李春長(zhǎng)++劉錫光

1引言

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，數(shù)據(jù)分析能力在高中數(shù)學(xué)教育中顯得愈發(fā)重要.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011）在課程設(shè)計(jì)思路中指出：“數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法；通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心.”[1]

數(shù)據(jù)分析與概率是我國(guó)義務(wù)教育和高中“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的主干內(nèi)容，從數(shù)據(jù)分析觀念到高中的數(shù)據(jù)分析能力，如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，受到數(shù)學(xué)教師的廣泛關(guān)注.然而，在實(shí)際教學(xué)中，不少師生把數(shù)據(jù)分析等同于代入公式進(jìn)行計(jì)算，這就使學(xué)生失去了感知數(shù)據(jù)、認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)、探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律的機(jī)會(huì)[2].筆者通過(guò)對(duì)2015年全國(guó)卷相關(guān)試題展開分析，探索高考對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的評(píng)價(jià)規(guī)律，希望引起我們重視對(duì)于學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng).

2樣例

例1投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為06，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（）.

A.0648B.0432C.036D.0312

（2015年理，全國(guó)卷Ⅰ，4）

析解本題主要通過(guò)學(xué)生對(duì)于有關(guān)“事件”的概念的理解考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.“事件”是概率統(tǒng)計(jì)中的重要概念，學(xué)生通過(guò)對(duì)所求問(wèn)題的分析可知，通過(guò)測(cè)試的條件為2次或者3次命中投籃，將兩個(gè)情況的概率求和就可以得到正確答案A.另外，也可以通過(guò)求其對(duì)立事件（0次或者1次命中投籃）的反面，得出正確答案.

本題常見(jiàn)錯(cuò)誤在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，要準(zhǔn)確解答這類問(wèn)題，必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別.

本題從概率這個(gè)側(cè)面考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

可以說(shuō)，對(duì)“事件”相關(guān)概念的透徹理解是概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，因?yàn)樗歉怕式y(tǒng)計(jì)的核心知識(shí)點(diǎn)，也是更進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)必備的基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的重中之重的基礎(chǔ).

例2根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論不正確的是（）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

（2015年理，全國(guó)卷Ⅱ，3）

析解本題通過(guò)柱形統(tǒng)計(jì)圖考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.統(tǒng)計(jì)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)圖表是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的良好載體.柱形統(tǒng)計(jì)圖更是清晰地展現(xiàn)了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，這也是本題考查的重點(diǎn)，學(xué)生只有通過(guò)比較得出答案.

本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤在于不能清楚的看出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，以及不理解正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的含義.

逐項(xiàng)分析，可以發(fā)現(xiàn)，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量隨著年份的增加而減少，應(yīng)當(dāng)為負(fù)相關(guān)，不難選出正確答案D.在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的整體分析往往輕視，而重于簡(jiǎn)單的畫圖和計(jì)算，由此題可以看出，對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表所代表的涵義的理解是高考考查的重點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)引起重視.

例3某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.

（2015年理，全國(guó)卷Ⅱ，18）

析解本題主要通過(guò)莖葉圖考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.莖葉圖一般不單獨(dú)拿出來(lái)考，往往和其它知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合出題，例如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、眾數(shù)等.要能正確解答這類問(wèn)題，還必須搞清楚均值、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義.

本題常見(jiàn)錯(cuò)誤在于無(wú)法正確閱讀莖葉圖，造成整個(gè)題目的錯(cuò)誤判斷.這些問(wèn)題說(shuō)明了統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)受到重視，數(shù)據(jù)分析能力顯然要建立在對(duì)數(shù)據(jù)的通透讀懂基礎(chǔ)之上.

實(shí)際上，莖葉圖實(shí)際上是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)計(jì)分模式.莖葉圖又稱為“枝葉圖”，它是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干莖，將變化大的位的數(shù)作為分支葉列在主干的后面，這樣就可以清楚的看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)具體是多少.搞清楚莖葉圖的意義，便能讀懂莖葉圖，便能求出莖葉圖所給數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、均值.該題要求不需要通過(guò)計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可，也考查學(xué)生對(duì)于數(shù)據(jù)的敏感性.

該題的第二問(wèn)考查的對(duì)象是隨機(jī)事件的概率，與試題一考查的內(nèi)容一樣，在此不再贅述.

