尹芬芬

（銅仁學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

角動(dòng)量的理論研究

尹芬芬

（銅仁學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

研究一些物理問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于參考點(diǎn)或繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，此時(shí)用速度、動(dòng)量都不能解決，因此物理學(xué)中引入了新的物理量—角動(dòng)量。角動(dòng)量能準(zhǔn)確地描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀況，在量子領(lǐng)域中也能反映表征狀態(tài)，并且在現(xiàn)代技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。本文從角動(dòng)量的定義出發(fā)，對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)繞定軸、質(zhì)點(diǎn)系繞定軸等不同情況下的角動(dòng)量定理及守恒定律進(jìn)行了研究，并對(duì)動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒的區(qū)別與聯(lián)系以及角動(dòng)量的知識(shí)應(yīng)用等進(jìn)行了探討。

角動(dòng)量；質(zhì)點(diǎn)；轉(zhuǎn)動(dòng)

1.引言

角動(dòng)量是大學(xué)物理中的重要參量，它能準(zhǔn)確地描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)情況。它在經(jīng)典物理、航空技術(shù)、近代物理理論中都扮演著極其重要的角色，是物理學(xué)中重要的力學(xué)概念之一［1］。下面我們具體研究各種情況下物體角動(dòng)量及其相關(guān)定理和定律。

2.各種情況下角動(dòng)量定理及守恒定律

2.1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量研究

2.1.1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量

如圖所示，該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，速度為v→，其相對(duì)于參考點(diǎn)O的位矢為r→，那么該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)而言，其角動(dòng)量定義為：的大小為L(zhǎng)=rmvsinφ，其中φ為和→的夾角。→垂直于→和→所在平面，指向滿足右手螺旋定則。

由于速度及位矢都是矢量，在直角坐標(biāo)系中可

分別表示成：

可得質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)的具體表達(dá)式：

2.1.2.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理

需要說(shuō)明的是：力矩、角動(dòng)量均對(duì)慣性系的同一參考點(diǎn)而言，且該點(diǎn)為定點(diǎn)時(shí)，才滿足上式。

2.1.3.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定→律

2.2.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸（設(shè)為z軸）的角動(dòng)量

2.2.1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的角動(dòng)量

設(shè)某一質(zhì)點(diǎn)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，那么質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量為它對(duì)軸上任意點(diǎn)的角動(dòng)量沿該軸的分量?？傻觅|(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量為

2.2.2.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的角動(dòng)量定理

式中zM 是對(duì)z軸的力矩，zM 的具體求法：對(duì)該軸線上某點(diǎn)的力矩M在該軸線上的投影。

2.2.3.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的角動(dòng)量守恒定律

2.3.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量研究

2.3.1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量［3］

質(zhì)點(diǎn)系是由許多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，比如剛體就是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，它可看做由很多質(zhì)點(diǎn)組成，且各質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量的定義為各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和。

2.3.2.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理

因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系之間的力總是成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等，方向相反，所以內(nèi)力矩之和M內(nèi)=0。

2.3.3.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律

當(dāng)M外=0，那么質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，即=常矢量。質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸角動(dòng)量守恒包括三種情況：（1）=0；（2）質(zhì)點(diǎn)系所受的外力均通過(guò)該參考點(diǎn)；（3）單個(gè)外力的力矩不為 0，但總外力矩M外=0

2.4.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸z軸的角動(dòng)量

我們研究特殊的質(zhì)點(diǎn)系—質(zhì)量分布均勻的剛體繞固定對(duì)稱軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)情況。

2.4.1.剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量

由此可知，只有固定軸z軸是質(zhì)量均勻分布的剛體對(duì)稱軸，即 Z軸為剛體的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)［4］，才滿足：

2.4.2.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的角動(dòng)量定理

當(dāng)固定軸z軸是質(zhì)量均勻分布的剛體對(duì)稱軸時(shí)，有：

2.4.3.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律

2.5.剛體進(jìn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量

所謂進(jìn)動(dòng)指物體在高速自轉(zhuǎn)的同時(shí)，其自身對(duì)稱軸還繞豎直軸做回旋運(yùn)動(dòng)。如將飛輪轉(zhuǎn)軸的自由端放在固定的豎直桿頂端的凹槽O中，使飛輪繞自身水平軸OO'旋轉(zhuǎn)［5］，亦稱之為自旋。放手后，飛輪在自旋的同時(shí)，其軸在水平面內(nèi)以O(shè)為中心旋轉(zhuǎn)。下面研究自行車飛輪進(jìn)動(dòng)的角動(dòng)量。

3.動(dòng)量與角動(dòng)量知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系

當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的動(dòng)量守恒時(shí)，它的角動(dòng)量必定守恒；反之，它對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒時(shí)，動(dòng)量不一定守恒［6］。下面將進(jìn)行具體證明：

4.角動(dòng)量知識(shí)的應(yīng)用

4.1.解釋日常現(xiàn)象［7］：

日常生活中很多現(xiàn)象蘊(yùn)含角動(dòng)量知識(shí)，如：滑冰運(yùn)動(dòng)員做花樣動(dòng)作時(shí)，合外力矩為0，角動(dòng)量守恒，運(yùn)動(dòng)員通過(guò)伸展或收縮手臂及腿來(lái)改變自身對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而改變轉(zhuǎn)速。競(jìng)技運(yùn)動(dòng)員空翻時(shí)，在空中蜷縮身體減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，增大轉(zhuǎn)速；著地時(shí)伸展身體增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減小轉(zhuǎn)速。

