康佳鑫

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

學(xué)習(xí)數(shù)列極限和函數(shù)極限時(shí)，遇到過(guò)無(wú)窮小(大)量之比的極限，由于這種極限可能存在，也可能不存在，所以這個(gè)問(wèn)題就需要一種獨(dú)特方法即洛比達(dá)法則來(lái)解決.弄清不定式極限的理論與方法是極其重要的.

1 基本概念

把兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限.現(xiàn)在將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個(gè)方法通常稱為洛比達(dá)法則或羅畢塔法則.

2 理論依據(jù)

定理1(洛比達(dá)法則)若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足:

②在點(diǎn)x0的某空心鄰域u0(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)≠0

定理2(洛比達(dá)法則)若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足:

②在點(diǎn)x0的某空心鄰域u0+(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)≠0，

若將以上兩定理中x→x0換成，只要相應(yīng)地修正條件也可得到同樣的結(jié)論.此定理利用柯西中值定理來(lái)證明，在此，筆者就不一一贅述了，證明過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.

3 應(yīng)用時(shí)注意事項(xiàng)及技巧

求極限的每種方法都有其自身的優(yōu)越性與局限性，在使用洛比達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn):

注1 不能對(duì)任何比式極限都按洛比達(dá)法則來(lái)求解.首先必須注意它是不是不定式極限;其次是觀察它是否滿足洛比達(dá)法則的其它條件.

下面這個(gè)簡(jiǎn)單的極限

就會(huì)因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論.

注3 使用洛比達(dá)法則之后，題目應(yīng)變的相對(duì)簡(jiǎn)單了，如果越變?cè)诫y或者沒(méi)有變化，說(shuō)明該題不適此法.

那么這個(gè)極限就不適合用洛比達(dá)法則，正確做法是:

注4 如果f'，g'，f″，g″滿足相應(yīng)的條件，可以再次使用洛比達(dá)法則.

解:容易檢驗(yàn)f(x)=1+cosx與g(x)=tan2x在x0=π的鄰域里滿足定理1的條件①和②，又因

故由洛比達(dá)法則求得

在使用洛比達(dá)法則時(shí)，如果能與其它求極限的方法有效結(jié)合運(yùn)用會(huì)收到事半功倍的效果.如，結(jié)合四則運(yùn)算法則，迫斂性，重要極限，等價(jià)無(wú)窮小量替換等方法.

解:利用ln(1+x2)～x2(x→0)，則得原式=

在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，簡(jiǎn)記為換元法.

4 其他類型不定式極限

(i)“0·∞”型:通常無(wú)窮大都寫成無(wú)窮小的倒數(shù)形式:

(ii)“∞-∞”型:由(i)中形式知

這樣就把“∞-∞”型化成“”型或“”型.

(iii)“00”“1∞”“∞0”型:對(duì) 于 冪 指 函 數(shù)，這樣就把冪指函數(shù)的極限化成指數(shù)函數(shù)的極限，由于指數(shù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，可以先求出指數(shù)位置函數(shù)的極限.而指數(shù)位置的函數(shù)變成“0·∞”型未定式，就回到(i)的情況了.

并應(yīng)用洛比達(dá)法則得到:

注意:此題型出現(xiàn)lnx，一般進(jìn)行恒等變形時(shí)通常都把它放在分子上.

解 這是一個(gè)∞-∞ 型不定式極限，化簡(jiǎn)并通分后化為型的極限.

解 這是一個(gè)00型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，

當(dāng)k=0時(shí)上面的結(jié)果仍成立.

解 這是一個(gè)1∞型的不定式極限，作恒等變形

解 這是一個(gè)∞0型的不定式極限，類似地，先求其對(duì)數(shù)的極限型)

最后指出，對(duì)于數(shù)列的不定式極限，可利用函數(shù)極限的歸結(jié)原則，通過(guò)先求相應(yīng)形式的函數(shù)極限而得到結(jié)果.

使用洛比達(dá)法則必須要強(qiáng)調(diào)的是:

(1)每次在使用洛比達(dá)法則之前，務(wù)必考查它是否屬于不定式極限，否則不能用.

(2)一旦用洛比達(dá)法則算不出結(jié)果，不等于極限不存在.

(3)應(yīng)用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，經(jīng)常與結(jié)合求極限的其它方法使用.

5 復(fù)平面上的推廣

復(fù)變函數(shù)中的一些概念和結(jié)論都是實(shí)函數(shù)中相應(yīng)概念的推廣，那么對(duì)實(shí)變函數(shù)中“不定式”的分析可以利用洛比達(dá)法則，那么對(duì)復(fù)變函數(shù)中的“不定式”是否有相應(yīng)的洛比達(dá)法則?答案是肯定的.現(xiàn)將復(fù)變函數(shù)中的洛比達(dá)法則簡(jiǎn)單歸結(jié)如下，留給讀者體會(huì)與思考:

定理3(洛比達(dá)法則)若f(z)與g(z)在點(diǎn)z0解析，且f(z0)=g(z0)=0，g(z0)≠0，則

注意:洛比達(dá)法則推廣到復(fù)平面上是成立的，但條件與實(shí)數(shù)集中洛比達(dá)法則的條件有變化.利用給出的洛比達(dá)法則可以更方便的求解復(fù)變函數(shù)的某些類型極限以及判定解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類型等問(wèn)題.

洛比達(dá)法則這個(gè)方法是在數(shù)學(xué)分析里求解不定式極限的重要方法.在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握這個(gè)方法是不夠的，極限計(jì)算的方法靈活多樣，但也具有一定的規(guī)律性，只要掌握好極限理論，多做練習(xí)就能夠得到一些解題的規(guī)律，增強(qiáng)解題的能力.但做題時(shí)必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明了其道理，體會(huì)出做題的竅門.達(dá)到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會(huì)熟能生巧，在做題時(shí)得心應(yīng)手.

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)第四版［M］.北京:高等教育出版社.

［2］ 張?zhí)斓?，韓振來(lái).數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)及習(xí)題精解［M］.延吉:延邊大學(xué)出版社，2011.7.

［3］ 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法:第二版［M］.北京:高等教育出版社，2006(4).

［4］ 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論:第三版［M］.北京:高等教育出版社.