例4某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

∑8i=1（xi-）2

∑8i=1（wi-）2

∑8i=1（xi-）（yi-）

∑8i=1（wi-）（yi-）

4665636828981614691088

表中wi=xi，=∑8i=1wi

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+dx哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

（ⅰ）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

（ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

附對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

β^=∑ni=1（ui-）（vi-）∑ni=1（ui-）2，α^=-β^

（2015年理，全國(guó)卷Ⅰ，19）

析解本題主要通過(guò)線性回歸方程考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.對(duì)于統(tǒng)計(jì)中線性回歸以及函數(shù)中變量替換的理解，學(xué)生通過(guò)判斷線性和非線性可以得出第一問(wèn)的結(jié)果.由于在高中教學(xué)中未涉及非線性的回歸方程，第二問(wèn)以非常巧妙的變量替換將非線性方程轉(zhuǎn)化為了線性回歸方程，對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的考查效果明顯.第三問(wèn)又將所求方程應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決之中，與課標(biāo)要求的培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)相符合，可見(jiàn)，是一道對(duì)學(xué)生綜合考查數(shù)據(jù)分析能力的好題，學(xué)生掌握了以上的知識(shí)，不難完整地解決這個(gè)問(wèn)題.

本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤在于：1.無(wú)法正確判斷線性與非線性方程；2.無(wú)法作出變量替換；3.線性回歸方程的系數(shù)求解出錯(cuò).

若兩變量有關(guān)系的話，存在兩種關(guān)系，函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是確定的，相關(guān)關(guān)系是不確定的，函數(shù)關(guān)系是理想化的關(guān)系模型，相關(guān)關(guān)系是一種更一般的情況.對(duì)兩個(gè)變量有無(wú)線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，若確認(rèn)有的話，便稱估計(jì)這種關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法叫做線性回歸分析[3].高考中線性回歸分析主要考察線性回歸方程的求解，并由求解的方程做預(yù)報(bào)或要求對(duì)某個(gè)變量做出解釋.

此題的難點(diǎn)在于將非線性方程轉(zhuǎn)化為了線性回歸方程，成功轉(zhuǎn)化之后，線性回歸試題主要求回歸直線方程，從上面的例題分析看出，求回歸直線方程主要在于求和，掌握到和的求法，并計(jì)算正確，而本題中已經(jīng)給出了一些計(jì)算結(jié)果由學(xué)生自行挑選，與課標(biāo)規(guī)定的重理解輕計(jì)算的理念相符合，至此這類問(wèn)題便可迎刃而解.3結(jié)論

通過(guò)以上試題的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)高考中考查數(shù)據(jù)分析能力的試題的難度是有所提升的，高考中概率統(tǒng)計(jì)是一個(gè)命題的重點(diǎn).參加高考復(fù)習(xí)的師生雙方能準(zhǔn)確的把握“概率統(tǒng)計(jì)”在高考中所占的“地位”份量及難度，以便能更加“精確”地組織及應(yīng)對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”的復(fù)習(xí)，這就要求教師在日常教學(xué)中對(duì)于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)給予足夠多的重視，著力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

筆者將新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與舊的教學(xué)大綱中數(shù)據(jù)分析部分內(nèi)容進(jìn)行橫向比較來(lái)看，新課標(biāo)加大加深了很多概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)，比如獨(dú)立性檢驗(yàn)等內(nèi)容.縱觀整個(gè)中小學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，可以看出，高中數(shù)學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)部分相對(duì)于初中和小學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)有了長(zhǎng)足的拓展.回歸到高中數(shù)學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)來(lái)看，這些新增加的知識(shí)點(diǎn)是以前的高中老師沒(méi)有教過(guò)的，高中的學(xué)生也從來(lái)沒(méi)有接觸過(guò)的.如何搞好高中新增概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生正確處理高考中概率統(tǒng)計(jì)試題是一個(gè)擺在我們面前嶄新的課題，如何更有效的提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，期待更多的人去研究.

參考文獻(xiàn)

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北京師范大學(xué)出版社，2012.

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[3]陳立強(qiáng).高中數(shù)學(xué)教學(xué)概率統(tǒng)計(jì)部分淺析[D].華中師范大學(xué)，2011.

作者簡(jiǎn)介李春長(zhǎng)，男，江西吉安人，江西師范大學(xué)碩士在讀，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育.劉錫光，男，江西師范大學(xué)副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育心理學(xué)，《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》雜志主編.恭祝楊世明（楊之）老師80歲大壽

王方漢八十春秋歷史長(zhǎng)河短暫一瞬，經(jīng)風(fēng)沐雨碩果累累恭祝長(zhǎng)齡。初數(shù)研究從起步到北京盛會(huì)，二十四載從弱到強(qiáng)發(fā)展至今。遙想當(dāng)年運(yùn)籌帷幄宏篇三論，搖旗吶喊身先士卒廣羅精英；問(wèn)題課題字字珠璣引領(lǐng)來(lái)者，不等式鏈折線數(shù)陣絕對(duì)方程；妙用方法籍憑哲學(xué)呼風(fēng)喚雨，鐘情初數(shù)潛心探索譜寫丹心。積學(xué)儲(chǔ)寶披星戴月年復(fù)一年，沙金石玉坎坷無(wú)價(jià)終修大成。群芳齊壽正值良辰春滿人間，耄耋奮進(jìn)期頤可待松柏長(zhǎng)青。2015年7月15日北京回龍觀