“圓”中的實(shí)用結(jié)論與公式

薛飛

圓是最完美的平面圖形，在“對(duì)稱圖形——圓”這一章中我們學(xué)習(xí)了“等”對(duì)“等”定理、垂徑定理、圓周角定理，這些定理能夠幫助我們解決絕大部分問(wèn)題，當(dāng)然這一章中還有一些我們不知道但是非常實(shí)用的結(jié)論及公式.

1. 圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角.

如圖1，以BC為直徑的圓上有一點(diǎn)A（異于B，C兩點(diǎn)），那么∠BAC=90°.

由此猜想：如果點(diǎn)A在圓內(nèi)（或圓外），那么∠BAC的大小又會(huì)怎樣呢？

①當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)（如圖2）：

由此我們可以得出如下結(jié)論：

如果點(diǎn)A（異于B，C兩點(diǎn)）在以BC為直徑的圓上，則∠BAC=90°；

如果點(diǎn)A（不在線段BC上）在以BC為直徑的圓內(nèi)，則∠BAC>90°；

如果點(diǎn)A（不在直線BC上）在以BC為直徑的圓外，則∠BAC<90°.

例1 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（2，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于O，C兩點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線l與圓交于B（2，2），問(wèn)：

直線l上能否找到點(diǎn)D（m，m）使得∠ODC為鈍角，寫(xiě)出m的取值范圍_____________.

【解析】根據(jù)上述結(jié)論，要使得∠ODC為鈍角，那么點(diǎn)D必須在圓A內(nèi)部且在直線l上，即D點(diǎn)在O點(diǎn)和B點(diǎn)之間（不包括O，B兩點(diǎn)）.所以0

2. 圓中還有一些實(shí)用的公式

例2 如圖5，△ABC的周長(zhǎng)為21，面積為42，求它的內(nèi)切圓的半徑.

【解析】如圖6，連接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通過(guò)這些輔助線，我們可以把原△ABC的面積分成△ABO，△BOC，△AOC三個(gè)三角形面積之和）.

設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，原△ABC的面積為S，周長(zhǎng)為C.

答：內(nèi)切圓半徑為4.

【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)這種方法也可以推廣到任意三角形中，我們可以把它當(dāng)作求一般三角形內(nèi)切圓半徑的公式，即r=（其中S表示三角形面積，C表示三角形周長(zhǎng)，r表示三角形的內(nèi)切圓半徑）.

在求直角三角形內(nèi)切圓半徑時(shí)我們往往還會(huì)利用下面的公式.

例3 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求出Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑.

【解析】連接OE，OF，OG.

【點(diǎn)評(píng)】這種求內(nèi)切圓半徑的方法我們可以推廣到任意直角三角形.如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內(nèi)切圓半徑 r=.

3. 圓不僅僅是問(wèn)題的背景，也經(jīng)常被用來(lái)作為解決問(wèn)題的輔助工具.

例4 如圖9，四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的長(zhǎng).

【解析】因?yàn)轭}中給出了AB=AC=AD，所以以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑構(gòu)造圓A（如圖10），那么圓A一定經(jīng)過(guò)B，C，D三點(diǎn)，延長(zhǎng)BA交圓A于點(diǎn)E，連接ED，易得BC=DE.

【點(diǎn)評(píng)】這道題看似與圓無(wú)關(guān)，但是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造圓這個(gè)圖形加以輔助，就使得這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而快速地解決問(wèn)題.

例5 如圖11，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，求tan∠ACB的值.

【解析】如圖12在網(wǎng)格中利用三角形外接圓的知識(shí)確定△ABC的外接圓圓心O，由圓周角定理可知，弧AB所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即∠ACB=∠AOB=∠HOB，所以tan∠ACB=.

【點(diǎn)評(píng)】網(wǎng)格圖中求一個(gè)角的三角函數(shù)值我們有多種方法，可以構(gòu)造直角三角形，也可以用面積法解決，這里我們介紹的是利用三角形外接圓的知識(shí)來(lái)轉(zhuǎn)移要求的∠ACB.

“對(duì)稱圖形——圓”是初中數(shù)學(xué)重要組成部分，也是我們解決一些問(wèn)題的重要工具.以上我們總結(jié)了圓中一些比較實(shí)用的結(jié)論和三角形內(nèi)切圓半徑的一些公式，同時(shí)我們也認(rèn)識(shí)到了對(duì)待一些看似與圓無(wú)關(guān)的題目，有時(shí)候構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱A加以輔助，往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而更快地解決問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）