掌握好有理數(shù)的相關(guān)概念是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的基石

張強(qiáng)勝

概念一：正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

（1） 像3、1.5、584等大于0的數(shù)，叫作正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大.

（2） 像-3、-1.5、-584等在正數(shù)前面加“-”（讀作負(fù)）號(hào)的數(shù)，叫作負(fù)數(shù). 負(fù)數(shù)比0小.

（3） 0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界.

【注意】①正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的，隨著社會(huì)的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要，比如一些有相反意義的量：收入100元和支出100元、零上6 ℃和零下6 ℃等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù).

用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣地把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù).

②為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時(shí)也可以加上“+”（讀作正）號(hào).

例如：3、1.5也可以寫作+3、+1.5.

③對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).

例如：-a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定，因?yàn)樽帜竌可以表示任意的數(shù).若a表示的是正數(shù)3，則-a是負(fù)數(shù)-3；若a表示的是0，則-a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)-2時(shí)，-a就不是負(fù)數(shù)了（此時(shí)-a是正數(shù)2）.

【應(yīng)用】若把向北走7 km記為-7 km，則+10 km表示的含義是（ ）.

A. 向北走10 km B. 向西走10 km

C. 向東走10 km D. 向南走10 km

【思路點(diǎn)撥】“正”和“負(fù)”相對(duì)，-7 km表示向北走7 km，則+10 km表示向南走10 km.

【答案】D.

【總結(jié)】在一對(duì)具有相反意義的量中，若先規(guī)定一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示；若先規(guī)定一個(gè)為負(fù)，則另一個(gè)就用正表示.

概念二：有理數(shù)和無理數(shù)的有關(guān)概念

（1） 有理數(shù)：我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫作有理數(shù).

【注意】①“分?jǐn)?shù)形式”，整數(shù)也可以看作是分母為1的分?jǐn)?shù)形式，這時(shí)的分?jǐn)?shù)形式包括整數(shù).

但是本節(jié)中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù).

②因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù).

③“0”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù).

④整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù). 例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等.

⑤分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如： 0.6、-0.6等.

（2） 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).

【注意】①無理數(shù)應(yīng)該滿足的條件：是小數(shù)、是不循環(huán)的、是無限的.

②小數(shù)的范圍大，小數(shù)中既有有理數(shù)也有無理數(shù)，其中有限小數(shù)都是有理數(shù)，而無限小數(shù)又分為兩類：其中循環(huán)的還是有理數(shù)，不循環(huán)的才是無理數(shù).

③無理數(shù)常見形式：（1） 含有π，也就是3.141 592 6……這類的，只要和π有關(guān)系的基本上都是無理數(shù)（計(jì)算結(jié)果π不能消失）. （2） 描述型的，如“面積是2的正方形的邊長”.（3） 構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù)：如0.101 001 000 100 001……，它有規(guī)律，但是這個(gè)規(guī)律是不循環(huán)的，每次都多一個(gè)0，它是無限不循環(huán)小數(shù)，當(dāng)然是無理數(shù). 但是無限循環(huán)小數(shù)不是無理數(shù).

（3） 有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成整數(shù)、有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0，=0.8，=0.333 33……. 而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如1.414 213 562……. 根據(jù)這一點(diǎn)，人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù).

②無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

【注意】有理數(shù)≠無理數(shù).

【應(yīng)用】請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里. 1， 0.070 8， -700， -3.88， 0， 3.141 592 65.

正整數(shù)集合：{ …}

負(fù)整數(shù)集合：{ …}

整數(shù)集合：{ …}

正分?jǐn)?shù)集合：{ …}

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{ …}

分?jǐn)?shù)集合：{ …}

【思路點(diǎn)撥】這種關(guān)于有理數(shù)的分類問題，關(guān)鍵是要掌握各種數(shù)的概念. 小學(xué)時(shí)所學(xué)的自然數(shù)就是正整數(shù)和零，進(jìn)入中學(xué)，出現(xiàn)了負(fù)整數(shù)，而整數(shù)的范圍就擴(kuò)大到了正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù). 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，因此，它們都是分?jǐn)?shù).

【解析】正整數(shù)：1；

負(fù)整數(shù)：-700；

整數(shù)：1，0，-700；

正分?jǐn)?shù)：0.070 8，3.141 592 65；

負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88；

分?jǐn)?shù)：0.070 8，3.141 592 65，-3.88.

