高磊

（1.青島科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，青島　266061；2.青島大學(xué)信息工程學(xué)院，青島　266071）

引入平滑項(xiàng)的離散力學(xué)優(yōu)化控制模型

高磊1，2

（1.青島科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，青島266061；2.青島大學(xué)信息工程學(xué)院，青島266071）

0　引言

針對(duì)力學(xué)系統(tǒng)離散化的優(yōu)化控制模型DMOC （Discrete Mechanics and Optimal Control）［1］，基本思想是直接對(duì)組成優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行離散操作，從而得到離散化的方程，進(jìn)而通過(guò)離散方程的數(shù)值計(jì)算得到離散化的最優(yōu)解。離散化的模型不僅在數(shù)學(xué)上與連續(xù)模型等價(jià)，在物理上也能很好地與守恒定律保持一致。DMOC模型最初被用于優(yōu)化運(yùn)動(dòng)軌跡［1-3］，約束條件擴(kuò)充后也用于多體系統(tǒng)的優(yōu)化控制［4-5］，均可獲得平穩(wěn)的運(yùn)行軌跡。與此同時(shí)，在DMOC模型的目標(biāo)函數(shù)中，只注重控制力總量的最小化，在離散時(shí)間步長(zhǎng)較大時(shí)容易產(chǎn)生控制力波動(dòng)的問(wèn)題，甚至是控制力的大幅波動(dòng)。如果減小離散步長(zhǎng)，不僅使計(jì)算效率下降，也不能完全避免控制力的波動(dòng)。造成這種問(wèn)題的主要原因在于設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)時(shí)只考慮到控制力總量最小，而在數(shù)值積分過(guò)程中取兩個(gè)相鄰時(shí)間離散點(diǎn)控制力的均值進(jìn)行積分，相鄰兩離散點(diǎn)控制力圍繞0點(diǎn)的波動(dòng)可使離散力趨向于最小，這種波動(dòng)非常不利于控制力的平穩(wěn)輸出。通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中引入平滑項(xiàng)，強(qiáng)制相鄰離散點(diǎn)控制力的變化較小，能夠保證離散力的平滑。

1　離散力學(xué)優(yōu)化控制模型

考慮一個(gè)一般化的優(yōu)化問(wèn)題：一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)在時(shí)間［0，1］內(nèi)在空間Q中的經(jīng)由曲線q（t）∈Q完成運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的初態(tài)為（q（0），q.（0）），終態(tài)為（q（1），q.（1））。系統(tǒng)在控制力f的作用下運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)函數(shù)為：

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中q（t）滿足達(dá)朗貝爾原理，即約束條件為：

變分δq滿足δq（0）=δq（1）=0，其中L是系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，為系統(tǒng)的運(yùn)能減勢(shì)能。

離散優(yōu)化控制模型直接對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行離散，將q在時(shí)間［0，1］上劃分成N等份，用qd表示，則對(duì)應(yīng)的離散目標(biāo)函數(shù)和約束條件分別為：

0，k=1，…，N-1（4）

所有下標(biāo)d表示對(duì)應(yīng)項(xiàng)的離散表示，其中：

Di為對(duì)第i項(xiàng)求偏導(dǎo)。為示離散的第k步的左、右離散力，定義為：

離散化的模型包含目標(biāo)函數(shù)（3）和約束條件（4），可以采用SQP算法求解。

2　引入平滑項(xiàng)的優(yōu)化控制模型

根據(jù)前述產(chǎn)生控制力波動(dòng)的原因，為保證控制力的平滑，可在目標(biāo)函數(shù)中引入類似文獻(xiàn)［6］中的平滑項(xiàng)，其離散形式為：

其中，fk+1與fk為相鄰兩步的離散力，在Cd的計(jì)算中可與懲罰參數(shù)θ相乘保證相鄰離散力的差別不大。θ為一足夠大的正數(shù)，用于約束相鄰兩次的離散力的平穩(wěn)變化。在具體計(jì)算中，可?。?/p>

如果控制力的變化與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，可得簡(jiǎn)化的目標(biāo)函數(shù)為：

