征雖同屬于文字符號(hào)表征，但是在思維層面上存在差異性，對(duì)此我們分別進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。

當(dāng)然，同一種表征形式，有正確表征和錯(cuò)誤表征之分。我們認(rèn)為，口訣求商正確表征應(yīng)該能反映兩點(diǎn)：一是除法的含義；二是除法運(yùn)算的意義。

口訣求商思維的表征形式，實(shí)質(zhì)上反映了學(xué)生對(duì)除法含義的理解。除法是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算之一，等分除和包含除是除法的兩種含義。將一個(gè)數(shù)等分成若干份，求每一份是多少的算法稱(chēng)為等分除法，即先確定等分的份數(shù)，再確定每份數(shù)（見(jiàn)圖2）。求一個(gè)數(shù)里包含著多少個(gè)另一個(gè)數(shù)，即求一個(gè)大數(shù)是一個(gè)小數(shù)的多少倍的算法稱(chēng)為包含除法（只有在大數(shù)能被小數(shù)整除時(shí)才有意義），亦即先確定每份是多少，再確定有這樣的幾份（見(jiàn)圖3）。

除法運(yùn)算的意義是相對(duì)乘法提出的，即已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。除法是乘法的逆運(yùn)算，因此，想乘算除，具體地說(shuō)，就是以乘法算式、乘法口訣和乘法的意義表征除法求商，是符合邏輯的思維形式。除此之外的表征是錯(cuò)誤表征。

我們分別對(duì)兩道算式的正確表征率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)圖4、圖5）。

測(cè)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)，兩道算式的正確表征率均接近50%，其中6÷2的正確表征率略高于20÷5。

測(cè)查統(tǒng)計(jì)給我們的信息是：將近50%的學(xué)生已經(jīng)有關(guān)于除法的初步概念，甚至是上位知識(shí)（即除法學(xué)習(xí)的后續(xù)知識(shí)），比如有一個(gè)學(xué)生提到“倍”的概念，有兩個(gè)學(xué)生列出除法豎式。并且，學(xué)生對(duì)于除法及求商的表征形式是多樣的，反映出他們對(duì)除法的含義認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)是十分復(fù)雜的，除法求商的策略不是唯一的。這些都是我們需要進(jìn)一步分析的真實(shí)的學(xué)情。

三、分析

我們可以肯定，二年級(jí)學(xué)生的思維表征水平處于形象表征和半抽象表征水平。（需要注意：超過(guò)50%的學(xué)生對(duì)測(cè)查題無(wú)法正確表征）在一系列的正確表征和錯(cuò)誤表征背后，學(xué)生的思維水平呈現(xiàn)出一定的梯度。

結(jié)合對(duì)部分學(xué)生訪談，我們?cè)噷?duì)學(xué)生學(xué)習(xí)除法前口訣求商思維水平進(jìn)行分層。

水平1：無(wú)意義水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為無(wú)意義的圖形或算式，包括空白無(wú)填寫(xiě)（如圖6）。

筆者對(duì)該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你的圖很有意思，能說(shuō)說(shuō)表示什么嗎？

生：嗯……不知道……我不會(huì)。

該水平的學(xué)生還沒(méi)有除法的初步概念，不認(rèn)識(shí)除法，或者聽(tīng)說(shuō)過(guò)但完全不理解。

水平2：負(fù)遷移水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為受到以往所學(xué)知識(shí)包括形式上和意義上的消極影響（如圖7）。

筆者對(duì)該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你的圖很有意思，能說(shuō)說(shuō)表示什么嗎？

生：我本來(lái)是想畫(huà)4個(gè)的，看到同桌畫(huà)了3個(gè)，就改了。

筆者：你想把6分成4和2，對(duì)嗎？

生：是的。

筆者：把6分成4和2，可以用什么方法？

生：減法。

筆者：那這種運(yùn)算方法你見(jiàn)過(guò)嗎？

生：這是除法，我不知道怎么算。

該水平的學(xué)生受到減法運(yùn)算的影響，類(lèi)似地，還有把除法理解成乘法，把6÷2理解成6個(gè)2相加的。他們?cè)噲D把新知納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題。

