郭天賜

（河南大學歐亞國際學院，河南　開封　47755000011）

基于Matlabatlab的FIRFIR數(shù)字濾波器設(shè)計

郭天賜

（河南大學歐亞國際學院，河南開封47755000011）

FIR數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分，由于FIR數(shù)字濾波器具有嚴格的線性相位，因此，在信息采集和處理過程中得到了廣泛的應(yīng)用。本文介紹了FIR數(shù)字濾波器的概念，并在分析三種設(shè)計方法原理的基礎(chǔ)上，借助Matlab仿真軟件工具分別實現(xiàn)窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器。

數(shù)字濾波器；FIR濾波器；設(shè)計

現(xiàn)實中我們經(jīng)常接觸的信號有很多種。對于信號的各個應(yīng)用，濾波器是必不可少的一種工具。選用合適的濾波器對產(chǎn)品的質(zhì)量有一定的提升作用。同樣，不適合的濾波器將影響產(chǎn)品的使用。

1　FIR濾波器及其設(shè)計方法

1.1FIR濾波器的基本概念

FIR濾波器即沖激響應(yīng)是有限單位長的濾波器，是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，F(xiàn)IR濾波器在生活的各個方面都有廣泛的應(yīng)用。

1.1.1FIR濾波器的優(yōu)點

①對于嚴格的線性相位要求能簡單地完成，同時被處理的信號產(chǎn)生可減少相位失真；

②可得到多帶幅頻特性；

③極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；

④總是滿足因果性；

⑤無反饋運算，運算誤差小。

1.1.2FIR濾波器的缺點

①因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，須以較高的階數(shù)為代價；

②需要計算機輔助設(shè)計以使程序完成。

1.2數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

FIR數(shù)字濾波器有很多設(shè)計的方式，其中較為常用的是頻率采樣設(shè)計法、窗最優(yōu)化設(shè)計法和函數(shù)設(shè)計法。本文主要論述利用窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋切比雪夫逼近法來實現(xiàn)FIR濾波器的多種設(shè)計。

2　FIR數(shù)字濾波器設(shè)計

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程一般包括以下基本問題：

①根據(jù)實際要求確定數(shù)字濾波器性能指標；

②用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個理想性能指標。

2.1窗函數(shù)法

窗函數(shù)法從時域出發(fā)，傳輸函數(shù)的系數(shù)由截取一段理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)來表示，被稱為設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的最簡單的方法。由于窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器是在時域進行的，且理想單位脈沖響應(yīng)一般是非因果、無限長的，這就需要截取，截取的方法就是加窗。Matlab工具箱中加入了許多的窗函數(shù)，其中三角窗的最小阻帶值為25db、主瓣寬度為8π/M、精確過度帶寬6.1π/M，矩形窗最小阻帶值為21db、主瓣寬度為4π/M、精確過度帶寬1.8π/M，布拉克曼窗最小阻帶值為74db、主瓣寬度為12π/M、精確過度帶寬為11π/M，切比雪夫窗最小阻帶值為21db、主瓣寬度為4π/M、精確過度帶寬為1.1π/M，漢寧窗最小阻帶值為44db、主瓣寬度為8π/M、精確過度帶寬為6.6π/M，海明窗最小阻帶值為53db、主瓣寬度為4π/M、精確過度帶寬為1.8π/M，凱塞窗最小阻帶值為21db、主瓣寬度為4π/M、精確過度帶寬為1.8π/M［1-2］。由頻率相應(yīng)Hd（ejw）求取沖擊響應(yīng)，即分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和耦合性，然后通過在Matlab上編寫軟件程序，從而設(shè)計出一個近似的頻率響應(yīng)，實現(xiàn)了硬件濾波器軟件的設(shè)計。設(shè)計過程如下：

為了把理想濾波器的無限長脈沖響應(yīng)hd（n）乘以窗函數(shù)w（n）來產(chǎn)生一個被截斷的脈沖響應(yīng)，人們使用了加窗的方法，即h（n）=hd（n）w（n），并且對頻率響應(yīng)進行平滑。

窗函數(shù)主要用來減少序列因截斷而產(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)。為了克服這種現(xiàn)象，應(yīng)該在設(shè)計窗函數(shù)時，濾波器的頻率特性最大程度地降低主瓣寬度的數(shù)值，且能量要求盡可能不被浪費；窗函數(shù)頻率特性中的ω越接近π其能量越接近零點［3］。

2.2頻率采樣法

頻率采樣法從頻域出發(fā)，理想濾波器的頻率響應(yīng)為H（ejw），進行相同間隔的抽樣，將得出的理想頻率響應(yīng)通過采樣的方式得到hd（k）：

再利用Hd（k）可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（Z）及頻率響應(yīng)H（ejw），通過離散傅立葉反變換。而在各采樣點間的頻率響應(yīng)則是其加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸疊加的結(jié)果。但在現(xiàn)實中信號大多是無限長的序列，插值逼近理論在實際應(yīng)用中會有理想的頻率響應(yīng)曲線和理想的頻率響應(yīng)特性，內(nèi)插函數(shù)的值越接近理想值，誤差越小，逐步轉(zhuǎn)變形狀的近似誤差，誤差的大小，為此設(shè)計時需要隨機地在不連續(xù)的區(qū)域添加不等量過度點。為了提高逼近的質(zhì)量，可以通過在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入比較連續(xù)的采樣點，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達到減少逼近誤差的目的。選取w∈［0，2π］內(nèi)N個采樣點的約束條件為：

