王建，董黎敏，劉天航，史津平，郭津津，楊妙妙

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室，天津300384)

雙螺桿泵螺桿成型銑刀廓形求解及驗證

王建，董黎敏，劉天航，史津平，郭津津，楊妙妙

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室，天津300384)

根據(jù)雙螺桿泵螺桿螺旋面端面截形型線方程，利用成形銑削原理和坐標(biāo)變換理論，從成形銑刀與螺桿工件的相對運動關(guān)系出發(fā)，建立基本的銑刀刀刃廓形方程。利用Matlab軟件對設(shè)計刀具過程中的三角超越方程等非線性方程進(jìn)行求解，得到銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形，然后以銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形為已知條件，反求螺桿螺旋面端截形，驗證銑刀廓形求解方法的正確性。

成型銑刀;螺桿;廓形;反求

0　前言

雙螺桿泵螺桿成型銑刀屬于復(fù)雜刀具，其設(shè)計過程異常復(fù)雜，其中銑刀廓形的求解是最為關(guān)鍵的一步。目前，關(guān)于加工螺桿的成形銑刀研究較多，對成形銑刀所加工的螺桿轉(zhuǎn)子研究較少。本文應(yīng)用Matlab軟件對求解銑刀廓形以及反求工件端面截形過程中的復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行求解［1］，并給出了計算實例。

1　工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的建立

可轉(zhuǎn)位成形銑刀加工螺桿時，螺桿與銑刀的相對位置如圖1和圖2所示，在工件上建立坐標(biāo)系o1－x1y1z1，單位矢量為(i1，j1，k1)，在刀具上建立坐標(biāo)系o2－x2y2z2，單位矢量為(i2，j2，k2)。工件與刀具之間安裝中心的距離為a，安裝角為ψ。

圖1　工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系相對位置Fig.1 Relative position of cutter and workpiece coordinate system

圖2　刀具加工工件螺旋面Fig.2 Helicoid surface of workpiece being cutted

工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換式為

單位矢量間的轉(zhuǎn)換式為

2　刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸條件式推導(dǎo)

空間中任意一點M相對于工件坐標(biāo)系原點的徑矢r為

M點相對于刀具坐標(biāo)系原點的徑矢R為

M點相對于刀具坐標(biāo)系原點的徑矢R與相對于工件坐標(biāo)系原點的徑矢r之間的關(guān)系為

設(shè)工件角速度為ω1，螺旋參數(shù)為p，刀具的角速度為ω2，M點隨工件螺旋面運動時的線速度v1為

M點隨刀具回轉(zhuǎn)面運動時的線速度v2為

則M點處的相對運動速度v12為

在工件螺旋面和刀具回轉(zhuǎn)面的接觸點處，其公共法線矢量n與相對運動速度v12垂直，所以接觸條件式為

即刀具回轉(zhuǎn)面和工件螺旋面的接觸線應(yīng)滿足的基本條件式

3　已知工件螺旋面端截形求刀具回轉(zhuǎn)面軸截形

3.1已知工件螺旋面端截形型線方程推導(dǎo)工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面接觸條件式

若工件螺旋面端截形型線方程已知，根據(jù)工件螺旋面方程式可求得其上任意一點的法線n，從刀具坐標(biāo)系的原點o2向螺旋面上的點作徑矢R，如果R和螺旋面上該點的法線n以及刀具的軸線k共面，則這一點就是螺旋面上的接觸點［3］，所以工件螺旋面上的接觸線條件式成為

設(shè)銑刀所加工的螺桿螺旋面端截形的型線方程式為

式中，t為齒曲線參數(shù)。

由式(14)可以得到螺旋曲面的方程為

式中，τ為角度參數(shù)，表示母線繞z軸轉(zhuǎn)過的角度。

由微分幾何知識可知，曲面上任意一點M (x，y，z)的法線矢量可以表示為

式中，nx、ny、nz分別是曲面法線矢量的各軸分量。

聯(lián)立式(4)式(7)式(13)式(17)得到在已知工件螺旋面端截形條件下工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面之間的接觸條件式為

3.2銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形求解計算實例

將齒形參數(shù)t離散化為ti得一系列離散點(xi，yi)，將(xi，yi)代入螺旋曲面方程求得螺旋面離散點坐標(biāo)(x1i，y1i)，再將(x1i，y1i)與各點處一階導(dǎo)數(shù)代入到接觸方程式，選取適當(dāng)?shù)牡踔?，利用Matlab軟件采用牛頓迭代法對接觸線方程進(jìn)行迭代運算，求得工件端面上各點成為接觸點時需要轉(zhuǎn)過的角度τ;然后將坐標(biāo)值(xi，yi，zi)與此點處的旋轉(zhuǎn)角τ代入螺旋面方程式，可以得到螺旋面上接觸點的坐標(biāo)(x1，y1，z1)，再將(x1，y1，z1)代入到坐標(biāo)系變換式，得到接觸點在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)(x2，y2，z2);最后由刀具回轉(zhuǎn)面軸截形方程式(21)求得刀具回轉(zhuǎn)面的軸截形。