水平3：平均分水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為具有“平均分”的概念（見(jiàn)圖8、圖9）。

該水平的學(xué)生有初步的平均分的想法，但不會(huì)表達(dá)，還未形成完整的認(rèn)識(shí)，也沒(méi)有形成除法的正確認(rèn)知。

水平4：上位解釋水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用后續(xù)的知識(shí)解釋除法運(yùn)算（見(jiàn)圖10、圖11）。

筆者對(duì)該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你寫(xiě)得很特別，是什么？

生：這是豎式。就是四五二十，然后再四五二十，20減20就是0。所以20÷5=4。

筆者：你能用口訣來(lái)計(jì)算除法，很棒！你剛才說(shuō)了兩次四五二十，為什么？

生（想了一會(huì)兒）：就是這樣算的，說(shuō)不清楚。

還有學(xué)生用“倍”解釋。筆者對(duì)該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你用不同的方法計(jì)算，真好！ “2的3倍是6”，是什么意思？

生：就是2×3=6，2個(gè)3是6。

筆者（出示圖12）：這幅圖你怎么想？

生：三角形有3個(gè)，圓有6個(gè)，三角形比圓少3個(gè)。嗯，有3個(gè)3。

該水平的學(xué)生已經(jīng)接觸除法的上位數(shù)學(xué)知識(shí)，并在形式上進(jìn)行接受和理解。但實(shí)質(zhì)上，對(duì)深層的意義理解是不到位的。同時(shí)，對(duì)除法的理解也是不到位的。

水平5：乘除聯(lián)系型水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用乘法（尤其是乘法算式）計(jì)算除法（見(jiàn)圖13），也有部分學(xué)生用文字描述“我知道乘法就像除法反了一下”“把乘法倒過(guò)來(lái)就是除法”等等。

該水平的學(xué)生對(duì)乘除這兩種互逆的運(yùn)算有一種自發(fā)的敏感性，初步理解兩種運(yùn)算的關(guān)系。他們從聯(lián)系的角度來(lái)思考除法求商，體現(xiàn)了對(duì)除法運(yùn)算的意義“已知兩數(shù)之積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算”的初步感知。

水平6：意義解釋型水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用除法“分”的含義表征口訣求商的過(guò)程（見(jiàn)圖14、圖15）。

該水平的學(xué)生是從“平均分”的角度來(lái)思考問(wèn)題并加以表征解釋的。圖14和圖15分別是等分除和包含除的典型作品。通過(guò)訪談，這部分學(xué)生能清楚、準(zhǔn)確地表述自己所畫(huà)圖意。如畫(huà)圖14的學(xué)生認(rèn)為“6÷2就是把6個(gè)圓平均分成2份，每份是3個(gè)圓”。畫(huà)圖15的學(xué)生認(rèn)為“6÷2就是把6個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)2個(gè)地分，分成3盤(pán)”。但是這一水平的學(xué)生還無(wú)法把兩種含義用同一個(gè)算式表示，如畫(huà)圖14的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該用6÷3=2來(lái)表示圖15。

水平7：概念理解型水平。處于這一水平的學(xué)生作業(yè)表現(xiàn)為用多種表征形式理解除法求商的過(guò)程，并能理解同一個(gè)算式可以有不同的表征和解釋?zhuān)ㄒ?jiàn)圖16）。

筆者對(duì)該學(xué)生的訪談如下：

筆者：你畫(huà)的圖很有趣，話(huà)說(shuō)得很清楚。你看看這個(gè)小朋友畫(huà)的（圖17），你覺(jué)得他畫(huà)得對(duì)嗎？

生：他畫(huà)得對(duì)。他把6分成2個(gè)3，就是要把6個(gè)蘋(píng)果分成2份，每份就是3個(gè)蘋(píng)果。

筆者：和你畫(huà)的圖比較一下。

生：我是2個(gè)2個(gè)地分，分成3份。他是分成2份，每份就是3個(gè)。

筆者：這兩個(gè)“2”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。他是有2份，我是每份有2個(gè)。