【總結(jié)升華】有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)包含有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，但須注意的是，不是所有的小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，比如π等無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù). 所以，我們也不能說小學(xué)學(xué)過的所有數(shù)都是有理數(shù)，還有一部分?jǐn)?shù)是無理數(shù).

概念三：數(shù)軸的概念

（1） 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸

【注意】①數(shù)軸的定義包含三層含義：數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數(shù)軸有三要素——原點(diǎn)、正方向、單位長度，三者缺一不可；原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）.

②在確定單位長度時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)（或更多的）單位長度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向右，依次表示為2，4，

6，……；從原點(diǎn)向左，依次表示為-2，-4，-6，…….

（2） 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)、無理數(shù)的關(guān)系

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，反過來，不能說數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù).

【要點(diǎn)詮釋】正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.

（3） 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大. 正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

【應(yīng)用】數(shù)軸上有一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是5.5，那么這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是_________.

【思路點(diǎn)撥】到原點(diǎn)的距離等于5.5 的點(diǎn)既可以在原點(diǎn)左邊，也可以在原點(diǎn)右邊，因此這樣的點(diǎn)有兩個(gè).

【解析】5.5或-5.5.

【總結(jié)】與數(shù)軸相關(guān)的問題還有數(shù)軸的畫法以及借助數(shù)軸來比較有理數(shù)的大小.

概念四：絕對(duì)值的概念

（1） 絕對(duì)值的幾何定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，數(shù)a的絕對(duì)值記作a.

（2） 絕對(duì)值的代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

概念五：相反數(shù)的概念

（1） 相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫作互為相反數(shù).

（2） 相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)（除了符號(hào)不同以外完全相同），我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

【注意】①“只”字是說僅僅是符號(hào)不同，其他部分完全相同；②相反數(shù)是數(shù)，不是量；③相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的.

（3） 相反數(shù)的表示方法

一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a. 這里a表示任意的一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者0.

（4） 多重符號(hào)的化簡

把多重符號(hào)化成單一符號(hào)，如果是正號(hào)，則可以省略不寫，實(shí)際上多重符號(hào)的化簡是由“-”的個(gè)數(shù)來定，若“-”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為正，如-{-[-（-4）]}=4；若“-”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為負(fù)，如-{+[-（-4）]}=-4 .

①在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”號(hào)，仍然與原數(shù)相同，如+5=5，+（-5）=-5.

②在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“-”號(hào)，就成為原數(shù)的相反數(shù). 如-（-3）就是-3的相反數(shù)，因此，-（-3）=3.

（5） 兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較

因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)的左邊，所以，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小. 比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法是：①先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；②比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大小；③根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷.

（6） 有理數(shù)大小的比較法則

正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.

【應(yīng)用】（1） 數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3，那么與A相距1個(gè)單位長度的點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是_________.

（2） 3的相反數(shù)是_________，-3與_________互為相反數(shù).

（3） -m的相反數(shù)是______，-m+1的相反數(shù)是______，m+1的相反數(shù)是________.

（4） 0的相反數(shù)是_________.

（5） 已知a=9，那么a的相反數(shù)是_______.已知a=-9，則a的相反數(shù)是_______.

【思路點(diǎn)撥】（1） 代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)是0. 相反數(shù)必須成對(duì)出現(xiàn)，不能單獨(dú)存在. 例如+5和-5互為相反數(shù)，或者說+5是-5的相反數(shù)，-5是+5的相反數(shù)，而單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù). 另外，定義中的“只有”指除符號(hào)以外，兩個(gè)數(shù)完全相同，注意應(yīng)與“只要符號(hào)不同”區(qū)分開. 例如，+3與-3互為相反數(shù)，而+3與-2雖然符號(hào)不同，但它們不是相反數(shù).

（2） 幾何意義：一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等. 這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

（3） 求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“-”號(hào)即可. 一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a；這里以a表示任意一個(gè)數(shù)，可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個(gè)代數(shù)式. 注意-a不一定是負(fù)數(shù).

【解析】（1） -4或-2；（2） -3，3；（3） m，-（-m+1），-（m+1）；（4） 0；（5） -9， 9.

【總結(jié)升華】求相反數(shù)時(shí)，要緊緊抓住“只有符號(hào)不同”這一條件，即“符號(hào)不同而數(shù)字相同”的兩個(gè)數(shù).

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學(xué)校）