4.2.解題應(yīng)用

4.2.1.證明定律：

行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律：在太陽(yáng)系中行星對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等?，F(xiàn)在我們通過(guò)角動(dòng)量守恒定律來(lái)證明：

設(shè)質(zhì)量為m的行星在t時(shí)刻速度為v→，對(duì)太陽(yáng)的矢徑為r→，因?yàn)樾行菍?duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒，所以恒矢量，行星對(duì)太陽(yáng)的矢徑在dt間隔內(nèi)掃過(guò)的面積為：

4.2.2.解題舉例：

質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的棒豎直懸掛于固定點(diǎn)，一質(zhì)量為0m的子彈以水平速度0v→射入棒的下端后速度變?yōu)樵瓉?lái)的，求子彈射出后棒的角速度ω。

分析：將棒和子彈視為一個(gè)系統(tǒng)，那么系統(tǒng)所受合力矩為0，滿足角動(dòng)量守恒：

4.3.現(xiàn)代技術(shù)中的應(yīng)用

角動(dòng)量定理和守恒定律在現(xiàn)代技術(shù)如航空航天、航海、測(cè)量?jī)x器等方面都有廣泛的應(yīng)用［8］。如航空方面：直升機(jī)為什么要安裝抗扭螺旋槳呢？下面進(jìn)行具體分析：直升機(jī)由三部分組成：主螺旋槳、機(jī)身和抗扭螺旋槳組成。將機(jī)身和主螺旋槳視為一系統(tǒng)，開(kāi)始發(fā)動(dòng)機(jī)沒(méi)有發(fā)動(dòng)，直升機(jī)靜止，對(duì)于機(jī)身和主螺旋槳這一系統(tǒng)而言，角動(dòng)量為零。主螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，輪與地面的摩擦力矩為外力矩，系統(tǒng)的角動(dòng)量增加，但此時(shí)主螺旋槳作用于機(jī)身的內(nèi)力矩和輪與地面的摩擦力矩平衡，從而使機(jī)身處于平衡狀態(tài)。隨著主螺旋槳轉(zhuǎn)速增加，機(jī)身離地，摩擦力矩為0，忽略空氣阻力矩，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，如果其轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加，機(jī)身會(huì)向反方向運(yùn)動(dòng)，以維持角動(dòng)量守恒，所以安裝抗扭螺旋槳產(chǎn)生附加力矩與機(jī)身內(nèi)力矩保持平衡。再如，輪船具有大量轉(zhuǎn)動(dòng)部件物體，當(dāng)輪船航行時(shí)，輪船本身會(huì)繞橫軸擺動(dòng)，或繞鉛直轉(zhuǎn)彎或繞船身縱軸擺動(dòng)，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)部件進(jìn)動(dòng)，從而產(chǎn)生陀螺力矩，造成軸承破壞或轉(zhuǎn)軸彎曲。

［1］羅會(huì)琴.在物理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)掘探究能力［J］.銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，9（4）：128-130.

［2］陳文燈，黃先開(kāi).數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集（理工類）［M］.北京：世界圖書(shū)出版公司，2003.

［3］任麗英.關(guān)于力矩和角動(dòng)量教學(xué)的幾點(diǎn)看法［J］.忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，19（2）：69-70.

［3］王少杰，顧牡.新編基礎(chǔ)物理學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

［4］黃英，李華，李靜.剛體角動(dòng)量的確定［J］.職業(yè)圈，2007，（7）：117-119.

［5］張三慧.大學(xué)物理學(xué)：力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1999.

［6］李志民.角動(dòng)量守恒定律討論［J］.洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，14（2）：125-128.

［7］樊麗娟，張林，譚德斌，等.“物理問(wèn)題”教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究［J］.銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，12（4）：135-137.

［8］王志剛，張立換，徐建軍.角動(dòng)量理論在現(xiàn)代技術(shù)中的應(yīng)用［J］.現(xiàn)代物理知識(shí)，2007，19（1）：87-90.

Theoretical Studies on Angular Momentum

YIN Fen-fen
（School of Continuing Education，Tongren University，Tongren，Guizhou 554300，China ）

In physics，mass points or mass point systems may revolve relative to the reference point or around the axis. In this case，neither velocity nor momentum can solve it，but angular momentum，a new physical concept of physics，is introduced，which precisely describes the revolution of an object，reflects its representational state in the quantum realm，and is therefore widely used in modern technologies. Based on the definition of angular momentum，this article studies the angular momentum theorems and the conservation laws governing in different circumstances such as the mass point relative to the reference point，the mass point around the fixed axis，the mass point system around the fixed axis，etc，and further probes the differences and commonality between momentum conservation and angular momentum conservation，and the application of angular momentum.

angular momentum，mass point，revolve

O311.1

A

1673-9639 （2015） 04-0098-04

（責(zé)任編輯 徐松金）（責(zé)任校對(duì) 毛志）（英文編輯 田興斌）

2014-11-27

尹芬芬（1987-），女，湖南邵陽(yáng)人，碩士，主要從事理論物理引力與相對(duì)論方向的研究。