彈道導(dǎo)彈目標(biāo)特性分析及雷達(dá)回波模擬*

孟路穩(wěn)，周 沫，察 豪，溫東陽，張潤(rùn)哲，朱倪瑤

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，武漢430033)

1 引言

彈道導(dǎo)彈具有射程遠(yuǎn)、突防性強(qiáng)、殺傷破壞威力大等特點(diǎn)，已成為現(xiàn)代防御系統(tǒng)的重大威脅。根據(jù)彈道導(dǎo)彈從發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)落點(diǎn)過程中的受力情況，可將導(dǎo)彈的飛行過程分為助推段、自由段和再入段[1]。自由段是彈道導(dǎo)彈飛行時(shí)間最長(zhǎng)的一段，約占導(dǎo)彈飛行時(shí)間的80% ～90%，故自由段被認(rèn)為是彈道導(dǎo)彈防御的關(guān)鍵階段[2]。地基雷達(dá)在彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)中起著重要的支撐作用，能夠探測(cè)彈頭目標(biāo)進(jìn)而確定彈頭的結(jié)構(gòu)特征、運(yùn)動(dòng)特性等。導(dǎo)彈的雷達(dá)回波數(shù)據(jù)是研究彈道導(dǎo)彈探測(cè)和識(shí)別的基礎(chǔ)，然而在外場(chǎng)實(shí)測(cè)回波數(shù)據(jù)具有代價(jià)高、干擾因素多等缺點(diǎn)，因此導(dǎo)彈的雷達(dá)回波模擬仿真是一種有效解決方案。

文獻(xiàn)[3]從雷達(dá)散射截面和一維距離像兩方面對(duì)建立的空間目標(biāo)進(jìn)動(dòng)模型和寬帶雷達(dá)回波信號(hào)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[4]基于移動(dòng)散射點(diǎn)模型得到了寬帶雷達(dá)中段目標(biāo)的回波模型。但由于彈頭高速運(yùn)動(dòng)，對(duì)脈沖內(nèi)的影響不能忽略，上述文獻(xiàn)均未對(duì)此進(jìn)行考慮，并且大多文獻(xiàn)仿真的回波信號(hào)是針對(duì)彈頭平動(dòng)補(bǔ)償后的進(jìn)動(dòng)情況，沒有考慮平動(dòng)的影響。

本文分別對(duì)彈頭的運(yùn)動(dòng)特性、結(jié)構(gòu)特性、電磁散射特性進(jìn)行分析，建立自由段彈頭的平動(dòng)模型和微動(dòng)模型;以此為基礎(chǔ)，引入準(zhǔn)靜態(tài)的思想，考慮散射中心的散射強(qiáng)度和空間位置隨姿態(tài)變化的特性，建立了彈頭的寬帶線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation，LFM)雷達(dá)回波模型。仿真回波不僅蘊(yùn)含彈頭的運(yùn)動(dòng)特性以及目標(biāo)散射特性隨姿態(tài)、頻率等的變化，同時(shí)也包含彈頭的微動(dòng)調(diào)制特性，對(duì)回波數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到的彈頭距離像驗(yàn)證了仿真的有效性。

2 自由段彈頭的平動(dòng)模型

在滿足橢圓彈道基本假設(shè)[5]下，自由段導(dǎo)彈飛行在由速度矢量和地球引力矢量所決定的彈道平面內(nèi)，如圖1所示。其橢圓彈道方程為[6]

式中，r為地心矢徑，e為偏心率，Q為半通徑，f為極角。

圖1 彈道導(dǎo)彈的橢圓軌道示意圖Fig.1 Sketch map of elliptical orbit of ballistic missile

自由段導(dǎo)彈的飛行軌跡與導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)有關(guān)。設(shè)導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)與地心的距離為rk，速度為Vk，彈道傾角為 θk，則由文獻(xiàn)[7]可得

