丁光濤

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

狀態(tài)空間中約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程*

丁光濤?

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

引入狀態(tài)變量表示力學(xué)系統(tǒng)的約束方程；建立狀態(tài)空間中運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)的新型變分原理；導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)的帶乘子的運(yùn)動(dòng)微分方程和廣義狀態(tài)變量運(yùn)動(dòng)微分方程；證明狀態(tài)空間中運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是奇異的；舉例說(shuō)明所得結(jié)果的應(yīng)用.

分析力學(xué)，狀態(tài)空間，運(yùn)動(dòng)約束，變分原理，運(yùn)動(dòng)方程

引言

上世紀(jì)90年代初期，我國(guó)力學(xué)界圍繞非完整系統(tǒng)的力學(xué)模型曾發(fā)生過(guò)一場(chǎng)影響深遠(yuǎn)的爭(zhēng)論［1］，其中一些重要工作涉及狀態(tài)空間［2-5］.對(duì)狀態(tài)空間中完整系統(tǒng)的分析力學(xué)理論已進(jìn)行過(guò)研究［6］，本文將上述工作拓展到存在與速度相關(guān)的運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)，給出對(duì)應(yīng)的變分原理和運(yùn)動(dòng)微分方程，并證明了方程的奇異性.這種從位形空間中力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程到對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間中運(yùn)動(dòng)方程的變換，在數(shù)學(xué)上等效，在物理上有可能帶來(lái)新的結(jié)果.例如，在上世紀(jì)初，曾經(jīng)圍繞是否所有的二階微分方程都可以表示成為L(zhǎng)agrange方程的問(wèn)題進(jìn)行過(guò)討論，得到的結(jié)論是否定的［7］；值得注意的是，有些二階方程雖然不能直接或間接地從變分原理導(dǎo)出，但是Hojman證明將這些方程變換成等效的一階微分方程后，就能夠?qū)С鲆浑ALagrange函數(shù)，將其表示為L(zhǎng)agrange方程［8］.此外，雖然本文得到的理論不同于通常的非完整力學(xué)，但是在某些特殊條件下卻與非完整力學(xué)結(jié)果一致.最后通過(guò)實(shí)例說(shuō)明所得結(jié)果的應(yīng)用.

1　狀態(tài)空間中力學(xué)系統(tǒng)的約束

1.1力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間

經(jīng)典力學(xué)中引入多種空間描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并在其中分別建立對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)理論.對(duì)于由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的Newton力學(xué)系統(tǒng)，其全部質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位置集合

描述了系統(tǒng)的位形，由位置坐標(biāo)（位形變量）張成的空間稱(chēng)為位形空間.系統(tǒng)全部質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位置和速度集合

描述了系統(tǒng)的狀態(tài)，由狀態(tài)變量（位置和速度）張成的空間稱(chēng)為狀態(tài)空間.在位形空間中速度的定義是坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的微商，即

但是，在狀態(tài)空間中速度變量應(yīng)作為獨(dú)立變量，方程（3）不能再看作當(dāng)然成立的定義式.以下把xki，vki寫(xiě)成xj，vj，（j=3k-2，3k-1，3k；k=1，…，N）.以上的坐標(biāo)速度變量是嚴(yán)格力學(xué)意義上的狀態(tài)變量，這種空間可以稱(chēng)為狹義的狀態(tài)空間.

1.2狀態(tài)空間中的約束方程

位形空間中和狀態(tài)空間中的約束方程的形式和約束的分類(lèi)有所不同，集中表現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)約束上.

幾何約束僅限制質(zhì)點(diǎn)的幾何位置，兩種空間中這種約束方程都寫(xiě)成

運(yùn)動(dòng)約束是與速度相關(guān)的約束，在位形空間中這種約束方程寫(xiě)成

其中線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)約束方程寫(xiě)成

方程（5）和（6）所表示的約束有時(shí)稱(chēng)為微分約束，這些微分約束又分成可積分的和不可積分的，因而帶來(lái)了完整和非完整約束的分類(lèi).這里以及后面的求和約定是，對(duì)同一項(xiàng)中重復(fù)的拉丁下標(biāo)i，j自動(dòng)從1到3N求和；對(duì)重復(fù)的拉丁下標(biāo)r，s自動(dòng)從1到g求和；對(duì)重復(fù)的希臘下標(biāo)α，β自動(dòng)從1到S=3N-g求和.