生：我知道了，乘法可以畫(huà)出兩幅圖，除法也可以。

該水平的學(xué)生對(duì)除法的兩種含義區(qū)分清楚，明確每份數(shù)和份數(shù)的不同。并且能和乘法溝通聯(lián)系。他們具有在形象表征、半抽象表征和抽象表征之間自由轉(zhuǎn)換的能力。

由于筆者的水平和訪談面有限，我們把學(xué)習(xí)除法前口訣求商思維水平分為七個(gè)層次。前四個(gè)層次是錯(cuò)誤表征水平，后三個(gè)層次是正確表征水平。不同的思維表征水平，既是教師教學(xué)的豐富資源，或許也會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)新知的牽絆，需要我們教師挖掘、組織，以利于進(jìn)一步的有效學(xué)習(xí)。

四、建議

（一）從行為表征、實(shí)物（圖）表征、圖形（表）表征到文字符號(hào)表征是學(xué)生理解除法含義的一般途徑和必然過(guò)程

上述行文中我們探究了學(xué)生除法求商的思維表征形式和水平層次。那么現(xiàn)行教材是如何編排的？是否體現(xiàn)了學(xué)生概念形成的規(guī)律性？我們以人教版、蘇教版、北師大版3個(gè)版本的教材為例，整理了例題中關(guān)于除法及口訣求商的表征形式出現(xiàn)的次數(shù)百分比（見(jiàn)圖18），并整理了習(xí)題中相應(yīng)表征形式的題數(shù)百分比（見(jiàn)圖19）。人教版和蘇教版這一單元中沒(méi)有教學(xué)“倍”的認(rèn)識(shí)，而北師大版加入了“倍”的內(nèi)容。為便于比較，北師大版有關(guān)“倍”的例題和習(xí)題均未列入統(tǒng)計(jì)。（事實(shí)上，大多數(shù)題都是幾種表征形式混合的。統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們以“偏向于哪種表征形式”為標(biāo)準(zhǔn)，比如把圖片分一分，我們歸到行為表征）

二年級(jí)學(xué)生的思維處于形象思維階段，教材例題中安排了大量的行為表征形式，讓學(xué)生動(dòng)手分一分、擺一擺、圈一圈、畫(huà)一畫(huà)，在實(shí)踐活動(dòng)中，形成豐富的表象，充分積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步抽象出除法的含義。相比較，北師大版重視半抽象表征的過(guò)程，有超過(guò)20%的圖形表征形式，尤其是運(yùn)用了不少圖表。而蘇教版的圖形表征都結(jié)合著行為表征，因此行為表征的次數(shù)百分比最高。

在習(xí)題編制上，蘇教版和北師大版中實(shí)物（圖）表征的題數(shù)百分比較高，而人教版文字符號(hào)表征的題數(shù)百分比遠(yuǎn)高于其他表征形式?？梢?jiàn)，北師大版突出形象表征，人教版更關(guān)注文字符號(hào)表征。

從前文實(shí)際測(cè)查結(jié)果看，只有4%的學(xué)生采用實(shí)物（圖）表征形式，而圖形（表）表征、文字表征和算式表征的百分比遠(yuǎn)高于此。我們建議，教學(xué)中可以適當(dāng)加快實(shí)物（圖）表征頻率，適當(dāng)加強(qiáng)對(duì)半抽象的圖形（表）表征的理解。

（二）因思維表征形式和水平層次的不同實(shí)施分層教學(xué)

數(shù)學(xué)表征能力與問(wèn)題解決的正相關(guān)已經(jīng)得到證實(shí)。如何提升學(xué)生的表征能力和思維水平？我們建議分層教學(xué)。分層教學(xué)包括兩個(gè)層面：一是課時(shí)分層，即每一課時(shí)有側(cè)重；二是課堂分層，在一堂課的教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的不同起點(diǎn)，使不同的學(xué)生都能獲得良好的發(fā)展。

1.課時(shí)分層，用3個(gè)新授課時(shí)完成教學(xué)

第一課時(shí)“分一分”，在大量的操作活動(dòng)中知道有不同的分法：先確定分成幾份，或者先確定每份幾個(gè)。通過(guò)觀察比較明確“平均分”的概念?？梢哉?qǐng)思維水平層次高的學(xué)生做“小老師”，協(xié)助思維水平層次低的學(xué)生。這一階段以行為表征為主。