式中，vk為一中間變量;μ為地心引力常數(shù)，其值為μ =3.986 ×1014m3/s2。

若保證導(dǎo)彈飛行軌道為橢圓軌道，則偏心率需滿足e＜1。此時(shí)橢圓軌道的長(zhǎng)半軸a和短半軸b分別為

為得到彈道導(dǎo)彈在不同時(shí)刻的速度和位置信息，需借助開普勒方程進(jìn)行求解。開普勒方程[6]為

式中，E為偏近地角，具體定義見文獻(xiàn)[5];tp為導(dǎo)彈飛過近地點(diǎn)的時(shí)間。

導(dǎo)彈的任一時(shí)刻的速度和速度傾角為

式中，地心矢徑r與偏近地角E的關(guān)系為

實(shí)際情況下，由于彈道導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)時(shí)導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)位置是預(yù)先設(shè)定好的，所以本文事先設(shè)定導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)的位置，然后求解出導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，進(jìn)而求解出自由段導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)位置的經(jīng)緯度分別為(λT，φT)、(λR，φR)，則導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)與落點(diǎn)之間的射程角βc可表示為

由文獻(xiàn)[6]可知，射程角與彈道運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系表達(dá)式為

由式(8)、(9)可以看出，在發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)預(yù)先設(shè)定的情況下，若已知導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)至地心的距離rk，則導(dǎo)彈的關(guān)機(jī)點(diǎn)速度和其速度傾角的關(guān)系就是確定的。

設(shè)定彈道導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)位于東經(jīng)45°、北緯0°，落點(diǎn)位于東經(jīng)135°、北緯0°，導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)距離地心的距離為rk=6.471×103km，則可得出關(guān)機(jī)點(diǎn)處的速度與速度傾角的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 關(guān)機(jī)點(diǎn)速度與速度傾角的關(guān)系曲線Fig.2 Curve of shutdown point speed and angle

從圖2可以看出，對(duì)于預(yù)定的發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)，若知道導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)距地心的距離，則存在一個(gè)最佳關(guān)機(jī)點(diǎn)速度傾角θkopt，當(dāng)導(dǎo)彈以此速度傾角進(jìn)入自由段時(shí)，所需要的速度最小，導(dǎo)彈的能量得到了充分的利用，此時(shí)的彈道稱為最小能量彈道[5]。因此在進(jìn)行彈道設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)使θk最可能地控制在最佳速度傾角θkopt附近。鑒于此，本文仿真采用最小能量彈道，易得最佳速度傾角為22.23°。至此，若已知導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)以及導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)至地心的距離，應(yīng)用以上各式可求解出任一時(shí)刻t導(dǎo)彈所具有的運(yùn)動(dòng)參數(shù)r(t)、V(t)、θ(t)?，F(xiàn)將導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)解算的步驟歸納如下:

step 1:由彈道導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)和落點(diǎn)位置以及rk，根據(jù)式(5)、(6)、(8)、(9)求出最小能量彈道條件下導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)參數(shù)Vk、θk;

step 2:根據(jù)式(2)、(3)求解橢圓彈道的幾何參數(shù) Q、e、a、b，并由式(7)求解偏近地角 Ek;

step 3:取導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間tk=0，由式(4)求得導(dǎo)彈經(jīng)過近地點(diǎn)的時(shí)間tp;

step 4:對(duì)于任意時(shí)刻 t，將求得的 e、a、tp代入式(4)，采用迭代法[10]反解開普勒方程，進(jìn)而求出任一時(shí)刻t所對(duì)應(yīng)的偏近地角E(t);

step 5:由式(1)、(5)、(7)求得任意時(shí)刻 t導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù) r(t)、V(t)、θ(t)。

3 彈頭微動(dòng)模型

實(shí)際飛行的彈頭除了作軌道運(yùn)動(dòng)外，還存在微動(dòng)特性[8]，圖3給出了彈頭目標(biāo)的微動(dòng)模型。彈頭在本體坐標(biāo)系O－xyz中沿Oz放置，坐標(biāo)原點(diǎn)為彈頭質(zhì)心。彈頭的微動(dòng)包括繞彈體對(duì)稱軸Oz的自旋以及繞進(jìn)動(dòng)軸ON的進(jìn)動(dòng)，其中設(shè)自旋角速度矢量為wspin，大小為Ω;進(jìn)動(dòng)角速度矢量為 wconi，大小為wn。Q－ABC為雷達(dá)坐標(biāo)系，雷達(dá)位于坐標(biāo)原點(diǎn)Q;同時(shí)為便于處理，引入了參考坐標(biāo)系O－XYZ，原點(diǎn)為O，其始終與雷達(dá)坐標(biāo)系平行。