在狀態(tài)空間中，將一般的運(yùn)動(dòng)約束方程寫(xiě)成

其中線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)約束方程寫(xiě)成

方程（7）和（8）中，x1，…，x3N；v1，…，v3N是彼此獨(dú)立的變量.在本文中按照式（7）表達(dá)的運(yùn)動(dòng)約束方程與式（4）表達(dá)的幾何約束方程，都是有限形式的方程，而不是微分方程，方程（7）和（8）沒(méi)有可積和不可積的區(qū)別，也就是說(shuō)，在狀態(tài)空間中約束力學(xué)系統(tǒng)沒(méi)有完整和非完整系統(tǒng)的區(qū)別.下面的討論中，如果不作專(zhuān)門(mén)說(shuō)明，就將狀態(tài)空間中系統(tǒng)受到的約束統(tǒng)一寫(xiě)成式（7）形式，而將幾何約束看成它的特殊情形.

1.3狀態(tài)變量的虛變更

考慮力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的虛變更，約束加在其上的限制條件為

將δxj，δvj全體稱(chēng)為系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的虛變更，δxj和δvj分別稱(chēng)為坐標(biāo)虛變更和速度虛變更.這里的虛變更定義可以看作通常幾何約束對(duì)虛位移定義的自然推廣，當(dāng)約束Φr是幾何約束時(shí)，即

式（9）就化作幾何約束對(duì)虛位移的限制條件.

2　狀態(tài)空間中力學(xué)系統(tǒng)的變分原理

2.1微分形式的變分原理

設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)k的質(zhì)量為mk，坐標(biāo)為x3k-2，x3k-1，x3k，速度分量為v3k-2，v3k-1，v3k，作用于其上的合力的分量F3k-2，F(xiàn)3k-1，F(xiàn)3k，系統(tǒng)受到g個(gè)式（7）形式的約束.將D′Alembert原理推廣到狀態(tài)空間，得到

應(yīng)當(dāng)指出，這里以及下面公式中質(zhì)量mj的下標(biāo)作為求和約定的例外處理，不求和.式中Rj，Uj分別是約束對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，在坐標(biāo)子空間和速度子空間中的表現(xiàn).

引入系統(tǒng)狀態(tài)變量的虛變更δxj，δvj，則可以從方程（11）導(dǎo)出下列關(guān)系式

推廣位形空間力學(xué)系統(tǒng)理想約束定義，引入滿(mǎn)足下列條件的狀態(tài)空間中的理想約束

就導(dǎo)出狀態(tài)空間中理想約束系統(tǒng)的微分形式的變分原理

這是一種新的微分形式的變分原理，在系統(tǒng)只存在幾何約束的特殊情況下，這個(gè)原理就變換成為通常的D′Alembert-Lagrange原理.

2.2積分形式的變分原理

式（13）乘以dt并從t=t1到t=t2積分，得到

這個(gè)對(duì)易關(guān)系與約束方程（7）是有限形式的相關(guān).

取端點(diǎn)條件為

上述條件與位形空間Lagrange力學(xué)的變分原理端點(diǎn)條件相同，只要求兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)子空間中是固定的，并沒(méi)有要求在整個(gè)狀態(tài)空間中固定.

定義虛功和動(dòng)能

上式推導(dǎo)過(guò)程中利用了對(duì)易關(guān)系

引入新的狀態(tài)函數(shù)

則從式（14）得到狀態(tài)空間中力學(xué)系統(tǒng)積分形式變分原理的一般形式

如果系統(tǒng)是有勢(shì)的，即存在勢(shì)能函數(shù)V= V（xj，t），使得

代人式（17），得到δW=-δV，則式（20）寫(xiě)成

由于約束方程（7）是有限形式的，故從上式可以得到

式中引入了力學(xué)系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的特性函數(shù)

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)［6］一致.