由于約束條件沒(méi)有變化，引入平滑項(xiàng)后的模型仍然為帶等式非線性約束的優(yōu)化問(wèn)題，同樣可用SQP算法求解。

3　衛(wèi)星變軌數(shù)值仿真算例

為了驗(yàn)證引入平滑項(xiàng)的優(yōu)化模型的有效性，使用MATLAB 2013b對(duì)衛(wèi)星變軌的優(yōu)化控制進(jìn)行數(shù)值仿真。推動(dòng)一個(gè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星由低軌半徑r0運(yùn)行到同一平面的更大半徑r1所在軌道。衛(wèi)星用極坐標(biāo)q=（r，φ）表示，控制力為f=（0 ru）T，其中u為只作用在運(yùn)動(dòng)方向上的推力。初態(tài)為。γ是引力常數(shù)，M是地球質(zhì)量。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T(mén)=（T0+T1）/2，其中T0和T1是初始位置和終止位置的軌道周期。相關(guān)參數(shù)分別為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：L（q，q.）=m（r.2+r.2φ.2）/2+γMm/r。離散化的目標(biāo)函數(shù)為：

引入平滑項(xiàng)，為：

數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)離散步數(shù)N大于某特定值時(shí)，隨著N的增大目標(biāo)函數(shù)保持不變，即離散步長(zhǎng)的大小對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度影響不大。為兼顧計(jì)算效率和統(tǒng)一比較兩種模型的結(jié)果，取N=40，引入平滑項(xiàng)的DMOC模型中取θ=50。兩種模型不同的變軌軌跡和控制力時(shí)間曲線如圖2、圖3所示。

圖2　衛(wèi)星變軌軌跡

如圖2所示，DMOC模型和引入平滑項(xiàng)的DMOC模型的衛(wèi)星的變軌軌跡幾乎相同，但圖3所示的衛(wèi)星推力的時(shí)間曲線相差很大。DMOC模型的推力波動(dòng)嚴(yán)重，引入平滑項(xiàng)之后的推力更為平穩(wěn)和可控。

圖3　衛(wèi)星推力的時(shí)間曲線

4　結(jié)語(yǔ)

DMOC模型直接對(duì)優(yōu)化問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行離散操作，離散后的數(shù)學(xué)模型能夠保持與物理守恒定律的一致，由于側(cè)重于控制力總量的最小化，控制力的波動(dòng)不可避免。通過(guò)引入平滑項(xiàng)，限制相鄰離散力的變化，可保證控制力的平穩(wěn)。衛(wèi)星變軌仿真實(shí)驗(yàn)表明在采用相同計(jì)算方法的前提下，引入平滑項(xiàng)的DMOC模型能夠有效保證控制力的平滑輸出。

［1］Junge O，Marsden J E，Ober-Bl?baum S.Discrete mechanics and optimal control.Proccedings of IFAC World Congress，2005，35（5）：1507-1525.

［2］張衛(wèi)忠，孟秀云，單家元.離散機(jī)械最優(yōu)控制的軌跡設(shè)計(jì)方法仿真研究.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2011，23（B07）：69-71.

［3］Moore A，Ober-Bl?baum S，Marsden J E.Trajectory design combining invariant manifolds with discrete mechanics and optimal control.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（5）：1507-1525.

［4］Leyendecker S，Ober-Bl?baum S，Marsden J E，et al.Discrete mechanics and optimal control for constrained systems.Optimal Control Applications and Methods，2010，31（6）：505-528.

［5］劉穎，馬建敏.約束多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的改進(jìn)的離散零空間算法.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2013（4）：496-501.

［6］Rudin L I，Osher S，F(xiàn)atemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms.Physica D：Nonlinear Phenomena，1992，60（1）：259-268

Discrete Mechanics；Optimal Control；Smoothing Term

Discrete Mechanics and Optimal Control with Smoothing Term

GAO Lei1，2

（1.College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266061；2.College of Information Engineering，Qingdao University，Qingdao266071）

1007-1423（2015）26-0018-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.26.005

高磊（1977-），男，山東萊蕪人，講師，碩士研究生，研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)與控制

2015-07-16

2015-08-15

作為一種新近提出的力學(xué)系統(tǒng)的離散優(yōu)化控制模型，DMOC在大步長(zhǎng)時(shí)易產(chǎn)生控制力的波動(dòng)，對(duì)控制力的平穩(wěn)輸出非常不利。將平滑項(xiàng)引入DMOC模型，可以保證控制力的穩(wěn)定。衛(wèi)星變軌的數(shù)值仿真結(jié)果表明，平滑項(xiàng)的引入能夠使控制力最小化的同時(shí)，保持控制力平穩(wěn)變化。

離散力學(xué)；優(yōu)化控制；平滑項(xiàng)

As a recently developed discrete optimal control model for mechanical system，discrete mechanics and optimal control（DMOC）suffers fluctuation of control forces when discrete step is large，which is unfavorable for stable output of control forces.With smoothing term added to DMOC model，stability of control forces can be acquired.Numerical simulation results of the satellite orbit transferring show that the introduction of smoothing term can keep control forces change smoothly while minimizing the total control forces.