圖3 彈頭的微動(dòng)模型Fig.3 Micro model of a warhead

設(shè)初始時(shí)刻點(diǎn)P在本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為r0，則其在參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

式中，Rotinit為目標(biāo)坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其由初始時(shí)刻兩者之間的歐拉角確定。并由Euler－Rodrigue旋轉(zhuǎn)公式可得自旋轉(zhuǎn)換矩陣

同理，可得t時(shí)刻的進(jìn)動(dòng)轉(zhuǎn)換矩陣Rotconi(t)。故考慮彈頭自旋和進(jìn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

若初始時(shí)刻彈頭在雷達(dá)坐標(biāo)系中的方位角和俯仰角分別為α1、α2，雷達(dá)相對(duì)彈頭的徑向矢量為n=(cosα2cosα1，cosα2sinα1，sinα2)，則點(diǎn) P 在徑向上的投影為

圖3中夾角φ為彈頭的視線角;θ角為彈頭縱對(duì)稱軸與進(jìn)動(dòng)軸之間的夾角，即進(jìn)動(dòng)角;雷達(dá)視線與彈頭進(jìn)動(dòng)軸之間的夾角為β，若彈頭不存在平動(dòng)，則進(jìn)動(dòng)軸與雷達(dá)視線的夾角為一常數(shù)，此時(shí)β角稱為平均視線角。而實(shí)際情況中，平均視線角是時(shí)刻變化的，需要根據(jù)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換以及空間幾何關(guān)系確定。則由圖3中的空間幾何關(guān)系可得彈頭視線角的表達(dá)式為

式中，wn為旋轉(zhuǎn)角速度，ψ0為初始相位角。

4 彈頭的寬帶LFM雷達(dá)回波模型

歸一化線性調(diào)頻信號(hào)[9]可表示為

式中，tp為脈載頻;rect(·)為矩;f0為載頻;rect(·)為矩形包絡(luò);=t－nT，T為脈沖周期，n為脈沖周期數(shù)。若彈頭相對(duì)于雷達(dá)波長(zhǎng)處在光學(xué)區(qū)，此時(shí)彈頭的尺寸遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，彈頭不能再被當(dāng)作點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行處理，而是等效為多散射中心進(jìn)行處理[10]。由于脈沖寬度多在微秒級(jí)，彈頭的宏觀運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)光速是很小的，可認(rèn)為彈頭在脈沖寬度內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)引入準(zhǔn)靜態(tài)技術(shù)的思想，即把每個(gè)脈沖看作是處于平衡狀態(tài)，而整個(gè)脈沖串是由一系列接替的平衡狀態(tài)組成，如圖4所示。圖中顯示的是每一脈沖周期開始時(shí)刻參考中心對(duì)應(yīng)的距離和多普勒頻率。

圖4 準(zhǔn)靜態(tài)技術(shù)示意圖Fig.4 Curve of quasi－ static

設(shè)彈頭由M個(gè)散射中心組成，且在第一個(gè)脈沖開始時(shí)刻的徑向速度為vr?？紤]脈內(nèi)運(yùn)動(dòng)對(duì)回波的影響，則可得第一個(gè)脈沖經(jīng)彈頭反射得到的回波信號(hào)為

式中，τi0為第i個(gè)散射中心與雷達(dá)的距離引起的時(shí)延，其值為τi0=2Ri0/t;σi為散射強(qiáng)度;fD為由徑向速度引起的多普勒頻率，其值為fD=ftD+fmD，其中ftD=2vr/λ為平動(dòng)引起的多普勒頻率，λ為波長(zhǎng)，fmD為進(jìn)動(dòng)引起的微多普勒頻率，其值為

式(17)為第一個(gè)脈沖的反射回波，對(duì)于整個(gè)脈沖串，只需求出每個(gè)脈沖開始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的徑向距離和多普勒頻率，進(jìn)而得到整個(gè)脈沖串的回波信號(hào)。