第二課時(shí)“認(rèn)識(shí)除法”，理解“每份一樣多，分成幾份”這樣的過(guò)程和結(jié)果可以用除法算式表示。接下來(lái)出示除法算式，讓學(xué)生用不同形式的表征，進(jìn)一步理解“等分除”與“包含除”的含義。這一階段以圖形（表）表征為主。

第三課時(shí)“口訣求商”。在前兩課時(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生理解除法的含義，可以將落腳點(diǎn)放在“求商”上，引導(dǎo)學(xué)生掌握“求商”的方法，再突出乘法口訣的價(jià)值。數(shù)學(xué)是研究關(guān)系的學(xué)科，“求商”教學(xué)可突出除法與減法、除法與乘法的關(guān)系。這一階段引導(dǎo)學(xué)生以文字符號(hào)表征為主。

2.課堂分層：對(duì)不同思維水平的學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練

對(duì)處于水平7的學(xué)生要提高其對(duì)除法含義的理解和口訣求商靈活應(yīng)用能力，在理解中重視表征形式的轉(zhuǎn)換，用不同的表征形式內(nèi)化知識(shí)、深化理解。比如，在習(xí)題中可以增加類(lèi)似這樣的題目：寫(xiě)一寫(xiě)除法算式12÷3所表示的意義；編一道可以用12÷3解決的生活問(wèn)題；用一幅圖編乘除法三道題等。這樣的題目可以考查學(xué)生對(duì)乘除關(guān)系的理解程度，也有助于學(xué)生辨別等分除與包含除的不同意義，加深對(duì)除法含義的真正理解。同時(shí)，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)處于水平5和水平6的學(xué)生，可以加快從形象表征到半抽象表征的過(guò)渡。鼓勵(lì)他們用多種形式進(jìn)行表征，達(dá)到對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用。在教學(xué)中，引導(dǎo)他們從不同的角度看同一幅圖，細(xì)化等分除和包含除的異同之處，感悟、體會(huì)除法的兩種含義。增加辨析等分除和包含除的練習(xí)，比如通過(guò)解決問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，還可指導(dǎo)學(xué)生把除的方法和結(jié)果用具體形象區(qū)分開(kāi)來(lái)。如：①把18平均分成3份，每份是多少？②18里面有幾個(gè)3？分別讓學(xué)生先用小棒擺，再用算式表示。

對(duì)處于水平1至水平4的學(xué)生，要在行為表征階段反復(fù)操練，通過(guò)大量的動(dòng)手操作，逐漸形成對(duì)除法含義的認(rèn)識(shí)。避免乘法和減法的負(fù)遷移影響?？梢栽诎木唧w操作中，體會(huì)除法是同數(shù)連減，感悟除法與減法的關(guān)系，以區(qū)別一步減法。反復(fù)明確乘除互逆的關(guān)系，要適當(dāng)增加類(lèi)似于這樣的練習(xí)：根據(jù)一幅圖，寫(xiě)出一道乘法算式和兩道除法算式；根據(jù)一句口訣，寫(xiě)出三道乘除法算式；把同數(shù)連加寫(xiě)成乘法，把同數(shù)連減寫(xiě)成除法等。從而達(dá)到理解用口訣求商的目標(biāo)，能比較熟練地應(yīng)用口訣求商。