銑刀所加工的螺桿轉(zhuǎn)子參數(shù)如下:導(dǎo)程T為150 mm，轉(zhuǎn)子的齒頂圓直徑為400 mm，分度圓直徑為305 mm。中心距A=(0.7～1.5)D0，此處取A=D0(D0是工件的名義外直徑)。安裝角ψ選擇范圍比較大，一般可按ψ=90°－β選擇安裝角(β是工件外圓螺旋角)。工件螺旋面端截形如圖3所示，所求得的銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形如圖4所示。

圖3　工件螺旋面端截形Fig.3 Cross section profile ofworkpiece helicoid

圖4　銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形Fig.4 Axial section of cutter revolution surface

4　由刀具回轉(zhuǎn)面軸截形反求工件螺旋面端截形

4.1已知刀具回轉(zhuǎn)面軸截形推導(dǎo)工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面接觸條件式

以求解出的刀具回轉(zhuǎn)面軸截形為已知條件反求工件螺旋面端截形，根據(jù)刀具回轉(zhuǎn)面的方程式可以求得其上任一點的法線n，由工件坐標(biāo)系的原點o1向刀具回轉(zhuǎn)面上的點作徑矢r，如果這一點繞工件軸線作螺旋運動時的線速度矢量和回轉(zhuǎn)面在該點的法線垂直，則這一點就是回轉(zhuǎn)面上的接觸點，所以刀具回轉(zhuǎn)面上的接觸線條件式成為

與銑刀固連的坐標(biāo)系o2－x2y2z2如圖5所示。

圖5　刀具回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系Fig.5 Coordinate system of cutter revolution surface

當(dāng)截形以未知曲線上的離散點表示時可以用曲線的一般形式來表示［2］

式中，si為弧長，i=1，2，…，n。由弧長微分可得

式中，αi為曲線上點的切線與x軸的夾角。

用盤形刀具加工時，刀具回轉(zhuǎn)面母線是平面x2y2z2上的一條曲線，按式(21)可以表示為

式中，φ為刀具回轉(zhuǎn)面母線弧長參變數(shù)。刀具回轉(zhuǎn)面方程式可以表示為

式中，φ為半徑R與o2x2z2平面的夾角。

通過工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換，可以得到刀具回轉(zhuǎn)面在工件坐標(biāo)系o1－x1y1z1中的方程式為

則刀具回轉(zhuǎn)面上任意一點各軸的法線矢量為

聯(lián)立式(3)式(7)式(20)式(26)得到在已知刀具回轉(zhuǎn)面軸截形條件下刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面之間的接觸條件式:

4.2工件螺旋面端截形的求解計算實例

通過接觸線方程可以得知，要想求φ則需先求出α，即銑刀廓形各離散點的傾斜角。本文利用Matlab軟件采用累積三次參數(shù)樣條法來計算各離散點處傾斜角α，然后將α代入接觸條件式，采用割線法求出φ。再將銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形離散點坐標(biāo)及相應(yīng)的代入工件螺旋面的方程式求出銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形對應(yīng)的工件螺旋面端截形坐標(biāo)，最后繪出工件螺旋面端截形，如圖6所示。

圖6　反求的工件螺旋面端截形Fig.6 Reversing cross section profile of workpiece helicoid

5　結(jié)論

本文以右旋螺旋曲面為例，利用齒輪嚙合原理的相關(guān)知識，根據(jù)已知的螺桿螺旋面端截形型線方程，采用牛頓迭代法求解刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸線方程，最后求解出刀具回轉(zhuǎn)面軸截形。以求解出的刀具回轉(zhuǎn)面軸截形為已知條件，采用累積三次參數(shù)樣條法和割線法求解工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面的接觸線方程，最后反求出工件螺旋面端截形，驗證銑刀廓形求解方法的正確性，對可轉(zhuǎn)位成形銑刀的實際設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

［1］王小明，羅芝華，楊志，等．基于Matlab的雙螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子盤銑刀數(shù)字化設(shè)計方法［J］．機(jī)床與液壓，2012，40(15):84－86，114．

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Solution and verification on profile of formed m illing cutter of tw in-screw pump's screw

WANG Jian，DONG Li-min，lIU Tian-hang，SHIJin-ping，GUO Jin-jin，YANG Miao-miao
(Tianjin Key Laboratory for Control Theory＆Applications in Complicated Systems，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

According to lines equation of transverse profile of twin-screw pump's screw helicoids，from the relative kinematic relation between formedmilling cutter and screw，the basic profile equation of formedmilling cutter was established bymoldingmilling principles and coordinate transformation theory．Using Matlab software to solve nonlinear equation，such as trigonometric functions in the process of designing the milling cutter，the axial section profile of themilling cutter revolution surface was obtained，and itwas taken as known condition，used for reversing transverse profile of screw helicoids．So the validity of this solution method was verified．

formed milling cutter;screw;profile;converse solving

TG714

A

1001－196X(2015)02－0056－04

2014－06－20;

2014－08－19

天津市科技計劃項目(11ZCKFGX03700)

王建(1988－)，男，天津理工大學(xué)碩士研究生，研究方向:機(jī)械設(shè)計及理論等。