3　狀態(tài)空間中力學(xué)系統(tǒng)帶乘子的運(yùn)動(dòng)方程

由于存在式（7）運(yùn)動(dòng)約束，微分變分原理（13）中狀態(tài)的虛變更受到條件（9）限制，引入不定乘子λr，從式（13）和（9）導(dǎo)出

由此得到帶乘子的運(yùn)動(dòng)微分方程

關(guān)于方程（25），作如下說(shuō)明：

1）如果系統(tǒng)約束都是幾何約束，滿(mǎn)足條件（10），那么從式（25）的第二組方程得到

代人式（25）的第二組方程得到

這組方程就是分析力學(xué)中的第一類(lèi)Lagrange方程.

2）如果系統(tǒng)約束不滿(mǎn)足條件（10），即約束中存在與速度相關(guān)的運(yùn)動(dòng)約束，那么就得不到式（26）的結(jié)果.從方程（25）可以導(dǎo)出

這組方程與通常非完整力學(xué)中的Routh方程不同，笛卡爾坐標(biāo)下Routh方程為［9］

笛卡爾坐標(biāo)下Vacco方程為［10］

由于對(duì)運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)而言，式（26）不成立，故方程（28）與Vacco方程形式相似而實(shí)質(zhì)不同.

3）在下面討論中，將指出方程（25）是奇異的，它的解不是唯一確定的.

綜上所述，對(duì)幾何約束系統(tǒng)方程（25）與傳統(tǒng)的第一類(lèi)Lagrange方程一致，這是這組方程可能成立的必然要求；但是，對(duì)運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)，這組方程是新型的運(yùn)動(dòng)微分方程.

4　狀態(tài)空間中廣義狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程

4.1廣義狀態(tài)變量運(yùn)動(dòng)方程的導(dǎo)出

引入S個(gè)廣義狀態(tài)變量qα（S=6N-g），系統(tǒng)的坐標(biāo)和速度的變換方程為

將上述變換方程代人（7），所有約束方程都應(yīng)當(dāng)成為恒等式.將以下各式

代人變分原理（13），展開(kāi)并整理得到

這是廣義狀態(tài)變量表示的微分形式變分原理.式中

由于廣義狀態(tài)變量變更δqα是獨(dú)立的，故從式（33）得到

這就是廣義狀態(tài)變量表示的狀態(tài)空間中運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.容易證明上述方程可以從變分原理（20）導(dǎo)出.

對(duì)于有勢(shì)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)微分方程可以直接從變分原理（22）導(dǎo)出，即

將式（23）中K代入方程（39），導(dǎo)出的方程與（38）形式一致，其中廣義力為有勢(shì)力

4.2廣義狀態(tài)變量運(yùn)動(dòng)方程是奇異的

方程（38）（和（39））形式上與完整系統(tǒng)的狀態(tài)空間中的Lagrange方程相同［6］，但是，實(shí)質(zhì)上存在重大區(qū)別，即運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是奇異的.可以直接看出，如果約束數(shù)g是奇數(shù)，即S也是奇數(shù)，而Mαβ是反對(duì)稱(chēng)的，則行列式［Mαβ］為零，系統(tǒng)是奇異的.但是，根本問(wèn)題在于對(duì)方程（38）而言，不論g（或S）是奇數(shù)還是偶數(shù)，系統(tǒng)都必然是奇異的.證明如下：

對(duì)存在g個(gè)運(yùn)動(dòng)約束（7）的系統(tǒng)，將式（7）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得到

上述恒等式可以看作是對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的限制條件

這就是說(shuō)˙qα不是全部獨(dú)立的，它們之間存在上述g個(gè)齊次線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系，即矩陣［Mαβ］的最高秩只能是S-g，行列式

系統(tǒng)（38）是奇異的，方程中廣義速度˙qα不是全部獨(dú)立的的.對(duì)于奇異系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)充條件才能求解，即方程的解不是唯一確定的.與Lagrange力學(xué)類(lèi)似，方程（25）和（38）是等價(jià)的，因此方程組（38）的奇異性，在方程（25）中也應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)出來(lái)，換句話(huà)說(shuō)，帶乘子的運(yùn)動(dòng)微分方程的解也不是唯一確定的，下面將結(jié)合例題討論說(shuō)明.