從下面這個(gè)“口訣求商”的教學(xué)片段，我們可以看到教師是如何遵循起點(diǎn)、發(fā)展思維的。

師：今天我們來(lái)研究怎樣求商。（出示8÷2，很多學(xué)生報(bào)出了結(jié)果，商是4）

師：怎么想的？

生：我想到 2×4=8，所以8÷2=4。

生：二四得八，所以 8÷2=4。

生：除法就是將乘法倒過(guò)來(lái)了。

（繼續(xù)出示幾道除法算式，學(xué)生報(bào)出商）

師（出示12÷3）：我們知道乘法和加法有聯(lián)系，加法和減法有聯(lián)系，你覺(jué)得除法和誰(shuí)有聯(lián)系呢？

生：和乘法有聯(lián)系。

生：用乘法口訣可以算出得數(shù)。

師：除法還和誰(shuí)有關(guān)系呢？

生：和減法有關(guān)系，就是從12里將3分出去，一直分到?jīng)]有。

師：（順勢(shì)畫(huà)圖）我?guī)湍阍趫D上表示出來(lái)。先找到 12，然后從12里分3，一直分到?jīng)]有。你是怎么找到商的？

生：減去了幾次，商就是幾。

師：講得非常好。我們還可以用減法直接來(lái)算。（板書(shū)：12-3=9，9-3=6，6-3=3，3-3=0）一直減到不能減了，減了4次，12里有4個(gè)3，12÷3=4。請(qǐng)聽(tīng)明白的學(xué)生再舉個(gè)例子，如12÷4，用減法求出商。

教師又出示了88÷11，無(wú)法用口訣口算，檢驗(yàn)學(xué)生是否會(huì)自己求出商。解決問(wèn)題過(guò)程中學(xué)生對(duì)求商有了初步的認(rèn)識(shí)。

師：（回顧）現(xiàn)在你會(huì)求商了嗎？

師：覺(jué)得哪種方法好？

生：用乘法口訣求商很快，用減法太麻煩了。

生：乘法口訣要記熟了，求商就快了。

生：如果數(shù)字不太大，我們可以用減法算，看被除數(shù)里有多少個(gè)除數(shù)，商就是多少。

（三）理性對(duì)待學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)最有效的方法是把握學(xué)生已經(jīng)知道了什么，同時(shí)把握新知是以哪些舊知為基礎(chǔ)，是哪些舊知的拓展和延伸。但是我們不得不承認(rèn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)越過(guò)我們的教學(xué)，是一件棘手的事情。

測(cè)查中出現(xiàn)了兩個(gè)除法算式，一個(gè)是正確的（見(jiàn)圖10），一個(gè)是錯(cuò)誤的（見(jiàn)圖20）。前者從父母處得知除法豎式中的正確列法，而后者是學(xué)生自己從加法、減法豎式中推理得出。前者會(huì)列除法豎式，但無(wú)法解釋為什么這樣列豎式。也就是說(shuō)，這個(gè)學(xué)生把握了“形”，但沒(méi)有抓住“本”。我們很難界定前者的學(xué)習(xí)必定優(yōu)于后者。而且我們有理由這樣推測(cè)：前者進(jìn)行了大量的接受性學(xué)習(xí)， 而后者卻是在自主探索的過(guò)程中。

又如關(guān)于“倍”的認(rèn)識(shí)，學(xué)生能明白“2的3倍是6”與2×3=6的關(guān)系。但是我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于倍的認(rèn)識(shí)是不完整的。他們雖然從數(shù)量上把握了“倍”的大小，卻沒(méi)有“比”的概念。我們常說(shuō)“倍比”，也就是說(shuō)“倍”的概念是在“兩個(gè)量”的比較中發(fā)生的。

諸如此類(lèi)，都提醒我們，要慎重地、理性地對(duì)待學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，學(xué)生在學(xué)習(xí)除法前口訣求商的表征形式十分豐富，而相應(yīng)地，教材也遵循學(xué)生概念形成的一般規(guī)律，采取多樣的表征形式。數(shù)學(xué)表征的過(guò)程可以看成是數(shù)學(xué)化的過(guò)程，就是學(xué)會(huì)表征并應(yīng)用表征解決問(wèn)題，荷蘭數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾認(rèn)為“與其說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)表征可以使隱性的思維外顯，暴露學(xué)生的思維過(guò)程，便于交流和研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問(wèn)題。由表及里，方能表里如一，從而走向深層次的學(xué)習(xí)。而在教師教學(xué)層面，我們應(yīng)認(rèn)識(shí)到學(xué)生的思維水平存在層次性，從而理性地把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，促使學(xué)習(xí)真正的發(fā)生！

（注：作者系朱樂(lè)平名師工作室成員）

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)煉化小學(xué) 315207）