5 仿真結(jié)果與分析

設(shè)雷達(dá)的載頻f0=10 GHz，脈沖寬度tp=1 μs，帶寬Β=100 MΗz，脈沖重復(fù)周期Τ=1 ms。并設(shè)置雷達(dá)位于東經(jīng)43°、北緯6°，導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)距離地面100 km，導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位于東經(jīng)45°、北緯0°，落點(diǎn)位于東經(jīng)135°、北緯0°。仿真彈頭采用文獻(xiàn)[10]中的平底錐彈頭，其結(jié)構(gòu)如圖5所示，其中設(shè)置參數(shù)a=1 m ，b=0.06 m ，γ=12°。平底錐彈頭主要有3個(gè)散射中心，分別是球冠和底部邊緣上的兩點(diǎn)，各個(gè)散射中心的散射強(qiáng)度隨姿態(tài)角的變化而變化，并且選取底部中心點(diǎn)為相位參考點(diǎn)。彈頭的進(jìn)動(dòng)角為θ=10°，進(jìn)動(dòng)角速度為 wn=0.2π rad/s。

圖5 彈頭結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure of a warhead

由上可得自由段彈頭的最小能量彈道如圖6所示?？梢钥闯鰪楊^的軌道呈橢圓形，關(guān)機(jī)點(diǎn)距離地面100 km，與理論分析一致。同時(shí)給出彈頭視線角隨觀測(cè)時(shí)間的變化圖，如圖7所示。

圖6 彈頭的最小能量彈道Fig.6 Minimum energy trajectory of a warhead

圖7 彈頭視線角Fig.7 Attitude angle of a warhead

從圖7可以看出，彈頭姿態(tài)角總體上先增大后減小，這是由彈頭質(zhì)心平動(dòng)引起的，同時(shí)其上疊加有周期性振蕩，這是由彈頭進(jìn)動(dòng)引起的。

下面對(duì)未考慮微動(dòng)和考慮微動(dòng)兩種情況下的彈頭回波進(jìn)行仿真，其波形分別如圖8和圖9所示。

圖8 未考慮微動(dòng)時(shí)彈頭的回波Fig.8 Warhead echo when micro is not considered

圖9 考慮微動(dòng)時(shí)彈頭的回波Fig.9 Warhead echo when micro is considered

從圖8和圖9中彈頭回波波形上均不能看出彈頭的結(jié)構(gòu)特征，但對(duì)比兩種情況下的回波波形可以發(fā)現(xiàn):與未加微動(dòng)時(shí)相比，加微動(dòng)后彈頭回波波形的輪廓發(fā)生了變化，并且其幅度值相對(duì)于未加微動(dòng)時(shí)增大了。這是由于未加微動(dòng)和加微動(dòng)兩種情況下的彈頭姿態(tài)角不一樣，造成彈頭散射中心的散射強(qiáng)度以及在雷達(dá)視線上的空間分布發(fā)生了變化，其反應(yīng)在回波上就是兩種情況下的回波強(qiáng)度和輪廓不一致。為進(jìn)一步說明兩種情況下彈頭回波的區(qū)別，下面對(duì)得到的兩種回波數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到未加微動(dòng)時(shí)彈頭的一維距離像(High Resolution Range Profile，HRRP)和加微動(dòng)時(shí)彈頭的一維距離像，其結(jié)果分別如圖10和圖11所示。

圖10 未考慮微動(dòng)時(shí)彈頭的一維距離像Fig.10 Warhead HRRP when micro is not considered

圖11 考慮微動(dòng)時(shí)彈頭的一維距離像Fig.11 Warhead HRRP when micro is considered

對(duì)比圖10和圖11可知，兩種情況下彈頭的一維距離像中均出現(xiàn)兩個(gè)峰值點(diǎn)，可以分析出此時(shí)對(duì)彈頭散射特性起作用的有兩個(gè)散射中心。由圖7可知，在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)，彈頭的姿態(tài)角變化范圍為[120.1°，170.9°]，理論計(jì)算可知此時(shí)只有散射中心1、2起作用，散射中心3的散射強(qiáng)度為0，仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果一致，說明了仿真的正確性。同時(shí)也可以看出，兩個(gè)距離像中峰值點(diǎn)的幅度以及峰值點(diǎn)之間的相對(duì)距離不一致，說明了兩種情況下彈頭相對(duì)于雷達(dá)視線的姿態(tài)角不同，與對(duì)彈頭回波分析得出的結(jié)果一致，驗(yàn)證了所建模型的可行性。

