楊將，郭亞曉

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安　710127)

非自治動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)鋲鹤兎衷淼囊稽c(diǎn)注記

楊將，郭亞曉

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127)

用類似于非自治熵的變分原理的方法，證明了非自治拓?fù)鋲旱淖兎衷淼囊粋€(gè)不等式，推廣了非自治熵的變分原理，豐富了非自治變分原理的內(nèi)容.

非自治熵；非自治拓?fù)鋲海蛔兎衷?/p>

1　引言

熵是迄今為止發(fā)現(xiàn)的重要的非負(fù)不變量，每個(gè)緊系統(tǒng)都有一個(gè)確定的拓?fù)潇兀徽J(rèn)為是連續(xù)作用在底空間上引起混亂程度的一種度量，而估計(jì)和計(jì)算緊致系統(tǒng)的拓?fù)潇鼐统闪藙?dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)永恒的課題.熵分為測(cè)度熵和拓?fù)潇?，因此連接測(cè)度熵和拓?fù)潇氐淖兎衷砭惋@得非常重要.拓?fù)鋲菏莿?dòng)力系統(tǒng)中拓?fù)潇氐囊环N推廣，也是熱力學(xué)中的一個(gè)重要概念，在熱力學(xué)的研究中有著重要的意義.因此，壓的變分原理無論是在動(dòng)力系統(tǒng)還是在熱力學(xué)中都是關(guān)注的重點(diǎn).動(dòng)力系統(tǒng)又分為自治與非自治，自從自治的熵的變分原理與壓的變分原理被證明以后，對(duì)變分原理的研究轉(zhuǎn)移到更為廣泛的非自治系統(tǒng)的變分原理.2012年朱玉俊在文獻(xiàn)[1]中得到了底空間是緊的、映射序列是連續(xù)的且保持Borel測(cè)度不變的情況下的非自治熵的變分原理，即

2013年，Jose S.Cánovas在文獻(xiàn)[2]中作了進(jìn)一步的改進(jìn)，得到了底空間是距離空間且在有限球維數(shù)的情況下去掉ln2的變分原理，即

同年Kawan在文獻(xiàn)[3]中給出在映射序列等度連續(xù)的情況下非自治熵的變分原理的不等式，即測(cè)度熵不超過拓?fù)潇?受這些文章的啟發(fā)，本文把自治拓?fù)潇氐淖兎衷磉M(jìn)一步推廣到非自治拓?fù)鋲旱淖兎衷砩?，并給出一類非自治動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)鋲旱淖兎衷聿坏仁?

2　預(yù)備知識(shí)

記(X，f1，∞)為非自治動(dòng)力系統(tǒng).對(duì)于任意的n∈N+，在X上定義新的度量

定義2.1[1]設(shè)K是X上的緊子集，對(duì)任意的ε＞0，稱E?X為K的(f1，∞，n，ε)生成集，如果對(duì)任意的x∈K，存在y∈E，使得dn(x，y)≤ε.

記r(f1，∞，n，ε，K)為K的(f1，∞，n，ε)生成集的最小基數(shù).

定義2.2[2]設(shè)K是X上的緊子集，稱F?K為(f1，∞，n，ε)分離集，如果x，y∈F，xy，則有dn(x，y)＞ε.

同樣，記s(f1，∞，n，ε，K)為K的(f1，∞，n，ε)分離集的最大基數(shù).

定義2.3[4]設(shè)(X，f1，∞)是非自治動(dòng)力系統(tǒng)，K是X上的緊子集，定義

這里

f1，∞的拓?fù)潇囟x為：

有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)度量，記f1，∞的拓?fù)潇貫閔d(f1，∞).

設(shè)(X，B(X)，m)是概率空間，其中B(X)是Borel可測(cè)集的全體，為保測(cè)變換，即任意的i∈N+，

如果對(duì)所有的fi，i∈N+，fi保持相同的概率測(cè)度m，則稱f1，∞保持m，或m是f1，∞的不變測(cè)度，并且記X上的所有保持f1，∞測(cè)度不變的全體集合為M(X，f1，∞)，現(xiàn)在給出(X，f1，∞)的測(cè)度熵的定義.

定義2.4[4]設(shè)(X，B(X)，m)是概率空間，m∈M(X，f1，∞)，ξ是X的一個(gè)有限可測(cè)分解，定義f1，∞相對(duì)于ξ的測(cè)度熵為：

定義2.5[5]對(duì)任意ε＞0，n≥1，φ∈C(X，R)，記

3　主要結(jié)果及其證明

等號(hào)成立的充分必要條件為：

定理3.1設(shè)X是緊的度量空間，f1，∞是X上的連續(xù)自映射序列，則對(duì)任意μ∈M(X，f1，∞)，φ∈C(X，R)，有

4　問題

在自治熵的變分原理中，Power Rule公式 (即 h(fk)=kh(f))極大的化簡(jiǎn)了熵的變分原理的證明過程，使得熵的變分原理的證明被更多的人接受.因此，在非自治的情況下，找到Power Rule公式成為解決非自治變分原理的重要環(huán)節(jié).類似于熵的變分原理，壓的變分原理也有P(fk，Skφ)=kP(f，φ)，在壓的變分原理證明中的作用類似于自治變分原理的Power Rule公式，遺憾的是在非自治的情況下是不成立的，文獻(xiàn)[7]中給出了反例，正因?yàn)檫@樣，無論是非自治熵的變分原理還是非自治壓的變分原理，都沒有給出變分原理成立的充分必要條件.在此提出兩個(gè)問題：

(2)是否可以改進(jìn)定理3.1的證明給出非自治拓?fù)鋲鹤兎衷沓闪⒌某浞直匾獥l件.

[1]Zhu Y J，Liu Z F，Zhang W D.Entropy of nonautonomous dynamical systems[J].J.Korean Math.Soc.，2012，49：165-185.

[2]Jose S，?anovas.On entropy of non-autonomous discrete systems partic[J].Japnts of International Conference Dynamical Systems，2013：143-159.

[3]Christoph Kawan.Metric entropy of nonautonomous dynamical systems[J].arXiv：1304.5682v2[math.DS] 16 Jul.2013.

[4]Walters P.An Introduction to Ergodic Theory[M].New York：Springer Verlag，1982.

[5]孫文祥.遍歷論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012.

[6]Kolyada S，Snoha L.Topological entropy of nonautonomous dynamical systems[J].Random Comput.Dyn.，1996，4：205-233.

[7]Huang X J，Wen X，Zeng F P.Topological pressure of nonautonomous dynamical systems[J].Nonlinear Dynamics and Systems Theory，2008，8(1)：43-48.

Remarks on variational principle of topological pressure of nonautonomous dynamical systems

Yang Jiang，Guo Yaxiao
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China)

This article uses the method similar to variational principle of nonautonomous entropy，proves variational principle of nonautonomous topological pressure about an inequality，introduces the principle of variational principle of nonautonomous entropy，and enriches the content of variational principle.

entropy of onautonomous，topological pressure of nonautonomous，variational principle

O189

A

1008-5513(2015)01-0036-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.005

2014-10-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301417，11371292).

楊將(1987-)，碩士生，研究方向：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)與遍歷論.

2010 MSC:22A30