5　算例分析

討論受線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)約束的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的典型問(wèn)題.設(shè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)所受主動(dòng)力分量為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，約束為

列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，并討論下列兩種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).1）質(zhì)點(diǎn)不受任何主動(dòng)力作用；2）質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng).

首先，列出帶乘子的運(yùn)動(dòng)方程.引入乘子λ，根據(jù)方程（25）得到

其次，列出廣義狀態(tài)變量運(yùn)動(dòng)微分方程.選取變量qα（α=1，2，3，4，5），變換方程為

由式（34）-（37）得到

代入方程（38），得到質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)空間中運(yùn)動(dòng)方程為

結(jié)合約束方程（44），從方程（45）中消去乘子，就導(dǎo)出方程（49），這說(shuō)明帶乘子方程與廣義變量運(yùn)動(dòng)方程是一致的，而且容易證明方程（49）是奇異的，相對(duì)應(yīng)的方程（45）結(jié)合約束方程（44）也不能唯一確定的解.

方程（49）中5個(gè)˙qα不是全部獨(dú)立的，必須引入補(bǔ)充條件.如果假設(shè)

則方程（49）約化成為

這個(gè)方程中4個(gè)廣義速度是獨(dú)立的，可以求解.

需要指出，從數(shù)學(xué)上要考慮主動(dòng)力和補(bǔ)充條件的函數(shù)形式，使導(dǎo)出的約化方程是否相容和可積；從力學(xué)物理學(xué)上要考慮這些條件是否合理，能否實(shí)現(xiàn)；當(dāng)然補(bǔ)充條件的引入也給解決實(shí)際問(wèn)題以新的可能.下面討論兩種簡(jiǎn)單的情況：

1）主動(dòng)力為零，即

并設(shè)

代人方程（51），并結(jié)合方程（49）第5式，可以得到如下的一組解：

式中c1，c2，c3，c4是積分常數(shù).上述解滿(mǎn)足約束（4），而且可以導(dǎo)出

這時(shí)約束方程（44）與典型的非完整約束方程［9］

一致，但是，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)猶如作自由運(yùn)動(dòng)，非完整約束的影響消失了［11］.需要指出的是，這種情況下與方程（49）對(duì)應(yīng)的方程（45）的解中λ=0.

2）質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軸向上，即

方程（51）寫(xiě)成

仍然選擇式（53），方程（58）的一組解為

與解（54）比較，解（59）反映了約束（44）的影響，對(duì)應(yīng)的乘子運(yùn)動(dòng)方程（45）中λ=g/c4，回到原來(lái)的變量，約束（44）不再能寫(xiě)成式（56）形式.

如果設(shè)在物理上上述假設(shè)可以實(shí)現(xiàn)，引入一個(gè)控制裝置以抵消重力影響.從表面上看，方程（58）又成為1）中討論過(guò)的情況，又導(dǎo)出解（54），然而，這是不可以的，因?yàn)檫@組解將導(dǎo)致方程（49）中第5式不成立.但是，可以給出另一組解

這組解實(shí)際上表示自由落體運(yùn)動(dòng)，討論的約束條件已失去意義.在質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力為零時(shí)，也存在與（61）相似的解，即質(zhì)點(diǎn)沿x3軸作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，也是一個(gè)數(shù)學(xué)上允許的而物理上失去意義的解.

6　結(jié)論和討論

（1）本文以狀態(tài)變量為描述力學(xué)系統(tǒng)的基本量，將狀態(tài)空間幾何約束系統(tǒng)的Lagrange力學(xué)理論推廣的帶有與速度相關(guān)的運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)，建立了一種新的力學(xué)理論.這個(gè)理論處理與速度相關(guān)的約束問(wèn)題的模式，與通常位形空間分析力學(xué)理論處理幾何約束相似.

（2）本文給出的理論在只存在幾何約束情況下，與傳統(tǒng)的Lagrange力學(xué)一致，這是新理論立足的基點(diǎn)，表明它是經(jīng)典分析力學(xué)的一種符合邏輯的推廣；但是，對(duì)于存在與速度相關(guān)的運(yùn)動(dòng)約束情況下，則與通常的非完整力學(xué)以及Vacco力學(xué)理論都不相同.