2.3等波紋逼近法

2.3.1等波紋切比雪夫逼近準則

對于通帶和阻帶的誤差數(shù)值在濾波器的設(shè)計中有不同的要求。等波紋切比雪夫逼近準則通過對通帶應(yīng)用加權(quán)函數(shù)A，對阻帶使用應(yīng)用加權(quán)函數(shù)B，以此來實現(xiàn)相同的在不同頻段的（通常指的是通帶和阻帶）加權(quán)誤差最大值，從而實現(xiàn)濾波器最大誤差在滿足性能指標的條件下達到最小值。

窗函數(shù)法與頻率采樣法在FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中被人們廣泛地應(yīng)用，但兩者均無法成為最優(yōu)化的設(shè)計，被廣泛應(yīng)用的原因是因為考慮到成本與使用的問題。通常情況下線性相位濾波在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求不同。即使得Hd（ejw）和H（ejw）之間的最大絕對誤差最?。?］。

等波紋切比雪夫逼近是采用加權(quán)逼近誤差E（ejw），它可以表示為：

其中，W（ejw）為逼近誤差加權(quán)函數(shù)在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權(quán)值，否則，應(yīng)當取較小的加權(quán)值。

雖然按照FIR數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng)h（n）的對稱性和采樣點數(shù)的奇偶性，F(xiàn)IR濾波器可被分為不同類型的幾種濾波器，但濾波器的頻率響應(yīng)的公式卻是可以寫成同樣的式子：

其中，k∈｛0，1｝，H（ω）為幅度函數(shù)，且是一個純實數(shù)，表達式也可以寫成統(tǒng)一的形式：

其中，Q（ω）為ω的固定函數(shù)，P（ω）為M個余弦函數(shù)的線性組合［5］。

2.3.2仿真函數(shù)

利用remezord和remez函數(shù)可以實現(xiàn)FIRDF的最優(yōu)化設(shè)計，而且remezord和remez函數(shù)存在于數(shù)字信號處理工具箱中：

（1）n，f0，a0，weight=remezord（f，a，dev）

是用來代替remezord中的N，歸一化頻帶邊緣、頻帶的振幅頻帶振幅中存在的功能和在每個頻帶之內(nèi)權(quán)重的加權(quán)系數(shù)的輸入?yún)?shù)，它們代表不同的含義。

（2）h=reme（n，f0，a0，weight，′ftype′）

功能：利用remez函數(shù)可以得到最優(yōu)化設(shè)計的FIR DF的h（n）系數(shù)，輸入?yún)?shù)中濾波器的階數(shù)由第一個數(shù)據(jù)n來表示。為了區(qū)分濾波器的類型，人們在最后加入ftype值來區(qū)分不同類型的濾波器。remezord函數(shù)的階數(shù)n提升的高估或低估。因此在通過remezoed函數(shù)求出濾波器的系數(shù)后，對于阻帶最小衰減的檢測觀察其是否滿足設(shè)計要求［6］。如果此時的阻帶最小衰減不能滿足設(shè)計要求，那么就必須提高濾波器的階數(shù)。

3　結(jié)果分析

在間斷點處增加一個過渡點后的情況?？梢钥闯鰹V波器的帶外衰減指標有了明顯的改善，但同時增加了濾波器的過渡帶寬。

采樣點上2/N點集中在指定的通帶和阻帶截止頻率的整數(shù)倍的頻率，這種方法受到一定的限制，相對而言，不夠靈活。充分地提高N，對于任何給定的頻率可以接近。但計算量和復雜性增加。頻率采樣法明顯偏離設(shè)計指標，且相對來說更不易操作，只有過渡帶樣點值與實際相對出入較小時，衰耗特性才會取得令人滿意的結(jié)果。

4　結(jié)論

在設(shè)計中，要使設(shè)計的濾波器的沖激響應(yīng)同時滿足預(yù)先設(shè)定的全部參數(shù)是十分困難的，如果該濾波器的特性不滿足要求，但是原有參數(shù)必須做適當調(diào)整。這在程序中很容易實現(xiàn)，只需對參數(shù)M、δ1、δ2事先給定，允許ωp與ωs隨著要求的改變而變化，就可以得到新條件下濾波器的特性。從而達到節(jié)約資源的效果。這樣使得設(shè)計出來的濾波器更為簡單經(jīng)濟。

相對于前兩種濾波器的設(shè)計方法，等波紋逼近法有著無法忽視的優(yōu)勢。其不僅程序簡單而且在實現(xiàn)中的應(yīng)用層面也相對較寬廣。當一個產(chǎn)品需要壓縮程序空間時，對于濾波器設(shè)計模塊最優(yōu)化設(shè)計給出的濾波器必定是我們的首選方式。

［1］郭士劍，賀志國.Matlab7.x數(shù)字信號處理［M］.北京：人民郵電出版社，2008.

［2］程耕國，陳華麗.信號與系統(tǒng)實驗教程（Matlab）版［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2009.

［3］謝仕宏.Matlab R2008控制系統(tǒng)動態(tài)仿真實例教程［M］.北京：化學工業(yè)出版社，2005.

［4］徐昕，伯曉晨，等.Matlab工具箱應(yīng)用指南——控制工程篇［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2000.

［5］程耕國.信號與系統(tǒng)：上冊［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2009.

［6］程耕國.信號與系統(tǒng)：下冊［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2009.

Design of FIR Digital Filter based on Matlab

Guo Tianci
（Eurasian International College，Henan University，Kaifeng Henan 475001）

FIR digital filter is an important part of digital signal processing，due to its strict linear phase，so in the process of information acquisition and processing，it has been widely used.The concept of FIR digital filter is introduced in this paper，and based on the analysis of three design principles and methods，with the tool of MATLAB simulation software，F(xiàn)IR digital filter is designed by the window function method and frequency sampling method and the ripple approximation method respectively.

digital filter；FIR filter；design

TN713.7

A

1003-5168（2015）10-0042-3

2015-9-20

郭天賜（1995-），男，本科，研究方向：通信工程。