關于非齊次線性微分方程的一個證明

彭興媛

摘 ?要：n階線性微分方程是常微分教材中非常重要的一個部分，因其理論已被深入研究，且應用也非常廣泛，故在第四章中重點學習了線性微分方程的基本理論和常系數(shù)微分方程的解法。但關于n階非齊次線性微分方程存在且最多存在n+1個線性無關的解的證明卻并未詳細給出，故本文先給出該證明所涉及到的重要概念，然后再給出該結論的詳細證明過程，為學習該門課程的學生提供一個參考。

關鍵詞：非齊次線性微分方程 ?線性無關 ?解

中圖分類號：G644.5 ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-1578（2019）09-0015-01

1 ? 引言

在第四章里已經(jīng)學習了n階線性微分方程的概念、解的存在唯一性定理、n階齊次線性微分方程的解的性質與結構，知道了n階齊次線性微分方程一定存在且最多存在n個線性無關的解，以及其中的一個非常重要的定理——通解的結構定理。所以，關于n階齊次線性微分方程的內容基本掌握了，但是在實際情況下，碰到n階非齊次線性微分方程的情況較多，且關于n階非齊次線性微分方程存在且最多存在n+1個線性無關的解這一結論，書上并沒有給出詳細的證明過程，所以本文先給出n階非齊次線性微分方程的定義及性質，然后再給出證明過程。

2 ? 相關概念及性質

2.1 n階非線性微分方程

（dnx/dtn）+a1（t）（dn-1x/dtn-1）+ …+an-1（t）（dx/dt）+an（t）x

=f（t） ? ? ? （1）

其中所有的系數(shù)ai（t）（i=1，2，…，n）及f（t）都是區(qū)間a≤t≤b上的連續(xù)函數(shù)。

當f（t）=0時，（1）式就變成n階齊次線性微分方程，所以n階齊次線性微分方程是n階非齊次線性微分方程的特殊形式，這里為書寫方便，將n階齊次線性微分方程記為（2）。

2.2 性質1

如果x1（t）是方程（1）的解，而x2（t）是方程（2）的解，則

x1（t）+x2（t）也是（1）的解。

2.3 性質2

方程（1）的任意兩個解之差必為方程（2）的解。

3 ? 證明過程

對于n階非齊次線性微分方程（1）存在且最多存在n+1個線性無關的解這一結論，本文分兩步進行證明，首先證明方程（1）存在n+1個線性無關的解，其次再證明線性無關的解最多為n+1個。

證明：（1） 設x1（t），x2（t），…， xn（t）是方程（1）對應的齊次線性微分方程（2）的一個基本解組，X（t）是（1）的一個解，則根據(jù)性質1有：x1（t）+X（t），x2（t）+X（t），…，xn（t）+X（t）， X（t）均為方程（1）的解?，F(xiàn)證明它們是線性無關的，假設存在常數(shù)c1，c2，…，cn+1，使得：

c1[x1（t）+X（t）] + c2[x2（t）+X（t）]+ … + cn[xn（t）+X（t）]+cn+1 X（t）=0，

整理后可得：

[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）]+X（t）（c1+c2+…+cn+1）=0。

若c1+c2+…+cn+1≠0，則：

X（t）=–[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）]/（c1+c2+…+cn+1），

即X（t）是x1（t），x2（t），…，xn（t）的線性組合，由方程（2）的解的疊加原理可知X（t）也是方程（2）的解，故與假設矛盾！

所以c1+c2+…+cn+1=0，即得c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）=0。

又因為x1（t），x2（t），…， xn（t）是基本解組，所以線性無關。

故有：c1=c2=…=cn=0，進而得出cn+1=0。

所以方程（1）有n+1個線性無關的解。

（2） 設方程（1）的任意n+2個解為： x1（t），x2（t），…，xn（t），xn+1（t），xn+2（t），則根據(jù)性質2可得：

x1（t）–xn+2（t），x2（t）–xn+2（t），…，xn（t）–xn+2（t），xn+1（t） –xn+2（t）就是n階齊次線性微分方程（2）的n+1個解，故它們線性相關。即存在一組不全為零的一組數(shù)：c1，c2，…，cn+1使得：

c1[x1（t）–xn+2（t）]+ c2[x2（t）–xn+2（t）]+ … + cn[xn（t）–xn+2（t）]+ cn+1[xn+1（t）–xn+2（t）]=0，

整理后可得：

[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cn+1xn+1（t）]–xn+2（t）（c1+c2+…+cn+1）=0。

故對于x1（t），x2（t），…， xn（t），xn+1（t），xn+2（t）而言，一組不全為零的數(shù)c1，c2，…， cn+1，–（ c1+c2+…+ cn+1）是存在的，所以x1（t），x2（t），…， xn（t），xn+1（t），xn+2（t）線性相關?？赏浦匠蹋?）的任意m（m>n+1）個解都線性相關。故線性無關的解最多為n+1個。

4 ? 結語

相對于n階齊次線性微分方程一定存在且最多存在n個線性無關的解而言，非齊次方程的線性無關的解的個數(shù)多了一個，所以在求解時，一定要區(qū)分是齊次線性方程還是非齊次線性方程。

參考文獻：

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