6 結(jié)束語

本文建立了自由段彈頭的最小能量彈道以及彈頭的微動(dòng)模型，并對(duì)彈頭結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，以此為基礎(chǔ)給出了彈頭的寬帶LFM雷達(dá)回波信號(hào)模型。仿真結(jié)果表明:本文模型能夠較好地復(fù)現(xiàn)自由段彈頭的回波信號(hào)，反映出彈頭的運(yùn)動(dòng)特性以及彈頭散射特性隨姿態(tài)角變化的特點(diǎn)，同時(shí)也能反映微動(dòng)調(diào)制引起的彈頭姿態(tài)角、距離像的變化，為后續(xù)自由段導(dǎo)彈目標(biāo)的特征提取和目標(biāo)識(shí)別奠定了基礎(chǔ)。

[1]康猛，王春花，郝明，等.彈道目標(biāo)進(jìn)動(dòng)周期特征提取研究[J].現(xiàn)代雷達(dá)，2010，32(11):29 －32.KANG Meng，WANG Chunhua，HAO Ming，et al.A Study on Precession－period Extraction Method of Ballistic Targets[J].Modern Radar，2010，32(11):29 －32.(in Chinese)

[2]劉維建，陳建文.彈道類目標(biāo)進(jìn)動(dòng)周期特征提取方法研究[J].現(xiàn)代雷達(dá)，2009，31(7):62 －68.LIU Weijian，CHEN Jianwen.A Study on Precession Period Extraction Method of Ballistic Targets[J].Modern Radar，2009，31(7):62 －68.(in Chinese)

[3]馬超，許小劍.空間進(jìn)動(dòng)目標(biāo)的寬帶雷達(dá)特征信號(hào)研究[J].電子學(xué)報(bào)，2011，39(3):637 －642.MA Chao，XU Xiaojian.Modeling of Wideband Radar Signature for Precession Space Objects[J].Acta Electronica Sinica，2011，39(3):637 －642.(in Chinese)

[4]薛愛軍，王曉丹，宋亞飛，等.中段目標(biāo)寬帶雷達(dá)回波仿真及分析[J].計(jì)算機(jī)仿真，2013，30(8):23－26.XUE Aijun，WANG Xiaodan，SONG Yafei，et al.Simulation and Analysis of Radar Echo Based on Moving Scattering Center Model[J].Computer Simulation，2013，30(8):23 －26.(in Chinese)

[5]張毅，肖龍旭，王順宏.彈道導(dǎo)彈彈道學(xué)[M].2版.長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005.ZHANG Yi，XIAO Longxun，WANG Shunhong.Ballistic Missile Ballistics[M].2nd ed.Changsha:National University of Defense Technology Press，2005.(in Chinese)

[6]胡萬秋.彈道中段目標(biāo)進(jìn)動(dòng)特征提取方法研究[D].長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010.HU Wanqiu.Study on Precession Character Extraction in Ballistic Midcource[D].Changsha:National University of Defense Technology，2010.(in Chinese)

[7]呼瑋，楊建軍，龍光正，等.彈道導(dǎo)彈被動(dòng)段動(dòng)態(tài)RCS建模與仿真[J].電光與控制，2010，17(4):22 －25.HU Wei，YANG Jianjun，LONG Guangzheng，et al.Dynamic Modeling and Simulation of RCS for TBM’s Post－Boost Guidance Phase[J].Electronics Optics＆Control，2010，17(4):22 －25.(in Chinese)

[8]陳翱.基于RCS序列的彈道中段目標(biāo)微動(dòng)提取技術(shù)[J].現(xiàn)代雷達(dá)，2012，34(6):78 －81.CHEN Ao.A Micromotion Extraction Technique for Target in Intermediate Trajectory Based on RCS Sequence[J].Modern Radar，2012，34(6):78 －81.(in Chinese)

[9]孟路穩(wěn)，周沫，曾浩，等.高分辨雷達(dá)目標(biāo)回波信號(hào)模擬與分析[J].電訊技術(shù)，2014，54(10):1396 －1400.MENG Luwen，ZHOU Mo，ZENG Hao，et al.Simulation and analysis of target echo signal of high－resolution radar[J].Telecommunication Engineering，2014，54(10):1396 －1400.(in Chinese)

[10]黃培康，殷紅成，許小劍.雷達(dá)目標(biāo)特性[M].北京:電子工業(yè)出版社，2005.HUANG Peikang，YIN Hongcheng，XU Xiaojian.The Characteristics of Radar Target[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2005.(in Chinese)