（3）本文給出的力學(xué)理論是自洽的，避開(kāi)了通常的位形空間中處理非完整系統(tǒng)時(shí)所存在的一些矛盾.在一定條件下，本文狀態(tài)空間中的運(yùn)動(dòng)約束與位形空間中的微分約束形式一致，運(yùn)動(dòng)約束的作用消失，這種條件需要進(jìn)一步深入研究.

（4）本文證明引入狀態(tài)變量處理運(yùn)動(dòng)約束系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程是奇異的，這是一個(gè)重要的新結(jié)論，這種性質(zhì)會(huì)帶來(lái)解的不確定性問(wèn)題，但是給引入補(bǔ)充條件來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)新的可能.

1 羅紹凱，張永發(fā).約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展.北京：科學(xué)出版社，2008（Luo S K，Zhang Y F.Advances in the study of dynamics of constrained systems.Beijing：Sceince Press.2008（in Chinese））

2 陳濱.狀態(tài)空間非線(xiàn)性約束的完整性和非完整性.中國(guó)科學(xué)：A輯，1993，23（8）：839～846（Chen B.Holonomic property and non-holonomic property of nonlinear constraints in state space.Science in China（Series A），1993，23（8）：839～846（in Chinese））

3 朱如曾.非完整力學(xué)的第二類(lèi)、第一類(lèi)和中間類(lèi)型變分原理.中國(guó)科學(xué)：A輯，1999，29（1）：49～54（Zhu R Z. The second kind，the first kind and the middle kind of variational principles in the nonholonomic mechanics.Science in China（Series A），1999，29（1）：49～54（in Chinese））

4 Liang L F，Hu H C.Generalized variational principles of three kinds of variables in general mechanics.Science in China（Series A），2001，44（6）：770～776

5 丁光濤.狀態(tài)空間中變分原理和運(yùn)動(dòng)方程.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989，12（1）：12～24（Ding G T. A variational principle and equations of motion in the state space.Journal of Anhui Normal University（Science Edition），1989，12（1）：12～24（in Chinese））

6 丁光濤.狀態(tài)空間Lagrange函數(shù)和運(yùn)動(dòng)方程.中國(guó)科學(xué)：物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)，2009，39（6）：813～820（Ding G T.Lagrangians and equations of motion in state space. Science China Physics，Mechanics&Astronomy，2009，39（6）：813～820（in Chinese））

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8 Hojman S，Urrutia L F.On the inverse problem of the calculus of variations.Journal of Mathematical Physics-Scitation，1981，22：1896～1902

9 梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ).北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，1985（Mei F X.Foundations of mechanics of nonholonomic systems.Beijing：BeijingInstitute of Technology Press，1985（in Chinese））

10 Arnold V I，Kozlov V V，Neishtadt A I.Mathematical aspects of classical and celestial Mechanics，3-rd ed.Beijing：Science Press，2009

11 梅鳳翔.非完整系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)和非完整性的消失.力學(xué)學(xué)報(bào)，1994，26（4）：470～476（Mei F X.The free motion of nonholonomic system and disappearance of the nonholonomic property.Acta Mechanica Sinica，1994，26（4）：470～476（in Chinese））

EQUATIONS OF MOTION IN STATE SPACE FOR CONSTRAINED MECHANICAL SYSTEMS*

Ding Guangtao?
（College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

The constraint equations expressed by state variables were introduced，and new variational principles of kinematic constrained systems in state space were established.The equations of motion with multiplier and in general state variables for kinematic constrained systems were derived.It is shown that the motion equations of constrained systems in state space are singular.An example was given to illustrate the application of the result.

analytical mechanics，state space，kinematic constraint，variational principle，equations of motion

3 November 2013，revised 27 November 2013.

E-mail：dgt695@sina.com

10.6052/1672-6553-2013-098

2013-11-03收到第1稿，2013-11-27收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11472063）

E-mail：dgt695@sina.com

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11472063）