關(guān)于Bernstein-Durrmeyer-Bézier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

鄧雪莉，吳嘎日迪

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特 內(nèi)蒙古　010022）

關(guān)于Bernstein-Durrmeyer-Bézier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

鄧雪莉，吳嘎日迪

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特 內(nèi)蒙古010022）

在連續(xù)函數(shù)空間和Lp空間內(nèi)研究算子逼近方法的基礎(chǔ)上，利用一階Ditzian-Totik積分模與不等式技巧研究了Bernstein-Durrmeyer-Bézier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近性質(zhì).得到了Bernstein-Durrmeyer-Bézier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近正定理和逼近等價(jià)定理.由于Orlicz空間比連續(xù)函數(shù)空間和Lp空間都“大”，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也比Lp空間復(fù)雜得多，所以本文的結(jié)果具有一定的拓展意義.

Bezier型算子；逼近正定理；等價(jià)定理；K-泛函；光滑模

1　引言

Bernstein-Durrmeyer-Bézier算子的定義為［1］：

其中

顯然，Dn，α（f，x）是正線性算子并且Dn，α（1，x）=1.當(dāng)α=1時(shí)，Dn，α（f，x）就是Durrmeyer算子

本文將利用Ditzian-Totik模研究算子Dn，α（f，x）在Orlicz空間內(nèi)的逼近正定理及逼近等價(jià)定理.

M（u）和N（v）表示互余的N函數(shù)，關(guān)于N函數(shù)的定義及其性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.由N函數(shù)M（u）生成的Orlicz空間L?M［0，1］是指具有有限Orlicz范數(shù)：

的可測(cè)函數(shù)全體｛u（x）｝，其中

是v（x）關(guān)于N（v）的模.

由文獻(xiàn)［2］知，Orlicz范數(shù)其等價(jià)形式為：

在下文中用L?M［0，1］表示帶有Orlicz范數(shù)的Orlicz空間.對(duì)于f∈L?M［0，1］，定義其光滑模和K-泛函如下：

其中

由文獻(xiàn)［3-4］知

這里a～b的含義是存在常數(shù)C＞0，使得C-1a≤b≤Ca.

用C表示與n，x無(wú)關(guān)的正常數(shù)，但在不同處可以表示不同的數(shù)值.

2　正定理

首先列出一些將要用到的性質(zhì)，這些性質(zhì)都可以通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得到.

為了證明正定理，首先證明幾個(gè)引理.

引理 2.1對(duì)于f∈L?M［0，1］，有

證明由（2.5）式和文獻(xiàn)［5］中的引理1.1.1的結(jié)論，有

引理得證.

與文獻(xiàn)［6］中相應(yīng)結(jié)果的證明完全相仿，有

引理2.2對(duì)Pm∈Πm（定義在［0，1］上次數(shù)不超過(guò)m的代數(shù)多項(xiàng)式全體），k∈N，有

下面給出逼近正定理

3　等價(jià)定理

為了證明等價(jià)定理，首先給出兩個(gè)引理.

定理3.1 設(shè)

［1］Chang G.Generalized Bernstein-Bézier polynomial［J］.J.Comput.Math.，1983，1（4）：322-327.

［2］王廷輔.奧爾里奇空間及其應(yīng)用［M］.哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1983.

［3］Wu Garidi.On Approximation by polynomials in Orlicz spaces［J］.A.T.A.，1991，7（3）：97-110.

［4］Ditzian Z，Totik V.Mouli of Smoothness［M］.NewYork：Spring-Verlag，1987.

［5］顧春賀.Orlicz空間中幾個(gè)逼近問(wèn)題的研究［D］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)：圖書(shū)館，2009.

［6］郭順生，劉國(guó)芳，宋占杰.關(guān)于Bernstein-Durrmeyer-Bézier算子在Lp空間中的逼近［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2010，30（6）：1424-1434.

［7］Zeng X，Chen W.On the rate of convergence of the generalized Durrmeyer type operators for function of bounded variation［J］.J.Approx.Theory，2000，102：1-12.

［8］陳廣榮，吳嘎日迪.Orlicz空間中的聯(lián)合最佳逼近［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1992，8（1）：102-104.

On approximation of Bernstein-Durrmeyer-Bézier operators in Orlicz spaces

Deng Xueli，Wu Garidi

（college of mathematics Science，Inner Mongolia Normal University，Hohhot010022，China）

In this paper we investigate the approximation problem of Bernstein-Durrmeyer-Bézier operators in Orlicz spaces based on the methods of studying the operator approximation in continuous function space and Lpspace，and used the tools of Ditzian-Totik integral modulus，with the help of the inequality techniques，and obtain the results of direct theorem and equivalence theorem on approximation of Bernstein-Durrmeyer-Bézier operators in Orlicz spaces.Because the Orlicz space is“big”than continuous function space and Lpspace，and its topological structure is more complicated than Lpspace，the results of this paper have certain expansion significance.

Bézier-type operator，direct theorem，equivalence theorem，K-functional，modulus of smoothness，elementary method，conjecture

O174.41

A

1008-5513（2015）03-0307-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.012

2012-11-13.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11161033）；內(nèi)蒙古師范大學(xué)人才工程基金（RCPY-2-2012-K-036）.

鄧雪莉（1986-），碩士生，研究方向：函數(shù)逼近論.

吳嘎日迪（1962-），碩士，教授，研究方向：函數(shù)逼近論.

2010 MSC：26A15